VI TÍCH PHÂN 1C
GV: CAO NGHI THỤC
EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 3 Phép tính vi phân hàm một biến
I. Đạo hàm II. Vi phân III. Đạo hàm và vi phân cấp cao IV. Tối ưu hoá hàm 1 biến V. Bài tập
Đạo hàm
Page § 3
Đạo hàm
Page § 4
Đạo hàm
Page § 5
Đạo hàm
Page § 6
Đạo hàm
Page § 7
Đạo hàm
Page § 8
Đạo hàm
0
= ) ʹ′
ʹ′
ʹ′
c u . ʹ′ u v ʹ′ ʹ′ + = u v uv ʹ′ +
=
ʹ′
ʹ′
5.
=
u v
u v uv − 2 v
⎛ ⎜ ⎝
ʹ′ ⎞ ⎟ ⎠
Page § 9
§Các quy tắc tính đạo hàm c 1.( ) ʹ′ = 2.( . ) c u ʹ′ u v 3.( + 4.( . ) u v
Đạo hàm
Page § 10
Đạo hàm
Page § 11
Đạo hàm
§Đạo hàm hàm hợp
y
arc
cot
=
x x
1 +⎛ ⎜ 1 −⎝
⎞ ⎟ ⎠
Page § 12
VD2: Tính đạo hàm của hàm số
Đạo hàm
y Cho hàm số . Đạo hàm của hàm ngược được xác định bởi
1 −
y
f
=
=
=
' x
1 1 −
⎡ ⎣
x ( ) ' ⎤ ⎦
f
f
'
x ( )
1 ' x y
⎡ ⎣
⎤ ⎦
Page § 13
§Đạo hàm hàm ngược 1( ) x−= f
Đạo hàm
y
arccos
x
1x
1 −< <
1
1 −
1 −
arccos
x
=
=
=
(
ʹ′ = )
2
2
1 sin
y
−
y
1
x
1 cos −
−
cos
y
(
ʹ′ )
Page § 14
VD3: Cho hàm số , §Đạo hàm hàm ngược =
Đạo hàm
§Đạo hàm của hàm phụ thuộc tham số
t y ( ),
t ( )
x
ψ
ϕ
=
= Đạo hàm được xác định bởi
( ) y x ʹ′
=
( ) t ʹ′ ψ ( ) t ʹ′ ϕ
Page § 15
Cho hàm số phụ thuộc tham số
Đạo hàm
§Đạo hàm của hàm phụ thuộc tham số
2
x
cos
t y ,
t t sin ,
=
=∈
π⎛ 0, ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎠
VD4: Cho hàm số
xyʹ′
Page § 16
Tính
Đạo hàm
§Đạo hàm hàm ẩn
Hàm y = f(x) được cho dưới dạng F x y = ( , ) 0
( ) y x ʹ′
=−
F x ( ) ʹ′ ( ) F y ʹ′
Page § 17
Đạo hàm của hàm y = f(x) được xác định bởi
Đạo hàm
3
y
=
yʹ′
VD5: Cho . Tính
y y
− +
Page § 18
§Đạo hàm hàm ẩn x x
Vi Phân
§Định nghĩa
)
x ) +Δ −
) =
f x ( 0
f x ( 0
( f x ) x o x ( ʹ′ Δ + Δ 0
)
x Δ
0( f x ʹ′
Hàm f(x) khả vi tại x0 nếu
df
x
( ) f x ʹ′
( ). f x dx ʹ′
=Δ=
Page § 19
Khi đó, tích gọi là vi phân của f(x) tại x0 Ký kiệu:
Vi Phân
tan
x
y
f x ( )
2
=
=
tan
x
2
tan
x
dy
2
.ln 2.(
dx .
tan ) . x dx ʹ′
=
=
.ln 2 2
x 2 tan .cos
x
Page § 20
VD6: Tính vi phân của hàm
Vi Phân
Các quy tắc tính vi phân
Vi phân của tổng, tích, thương
d(u+v)=d(u)+d(v)
d
(
v
0)
=≠
u v
vdu udv − 2 v
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Page § 21
d(uv)=vdu+udv
Vi Phân
)
Áp dụng vi phân tính gần đúng
f x ( 0
f x ( 0
( f x ) x o x ( ʹ′ Δ + Δ 0
)
x
x ) +Δ −
≈
) Δ
Cho f(x) khả vi tại x0 khi đó: ) x ) = +Δ −
f x ( 0
( f x ʹ′ 0
x
Bỏ qua VCB bậc cao ta có f x ( 0
x ) +Δ ≈
) +
f x ( 0
f x ( 0
( f x ) ʹ′ Δ 0
Page § 22
Hay
Vi Phân
x
,
y
f x ( )
=
=
x x cos , =Δ= 0
π 3
sin
f
,
x f sin ,
( ) f x ʹ′
=−
π 180 3 2
π cos = 3
1 2
cos
f
0 cos61
cos(
)
=
π =− 3 π 3
π ( ) = 3 π π ( ). ʹ′ 3 180
π ) ( ʹ′ =− 3 π π +≈+ 180 3
0.484
Page § 23
3 π . ≈ 2 180
1 ≈+− 2
VD7: Tính gần đúng cos610
Vi Phân
Page § 24
Đạo hàm và Vi phân cấp cao
Đạo hàm cấp cao
Nếu f(x) có đạo hàm f’(x) thì f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1
Nếu f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp 2, ký hiệu f’’(x)
…
n ( )
(
n
1) −
f
x ( )
[
f
( )] x ʹ′
=
Page § 25
Đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 gọi là đạo hàm cấp n, ký hiệu
Đạo hàm và Vi phân cấp cao
( ) ( ) ny x VD 10: Cho y= cosx. Tính ( ) ( ) ny x
Page § 26
VD 9 : Cho y= sinx. Tính
Đạo hàm và Vi phân cấp cao
Vi phân cấp cao
2
Nếu f(x) khả vi thì dy=f’(x).dx gọi là vi phân cấp 1
2 d y
x dx ( ).
y ʹ′ʹ′=
Vi phân của dy gọi là vi phân cấp 2, ký hiệu
n
…
n d y
y
n ( ) ( ).
x dx
=
Page § 27
Tổng quát vi phân cấp n, ký hiệu
Đạo hàm và vi phân cấp cao
§Quy tắc L’Hospital
Áp dụng cho dạng vô định
,
0 0
) 0
g x
g x ( ʹ′ 0
x 0
x 0
A
A
=
=
lim x x → 0
∞ ∞ Định lý 1 Cho f(x),g(x) xđ, khả vi tại lân cận x = x0 (có thể trừ tại điểm x0) f x lim ( ) 0, lim ( ) 0, =≠ = § x x → Ở lân cận x = x0 lim Khi đó, nếu thì x x → 0
f x ( ) g x ( )
→ f x ( ) ʹ′ ( ) g x ʹ′
Page § 28
Quy tắc L’Hospital
VD11: Tính
x
x
lim x 0 →
cos x
x − sin
sin x
cos
x
=
L =
lim x 0 →
lim x 0 →
x cos
x
x − sin
x x
x − cos
cos x
x sin − sin x x +
sin x +
Page § 29
Quy tắc L’Hospital
2
x
VD12: Tính
2
lim x 1 →
x
3
1 − 4. x −+
Page § 30
Đạo hàm và vi phân cấp cao
§Quy tắc L’Hospital
Áp dụng cho dạng vô định
,
0 0
,
) 0 ≠
( g x ʹ′ 0
x 0
A
A
=
=
lim x x → 0
f x ( ) g x ( )
∞ ∞ Định lý 2 Cho f(x),g(x) xđ, khả vi tại lân cận x = x0 (có thể trừ tại điểm x0) g x , lim ( ) f x lim ( ) =∞ =∞ § x x x → → 0 Ở lân cận x = x0 f x ( ) ʹ′ lim Khi đó, nếu thì ( ) g x ʹ′ x x → 0
Page § 31
Đạo hàm và vi phân cấp cao
VD13: Tính 0)
>
lim x →+∞
ln x ( xα α
lim x x VD14: Tính +→ x 0
VD15: Tính
)
lim( 1 x →
x
1 − 1 ln
x
x −
Page § 32
Đạo hàm và vi phân cấp cao
§Khai triển Taylor
a b∈ ( , )
Cho f(x) khả vi đến cấp n+1 trong khoảng (a,b). Khi đó với x c 0,
Ta có công thức Taylor
n ( )
)
f
)
2
n
f x ( )
)
)
(
x
)
...
(
x
)
=
+
f −+
f x ( 0
) ( x x −+ + 0
x 0
x 0
f x ( ʹ′ 0 −+ 1!
x ( ʹ′ʹ′ 0 2!
x ( 0 n !
(
n
1) +
n
1 +
(
x
)
(1)
−
x 0
f (
n
c ( ) 1)!
+
Page § 33
Đạo hàm và vi phân cấp cao
n
(
1) +
n
1 +
Đặt
(
x
)
(1)
o x ((
n ) )
R x ( ) − n
x 0
x 0
§Khai triển Taylor c ( ) 1)!
f =−= (
n
+
gọi là sai số tuyệt đối
c nằm giữa x và x0 Công thức (1) được gọi là khai triển Taylor của hàm f tại x= x0
Page § 34
Đạo hàm và vi phân cấp cao
§Khai triển Taylor
Khi x0 = 0: (1) trở thành
n ( )
(
n
1) +
f
f
f
f
)
2
n
n
1 +
x
x
x
x
(2)
f x ( )
f
(0)
+
... + +
+
=
+
(0) ʹ′ 1!
(0) ʹ′ʹ′ 2!
(0) !
n
(
n
x ( θ 1)! +
0
1
p
p
θ
(2) được gọi là công thức MacLaurin
Page § 35
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Page § 36
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Công thức MacLaurin của 1 số hàm sơ cấp
2
n
x
n
e
1
o x (
)
= + +
... + +
+
x x 1! 2!
x n
!
3
5
2
n
1 −
n
2
n
1 −
1 −
sin
x
x
...
o x (
)
( 1) +
x =− + −+− 3!
x 5!
x n (2
1)!
−
Page § 37
Đạo hàm và vi phân cấp cao
2
2
m
m
2
m
1
...
o x (
)
( 1) +
cos x =
x −+ 2!
4 x + +− 4!
x m (2 )!
2
n
n
n
1 −
ln(1
)x+
=
x
...
o x (
)
( 1) +
x −+ 2
3 x + +− 3
x n
Page § 38
Các định lý giá trị trung bình
Page § 39
Các định lý giá trị trung bình
Định nghĩa cực trị
Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương
Page § 40
Các định lý giá trị trung bình
Page § 41
Các định lý giá trị trung bình
Page § 42
Các định lý giá trị trung bình
Page § 43
Các định lý giá trị trung bình
Page § 44
Tối ưu hoá hàm một biến
§Tối ưu hóa các hàm KT phụ thuộc 1 biến
180
Q
C
19 =−+
5 Q
VD16: Để sản suất ra một sản phẩm phải tốn một khoản chi phí trung bình:
Page § 45
Sản phẩm được bán ra thị trường với mức giá là P đồng, biết rằng giá bán phụ thuộc vào lượng hàng bán ra như sau: P=20-Q
Tối ưu hoá hàm một biến
a. Tính giá trị cận biên của hàm doanh thu MR(Q) khi
P = 12 và giải thích ý nghĩa.
Page § 46
b. Tìm giá bán của sản phẩm để lợi nhuận đạt tối đa.
Tối ưu hoá hàm một biến
Page § 47
Bài tập
cos
sin
x
1
−
− 3
lim x 0 →
lim 1 x →
x x
x lim x sin x a. b. c. +→ 0 x
1 sin −
2
lim x 0 →
x 2 + s n4 x i
sin tan
x 3 x
d.
Bài 1 Tính các giới hạn sau x xπ 2 x sin3 + x sin +−
y
y
=
3x e−=
x
1 a. b. 1 −
Page § 48
Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
Bài tập
sin x
x tan(sin )
y
=
y
3x a. b. c. y =
e=
Page § 49
Bài 3 Viết khai triển Maclaurin đến số hạng x3 của
Bài Tập
x
a y )
x
=
x
b y )
x (3 )
=
1
c y )
=
2
1 3
(
x
1)
+
Page § 50
Bài 4 Tính vi phân của các hàm số sau
Bài Tập
Page § 51
Bài Tập
Page § 52
Bài Tập
Page § 53
Bài Tập
Page § 54
Bài 8 Tính gần đúng arctan1,01
Bài Tập
Page § 55
Bài Tập
Page § 56
Bài Tập
Page § 57
