Đạo hàm cấp cao
Vi phân
1Đạo hàm cấp cao
Công thức
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
2Vi phân
Định nghĩa
Ý nghĩa của vi phân cấp một
Xấp xỉ tuyến tính
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Đạo hàm cấp cao
Vi phân Công thức
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
Định nghĩa đạo hàm cấp cao bởi công thức truy hồi:
f(n)(x) = f(n−1)(x)0
.
Quy ước: f(0)(x) = f(x).
Công thức Leibnitz:
(f·g)(n)=
n
X
k=0
Ck
n·f(k)·g(n−k).
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Đạo hàm cấp cao
Vi phân Công thức
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp cao của những hàm số thường gặp
1(ax +b)α(n)=an·α·(α−1)···(α+n−1)·(ax +b)α−n.
21
ax +b(n)=an·(−1)n·n!
(ax +b)n+1.
3eax +b(n)=an·eax +b.
4ln |ax +b|(n)=an·(−1)n−1·(n−1)!
(ax +b)n.
5sin(ax +b)(n)=an·sin ax +b+nπ
2.
6cos(ax +b)(n)=an·cos ax +b+nπ
2.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Đạo hàm cấp cao
Vi phân Công thức
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
Ví dụ
Tính các đạo hàm cấp cao sau đây:
(a) ln |3x+1|(100);
(b) 1
x2−1(n);
(c) (3x2+2)·cos x(100).
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Đạo hàm cấp cao
Vi phân Công thức
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
Cho hàm số y=y(x)có đạo hàm liên tục đến cấp hai.
Nếu y00(x0)>0thì tốc độ thay đổi của hàm số tăng trong
lân cận của x0.
Nếu y00(x0)<0thì tốc độ thay đổi của hàm số giảm trong
lân cận của x0.
Ví dụ, xét một vật chuyển động với phương trình x=x(t).
Nếu gia tốc a(t0)>0thì vật chuyển động nhanh dần trong
một khoảng thời gian nhỏ xung quanh t0.
Nếu gia tốc a(t0)<0thì chuyển động chậm dần trong một
khoảng thời gian nhỏ xung quanh t0.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)