Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình
học
Giảng viên: PGS. TS. Nguyễn Duy Tân
email: tan.nguyenduy@hust.edu.vn
Viện Toán ƯDTH, HUST
Tháng 3, 2021
Ứng dụng của phép tính vi phân 1 / 31
Contents
Nội dung
11.1. Ứng dụng trong hình học phẳng
1.1.1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến
1.1.2. Độ cong
1.1.3. Hình bao của một họ đường cong phụ thuộc tham số
21.2. Ứng dụng trong hình học không gian
1.2.1. Hàm vectơ
1.2.2. Đường
1.2.3. Mặt
Ứng dụng của phép tính vi phân 2 / 31
1.1. Ứng dụng trong hình học phẳng 1.1.1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến
1.1.1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến
Bài toán:
Trong hệ tọa độ Descartes Oxy, cho đường cong Lvà một điểm M∈L.
Tìm phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến của đường cong Ltại điểm M.
Nhắc lại: Nếu Lcho bởi y=f(x)và M(x0,y0)∈L, thì phương trình tiếp
tuyến của Ltại Mlà
y−y0=f0(x0)(x−x0).
Ứng dụng của phép tính vi phân 3 / 31
1.1. Ứng dụng trong hình học phẳng 1.1.1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến
Đường cong cho bởi phương trình F(x,y) = 0 (cho một
cách ẩn)
Định nghĩa (Điểm chính quy)
Cho đường cong Lxác định bởi phương trình F(x,y) = 0. Điểm
M(x0,y0)∈Lđược gọi là điểm chính quy nếu các đạo hàm riêng
F0
x(M),F0
y(M)không đồng thời bằng 0.
(Giả sử F(x,y)có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của M.)
Vì M(x0,y0)chính quy, nên ta có thể giả sử F0
y(x0,y0)6=0. Khi đó theo
định lý về hàm ẩn, phương trình F(x,y) = 0 xác định một hàm ẩn duy
nhất y=f(x)có đạo hàm liên tục trong một lân cận của x0và
f(x0) = y0. Hơn nữa f0(x0) = −F0
x(x0,y0)
F0
y(x0,y0).
Ứng dụng của phép tính vi phân 4 / 31
1.1. Ứng dụng trong hình học phẳng 1.1.1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của Llà M(x0,y0)là
y=y0+f0(x0)(x−x0)⇔y−y0=−F0
x(x0,y0)
F0
y(x0,y0)(x−x0),
hay tương đương
F0
x(x0,y0)(x−x0) + F0
y(x0,y0)(y−y0) = 0.
Vectơ pháp tuyến của Ltại Mlà n= (F0
x(x0,y0),F0
y(x0,y0)). Phương trình
pháp tuyến của Ltại Mlà
x−x0
F0
x(x0,y0)=y−y0
F0
y(x0,y0).
Ứng dụng của phép tính vi phân 5 / 31