HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1
CHƯƠNG 6
PHÉP TÍNH VI PHÂN
Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG
Bộ môn : Toán
Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
1. ĐẠO HÀM CẤP MỘT
Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định trong
khoảng (𝑎,𝑏). Đạo hàm của hàm 𝑓(𝑥) tại điểm
𝑥0∈(𝑎,𝑏) (nếu có) là giới hạn hữu hạn của tỉ
số Δ𝑦
Δ𝑥 khi Δ𝑥 → 0 và được kí hiệu là 𝑓′(𝑥0)
hay 𝑦′ 𝑥0 .
𝑓′ 𝑥0 = lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥 = lim
Δ𝑥→0
f x0+Δx −f(x0)
Δ𝑥
Nhận xét: Hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 thì
liên tục tại 𝑥0. Điều ngược lại không đúng.
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm 𝑓(𝑥) có
đạo hàm tại điểm 𝑥0 là tồn tại đạo hàm phải và
đạo hàm trái tại 𝑥0 và chúng bằng nhau. Tức là
𝑓′ 𝑥+0 =𝑓′ 𝑥−0 =𝑓′ 𝑥0 .
Định nghĩa 2 (Các đạo hàm một phía)
𝑓′ 𝑥+0 = lim
Δ𝑥→0+
f x0+Δx −f(x0)
Δ𝑥
𝑓′ 𝑥−0 = lim
Δ𝑥→0−
f x0+Δx −f(x0)
Δ𝑥
2. VI PHÂN HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 3: Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trong một
lân cận nào đó của 𝑥0. Nếu tồn tại hằng số A sao cho
tại 𝑥0 ta có
Δ𝑓 𝑥0 =𝑓 𝑥0+Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 =𝐴.Δ𝑥 +𝛼 Δ𝑥
trong đó 𝛼 Δ𝑥 là VCB bậc cao hơn Δ𝑥 khi
Δ𝑥 → 0, thì ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥0 và biểu
thức 𝐴.Δ𝑥 gọi là vi phân của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥0.
Kí hiệu 𝑑𝑦 𝑥0 =𝑑𝑓 𝑥0 =𝐴.Δ𝑥.