Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng
1Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Định nghĩa
Cấu trúc nghiệm
2Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng
Trường hợp thuần nhất
Trường hợp không thuần nhất
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng Định nghĩa
Cấu trúc nghiệm
Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng
P(x)y00 +Q(x)y0+R(x)y=G(x),
trong đó P, Q, R, G là các hàm số liên tục.
Nếu G≡0, ta có phương trình thuần nhất (homogeneous)
P(x)y00 +Q(x)y0+R(x)y=0.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng Định nghĩa
Cấu trúc nghiệm
Định lý
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
P(x)y00 +Q(x)y0+R(x)y=0.
Nếu y1(x)và y2(x)là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình, và P(x)luôn khác không, thì nghiệm tổng quát của phương
trình là
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),
trong đó C1, C2là các hằng số.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng Trường hợp thuần nhất
Trường hợp không thuần nhất
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số
hằng
ay00 +by0+cy =0,
trong đó a,b,clà các hằng số và a6=0.
Một "ứng cử viên nghiệm" là hàm có dạng
y=eλx,
trong đó λlà hằng số.
Hàm y=eλxlà một nghiệm khi và chỉ khi λphải thỏa mãn
phương trình đặc trưng (characteristic equation)
aλ2+bλ+c=0.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng Trường hợp thuần nhất
Trường hợp không thuần nhất
Trường hợp ∆>0
Phương trình đặc trưng aλ2+bλ+c=0 có hai nghiệm phân
biệt
λ1,2=−b±√∆
2a.
Khi đó, nghiệm tổng quát là
y=C1eλ1x+C2eλ2x.
TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 1 (Calculus 1)