VI TÍCH PHÂN 1C
GV: CAO NGHI THỤC
EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 4 Phép tính tích phân hàm một biến
I. Tích phân bất định II. Tích phân xác định III. Tích phân suy rộng
1. Tích phân bất định
f x ( )
( ) F x ʹ′
=
Định nghĩa
F x ( )
f x dx ( ).
c + = ∫
Page § 3
Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Hàm F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của f(x) nếu . Khi đó F(x)+c được gọi là họ nguyên hàm của f(x) và ký hiệu
1. Tích phân bất định
k f x dx . ( ).
=
f x { ( )
k f x ( ) ∫ ( )}. dx
g x
f x dx ( )
g x dx ( )
+
=
+
∫
∫
F x dx F x ( )
( ). ʹ′
=
f x dx ( )
f x ( )
=
ʹ′ )
∫ ∫ ∫ (
∫
Page § 4
Các tính chất của TPBĐ
1. Tích phân bất định
c
+
=
1
+
1 + α x α x
c
ln
dx
+
=
x dxα∫ ∫
1 x
x
x
x a dx
c
x e dx
e
c
,
=
+
=
+
∫
a ln
a
sin
xdx
cos
c
∫ x +
=−
cos
xdx
sin
x
c
=
+
Page § 5
∫ ∫
Bảng tích phân cơ bản
1. Tích phân bất định
dx
tan
x
c
=
+
∫
x
dx
cot
c
=−
x +
∫
x
dx
arc
tan
x
c
=
+
2
∫
1
+
1 2 cos 1 2 sin 1 x 1
dx
arcsin
x
c
=
+
Page § 6
2
∫
1
x
−
Bảng tích phân cơ bản
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
PP Đổi biến
I
3sin .cos . x
x dx
= ∫ cos .
x dx
t
x
dt
sin =⇒=
4
4
x
3 t dt .
I
c
=
=
c + =
+
∫
t 4
sin 4
Page § 7
VD1: Tính
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
PP Đổi biến
5sin
xdx
I
= ∫
Page § 8
VD2: Tính
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
udv uv
vdu
=−
∫
∫
2 lnx
xdx
PP Tích phân từng phần
∫
Page § 9
VD3: Tính
1. Tích phân bất định
2 xx e dx
Phương pháp tính tích phân
PP Tích phân từng phần VD4: Tính ∫
sinx
xdx
∫
Page § 10
VD5: Tính
2. Tích phân xác định
Page § 11
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 12
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 13
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 14
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 15
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 16
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 17
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 18
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 19
Định nghĩa
2. Tích phân xác định
Page § 20
2. Tích phân xác định
Công thức Newton - Leibnitz
b
F b ( )
F a ( )
f x dx F x ( ) ( ) =
∫
b =− a
a
Page § 21
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. F(x) +c là họ nguyên hàm của f(x). Khi đó TPXĐ của f(x) từ a đến b là
2. Tích phân xác định
b
f x dx ( )
S=
0
Ý nghĩa hình học
∫
a
Cho f(x) liên tục [a,b] và . Khi đó f x ≥ ( )
Page § 22
Chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi x=a,x=b,y=0,y=f(x)
2. Tích phân xác định
b
b
kf x dx ( )
=
k f x dx ( ) ∫
∫
a
a
b
b
b
[
f x ( )
g x dx ( )]
f x dx ( )
g x dx ( )
±
=
±
∫
∫
∫
a
a
a
a
a
b
f x dx ( )
f x dx ( )
0
=−
⇒
f x dx ( ) =
∫
∫
∫
b
a
a
b
b
f x ( )
g x
( ),
a b [ , ]
f x dx ( )
g x dx ( )
≥
x ∀ ∈
⇒
≥
∫
∫
a
a
Page § 23
Các tính chất của TPXĐ
2. Tích phân xác định
b
c
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
,
c
a b [ , ]
=
∫
∫
a
a
b +∀ ∈ ∫ c
b
a b [ , ]
)
(
)
M f x ( ) ≤
N x , ≤ ∀ ∈
⇒
M b a ( −
≤
f x dx N b a ( ) − ≤
∫
a
Page § 24
Các tính chất của TPXĐ
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
2
Phương pháp đổi biến
I
4
2 x dx
x
2sin
t
dx
2cos
tdt
=⇒=
=−∫
0
t
2
t
x
0, x =⇒=
π 2
0 =⇒= π 2
π 2
2
I
2 4(1 sin ).2cos
t
tdt
t
tdt
tdt
=
=
4 cos cos ∫
=−∫
0
π 2 4 cos ∫ 0
0
Page § 25
VD6: Tính
2. Tích phân xác định
π 2
I
=
x
sin xdx +∫ 2 1 cos
0
Page § 26
VD7: Tính
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
Phương pháp TP từng phần
b
b
b
udv
)
vdu
uv ( =−
∫
∫
a
a
a
Page § 27
Cho u(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục [a,b]. Khi đó
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
xdx
ln
e VD8: Tính ∫
1
(
x
1) x
e dx
+
1 VD9: Tính ∫ 0
Page § 28
Phương pháp TP từng phần
3. Tích phân suy rộng
f x dx ( )
TPSR loại 1 (có cận là vô cực)
b
+∞
a Và được xác định như sau
f x dx ( )
f x dx ( )
=
lim b →+∞
∫
∫
a
Cho f(x) khả tích [a,b]. Tích phân suy rộng loại 1 của a +∞ ) [ , f(x) trên +∞ ký hiệu là ∫
a
a
c
a +∞
+∞
f x dx ( )
f x dx ( )
,
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
=
=
+
lim b →−∞
∫
∫
∫
∫
∫
b
c
−∞
−∞
−∞
Page § 29
Tương tự
3. Tích phân suy rộng
TPSR loại 1 (có cận là vô cực)
Page § 30
Nếu các giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì ta nói các TPSR tương ứng là hội tụ. Ngược lại ta nói chúng phân kỳ
3. Tích phân suy rộng
+∞
b
dx
=
dx
2
I = VD10: Tính
x
=
2
lim b →+∞
1 +∫ 1 x
lim arctan b →+∞
0
1 +∫ 1 x
b 0
0
=
b
arctan 0
lim arctan =− b →+∞
π 2
Page § 31
3. Tích phân suy rộng
+∞
dx a (
0)
=
>
I VD11: Tính
∫
1 xα
a
+∞
I VD12: Tính
dx
=
2
∫
1
x
x +
0
Page § 32
3. Tích phân suy rộng
a +∞ [ ; ]
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
f x ( )
0
≤
≤
Định lý 1: Cho f(x), g(x) xác định trên thỏa g x ( )
+∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
• Nếu hội tụ thì hội tụ
∫
∫
a
a +∞
+∞
• Nếu phân kỳ thì phân kỳ
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a
Page § 33
Khi đó :
3. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
+∞
dx
5
x
x 32 . 1
x
∫ 2 1
+
+
Page § 34
VD 13: Xét sự hội tụ của
3. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
+∞
dx
5
x
x 32 . 1
x
∫ 2 1
+
+
Page § 35
VD 13: Xét sự hội tụ của
3. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
+∞
x
dx
∫
4 + 3 3 .
x
1
x
2
+
Page § 36
VD 14: Xét sự hội tụ của
3. Tích phân suy rộng
+∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a
Page § 37
3. Tích phân suy rộng
+∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a +∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a
Page § 38
3. Tích phân suy rộng
+∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a +∞
+∞
g x dx ( )
f x dx ( )
∫
∫
a
a
Page § 39
3. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
+∞
+∞
f x dx ( )
Định lý 3: Cho f(x), g(x) xác định trên a +∞ [ ; ]
f x dx ( )
∫
∫
a
a
Nếu hội tụ thì hội tụ và được gọi là
Page § 40
hội tụ tuyệt đối
3. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 1
+∞
dx
∫
sin x 5 x
2
Page § 41
VD 15: Xét sự hội tụ của
3. Tích phân suy rộng
Page § 42
3. Tích phân suy rộng
x
a c∈ [ , )
TPSR loại 2 (của hàm số bị gián đoạn)
c
f x dx ( )
f x dx
=
Cho f(x) xác định và liên tục tại mọi . Hàm này gián đoạn tại x=c. Khi đó
∫
b lim ( ) ∫ −→ c b a
a
x
a c∈ ( , ]
c
f x dx ( )
f x dx
=
Tương tự, nếu hàm số liên tục tại mọi và gián đoạn tại x=a. Khi đó
∫
c lim ( ) ∫ +→ a b b
a
Page § 43
3. Tích phân suy rộng
TPSR loại 2 (của hàm số bị gián đoạn)
a c∈ [ , ]
x 0
c
b
c
c
x 0
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
=
+
=
+
Cho f(x) bị gián đoạn tại . Khi đó
∫
∫
∫
∫
∫
lim −+→ x b 0
lim x b → 0
a
a
b
a
x 0
Page § 44
Nếu các giới hạn trên tồn tại và hữu hạn ta nói TPSR tương ứng là hội tụ. Ngược lại thì phân kỳ
3. Tích phân suy rộng
1
b
1
1
I
dx
=
x
dx
=
∫
lim 2 1 − =− −→ b 1
∫
lim −→ 1 b
1
x
b 0
−
0
1
x
−
0
b
2}
2=
lim{ 2 1 −+ =− −→ b 1
Page § 45
VD16: Tính
3. Tích phân suy rộng
1
I
dx
=
1 −∫ x α (1 )
0
Page § 46
VD17: Tính
3. Tích phân suy rộng
e
1
dx
I
= ∫
ln
x
1
x 1
VD18: Tính
ln
xdx
I
= ∫
0 1 2
1
VD19: Tính
I
dx
=
∫
x
(1
x
)
−
0
Page § 47
VD20: Tính
3. Tích phân suy rộng
Page § 48
Tiêu chuẩn hội tụ của TPSR loại 2
4. Ứng dụng tích phân xác định
Page § 49
4. Ứng dụng tích phân xác định
Page § 50
4. Ứng dụng tích phân xác định
Page § 51
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD21:
y
2, x y
2
=−
x =− −
Page § 52
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
4. Ứng dụng tích phân xác định
f x y ( ),
0,
b
y
x
=
=
=
Tính thể tích
b
V
[
f x
2 ( )]
dx
π= ∫
a
Page § 53
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường quay a x , = quanh trục Ox được tính bởi công thức
4. Ứng dụng tích phân xác định
g y x ( ),
0,
b
x
y
=
=
Tính thể tích
b
V
2 g y [ ( )]
dy
π= ∫
a
Page § 54
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi a y , = = các đường quay quanh trục Oy được tính bởi công thức
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD22:
2
y
sin
x y ,
0,
x
0,
x
=
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 55
quay quanh Ox
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD23:
y
tan ,
x y
0,
x
0,
x
=
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 56
quay quanh Ox
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD24:
y
x y
0,
x
0,
x
=
2 1 sin 2 , +
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 57
quay quanh Ox
Bài Tập
Page § 58
Bài Tập
Page § 59
Bài Tập
Page § 60
Bài Tập
Page § 61
