Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 5

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 2 tháng 12 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 2 tháng 12 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BASIC MATHEMATICS Chương V. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.KHÁI NIỆM PTVP 2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 4.ỨNG DỤNG PTVP TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Phương trình vi phân cấp n là pt có dang: F (x, y , y (cid:48), ...y (n)) = 0 (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) (cid:63) y = y(x,C)( C: hằng tùy ý ) thỏa (1), được gọi là nghiệm tổng quát của (1). (cid:63) Khi C = C0: cố định, y = y (x, C0) thỏa (1); được gọi là nghiệm riêng của (1). (cid:63) ϕ(x, y , C ) = 0 thỏa (1); được gọi là tích phân tổng quát của (1). Thí dụ: Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) y = y(x,C)( C: hằng tùy ý ) thỏa (1), được gọi là nghiệm tổng quát của (1). (cid:63) Khi C = C0: cố định, y = y (x, C0) thỏa (1); được gọi là nghiệm riêng của (1). (cid:63) ϕ(x, y , C ) = 0 thỏa (1); được gọi là tích phân tổng quát của (1). Thí dụ: Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(cid:63) Phương trình vi phân cấp n là pt có dang: F (x, y , y (cid:48), ...y (n)) = 0 (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Khi C = C0: cố định, y = y (x, C0) thỏa (1); được gọi là nghiệm riêng của (1). (cid:63) ϕ(x, y , C ) = 0 thỏa (1); được gọi là tích phân tổng quát của (1). Thí dụ: Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) ϕ(x, y , C ) = 0 thỏa (1); được gọi là tích phân tổng quát của (1). Thí dụ: Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải ptvp: y (cid:48)(ex + 1) = ex (1) Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: (1) ⇔ y (cid:48) = ex

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ dy = d(ex +1)

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ex +1 ⇔ dy

dx = ex ex +1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ex +1 ⇔ dy = d(ex +1)

ex +1 ⇔ dy

dx = ex

ex +1

⇔ y = ln(ex + 1) + C (C ∈ R). Khi C = 0: y = ln(ex + 1) là 1 nghiệm riêng của (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

DẠNG: f (x)dx = g (y )dy

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: f (x)dx = g (y )dy

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ dy = x 2y 2dx   y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

  y = 0 y = 0 (cid:40) (cid:40)   y (cid:54)= 0 y (cid:54)= 0 ⇔ ⇔  

dy

−1

y 2 = x 2dx

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy

dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 y = 0 (cid:40)  y (cid:54)= 0 ⇔ 

−1

y = x 3

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx  y = 0 (cid:40) ⇔   y (cid:54)= 0 dy y 2 = x 2dx

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN PHÂN LY DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân 2 vế của phương trình. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = x 2y 2 (1) Giải: (1) ⇔ dy dx = x 2y 2 ⇔ dy = x 2y 2dx   y = 0 (cid:40) y = 0 (cid:40) ⇔ ⇔     y (cid:54)= 0 dy y 2 = x 2dx y (cid:54)= 0 y = x 3 −1

3 + C

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

f (x)dx = g (y )dy

3 + C

Do đó (1) có đúng nghiệm riêng y = 0 và tích phân tổng quát ( x 3

3 + C )y + 1 = 0 ( C ∈ R ) khi y (cid:54)= 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

DẠNG: y (cid:48) = f ( y

x ) (1)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y

x nên y = ux suy ra

y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔   ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0) |u| = |xC∗|  u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔ u = xC0 (C0 ∈ R)  u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y

x nên y = ux suy ra

y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y

x ) (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên y = ux suy ra y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

suy ra y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y

x nên y = ux

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y y (cid:48) = u(cid:48)x + u

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải pt y (cid:48) = 2 y

x (1)

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ (2) ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Đặt u = y

x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)   u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)   u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

  u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔  

du

ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔  ln |u| = ln |x| + C   u = 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔   ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0) |u| = |xC∗|  u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔ u = xC0 (C0 ∈ R)  u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)

(2) ⇔  2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y Giải: Đặt u = y  u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 du

u = dx

x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)



u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 (2) ⇔ ⇔   2.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ( ĐẲNG CẤP ) DẠNG: y (cid:48) = f ( y PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Đặt u = y y (cid:48) = u(cid:48)x + u Khi đó (1) trở thành pt tách biến phân ly: u(cid:48)x = f (u) − u (2) Giải (2) tìm u để phát hiện nghiệm y. Thí dụ: Giải pt y (cid:48) = 2 y Giải: Đặt u = y  u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 du ln |u| = ln |x| + C

u = dx

x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔  |u| = |xC∗|  u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔ u = xC0 (C0 ∈ R)  u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)



u = dx

x



u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔  ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔ u = xC0 (C0 ∈ R)  u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)



u = dx

x

 

u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔   ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0) |u| = |xC∗|

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ u = xC0 (C0 ∈ R)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)



u = dx

x

 

u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔   ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0) |u| = |xC∗| 

u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ 

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

x ) (1)

x nên y = ux suy ra

x (1) x nên y (cid:48) = u(cid:48)x + u,(1) trở thành u(cid:48)x = u (2)



u = dx

x

 

u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔   ln |u| = ln |x| + ln |C∗| (C∗ (cid:54)= 0) |u| = |xC∗| 

u = 0 (cid:26) u (cid:54)= 0 ⇔ ⇔ u = xC0 (C0 ∈ R) 

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

u = ±xC∗ (C∗ (cid:54)= 0)

Do đó (1) có nghiệm tổng quát y = x 2C (C ∈ R )

DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx ( Chọn C = 0 )

2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx

A(x)

3) Kết luận nghiệm tổng quát của pt: y = A(x)[B(x) + C∗] Thí dụ: Giải pt y (cid:48) + y cos x = cos x(1) Giải: Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx ( Chọn C = 0 )

2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx

A(x)

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx ( Chọn C = 0 )

2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx

A(x)

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx

A(x)

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx ( Chọn C = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx 2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx A(x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Giải pt y (cid:48) + y cos x = cos x(1) Giải: Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải pt y (cid:48) + y cos x = cos x(1) Giải: Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên B(x) = (cid:82) cos xdx

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

2.3 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DẠNG: y (cid:48) + a(x)y = b(x) (1) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tính A(x) = e− (cid:82) a(x)dx 2) Tinh B(x) = (cid:82) b(x)dx A(x) 3) Kết luận nghiệm tổng quát của pt: y = A(x)[B(x) + C∗] Thí dụ: Giải pt y (cid:48) + y cos x = cos x(1) Giải: Rõ ràng A(x)=e− (cid:82) cos xdx = e− sin x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Vậy (1) có nghiệm tổng quát y = e− sin x [esin x + C ] = 1 + Ce− sin x (C ∈ R )

( Chọn C = 0 )

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

( Chọn C = 0 )

e− sin x = (cid:82) esin x cos xdx = (cid:82) esin x d (sin x) = esin x + C

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  ) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  ) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  ) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  ) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R) 3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  ) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R)

3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R)

) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) (khi (∗) có nghiệm kép k0 )  3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f (x) (1) (ai ∈ R)

) (khi (∗) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2) (khi (∗) có nghiệm kép k0 ) 

3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP II HÊ SỐ HẰNG DẠNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1) Tìm nghiệm p.trình đặc trưng:k 2 + a1k + a2 = 0 (∗) 2) Phát hiện nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = 0(pt thuần nhất của (1))là y0(x) =  C1ek1x + C2ek2x (C1 + C2x)ek0x eαx [C1 cos βx + C2 sin βx] (khi (∗) có nghiệm phức α ± iβ ) 3) Phát hiện nghiệm riêng của (1) là y∗(x) (theo lưu ý ở slide sau) 4)Kết luận nghiệm tổng quát của (1): y = y0(x) + y∗(x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n ) nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx Q(x) trong đó Q(x):đa thức bậc n, • có giá trị: 0,1,2 tương ứng với δ không là nghiệm,là nghiệm đơn, là nghiệm kép của (*) 2)Khi f (x) = eδx [Pn(x) cos(βx) + Qm(x) sin(βx)] nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx [As (x) cos(βx) + Bs (x) sin(βx)]trong

đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx Q(x) trong đó Q(x):đa thức bậc n, • có giá trị: 0,1,2 tương ứng với δ không là nghiệm,là nghiệm đơn, là nghiệm kép của (*) 2)Khi f (x) = eδx [Pn(x) cos(βx) + Qm(x) sin(βx)] nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx [As (x) cos(βx) + Bs (x) sin(βx)]trong

đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

•

có giá trị: 0,1,2 tương ứng với δ không là nghiệm,là nghiệm đơn, là nghiệm kép của (*) 2)Khi f (x) = eδx [Pn(x) cos(βx) + Qm(x) sin(βx)] nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx [As (x) cos(βx) + Bs (x) sin(βx)]trong

đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n ) nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx Q(x) trong đó Q(x):đa thức bậc n,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2)Khi f (x) = eδx [Pn(x) cos(βx) + Qm(x) sin(βx)] nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx [As (x) cos(βx) + Bs (x) sin(βx)]trong

đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n )

nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx Q(x) trong đó Q(x):đa thức bậc n, • có giá trị: 0,1,2 tương ứng với δ không là nghiệm,là nghiệm đơn, là nghiệm kép của (*)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

trong

đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n )

đó As (x), Bs (x):

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

LƯU Ý 1)Khi f (x) = eδx P(x) ( P(x): đa thức bậc n )

nghiệm riêng y∗(x) = x •eδx [As (x) cos(βx) + Bs (x) sin(βx)]trong đó As (x), Bs (x):đa thức bậc s (s = max{m, n}), • có giá trị: 0,1 tương ứng δ ± iβ Không là nghiệm, là nghiệm của (*).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: (C1, C2 ∈ R) y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

tổng quát: y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + x (C1 , C2 ∈ R) Thí dụ 2: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: (C1, C2 ∈ R) y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

Thí dụ 1:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: (C1, C2 ∈ R) y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: (C1, C2 ∈ R) y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: (C1, C2 ∈ R) y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R) Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó (1) có nghiệm tổng quát: y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + x (C1 , C2 ∈ R) Thí dụ 2: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

(1) Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48) ∗ − 5y (cid:48) tổng quát: y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + x (C1 , C2 ∈ R) Thí dụ 2: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (C1, C2 ∈ R) (1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

(1)

Thí dụ 1: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 6x − 5 (1) Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3 Nên pt thuần nhất của (1) có nghiệm tổng quát: y0(x) = C1e2x + C2e3x (1) có nghiệm riêng y∗(x) = x vì y (cid:48)(cid:48) ∗ − 5y (cid:48) tổng quát: y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + x (C1 , C2 ∈ R) Thí dụ 2: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 2ex Giải: Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k = 2 ∨ k = 3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(1) có nghiệm riêng y∗(x) = ex vì y (cid:48)(cid:48)

∗ − 5y (cid:48)

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

(1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó (1) có ng.t.quát:

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

(1)

(C1, C2 ∈ R)

LaTex

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(C1, C2 ∈ R)

∗ + 6y∗ = 6x − 5(1) + 0 = 6x − 5 Do đó (1) có nghiệm

(1)

(C1, C2 ∈ R)

LaTex

∗ + 6y∗ = ex − 5ex + 6ex = 2ex Do đó (1) có ng.t.quát:

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

y = y0(x) + y∗(x) = C1e2x + C2e3x + ex (C1 , C2 ∈ R)

DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

( i = 1,...,n )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

( i = 1,...,n )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63))

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

( i = 1,...,n )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

( i = 1,...,n )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

Bước 1:Giải pt đặc trưng

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

( i = 1,...,n )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63))

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

n

(cid:80) y ∗ nghiệm tổng quát: y = y0(x) +

i (x)

i=1

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗ ( i = 1,...,n )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.2 PTVP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TỔNG QUÁT DẠNG: y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) ((cid:63)) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

i (x) của y (cid:48)(cid:48) + a1y (cid:48) + a2y = fi (x)

Bước 1:Giải pt đặc trưng Bước 2:Tìm nghiệm tổng quát y0(x) của pt thuần nhất của ((cid:63)) Bước 3:Phát hiện nghiệm riêng y ∗ ( i = 1,...,n ) Bước 4:Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, kết luận ((cid:63))có

nghiệm tổng quát: y = y0(x) + y ∗ i (x)

n (cid:80) i=1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x (C1, C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x (C1, C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x (C1, C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x (C1, C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗

1 (x) = x vì

y ∗

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗

(cid:48) + 2y ∗

1 1 = 2x − 3

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗

2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx)

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R )

1 (x) = x vì

(cid:48) + 2y ∗

1 = 2x − 3

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R )

1 (x) = x vì

(cid:48) + 2y ∗

1 = 2x − 3

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗ 1

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗ y ∗ 1 Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng 2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx) dạng: y ∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

(C1, C2 ∈ R )

1 (x) = x vì

(cid:48) + 2y ∗

1 = 2x − 3

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗ 1

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗ y ∗ 1 Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗ 2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx) Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗

2 (x) = ex (2x 2 + x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(C1, C2 ∈ R )

1 (x) = x vì

(cid:48) + 2y ∗

1 = 2x − 3

(cid:48)(cid:48) − 3y ∗ 1

2 (x) = ex (2x 2 + x)

Thí dụ: Giải ptvp y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 + ex (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 2 Nên nghiệm tổng quát của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 0 là y0(x) = C1ex + C2e2x Rõ ràng nghiệm riêng của y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x − 3 là y ∗ y ∗ 1 Pt y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = ex (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y ∗ 2 (x) = xex (ax + b) = ex (ax 2 + bx) Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = 1. Vì vậy y ∗ Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0(x) + y ∗

1 (x) + y ∗

2 (x)

= (C1ex + C2e2x ) + x + ex (2x 2 + x) (C1, C2 ∈ R)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x (cid:82)

Giải ptvp : y (cid:48)(cid:48) − 2y (cid:48) + y = 1 + x , y (cid:48)(cid:48) − 2y (cid:48) + 5y = 5x 2 − 4x + 2 , y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) = 5 sin 2x , y (cid:48)(cid:48) − y (cid:48) = 2 cos2 x , y (cid:48)(cid:48) − 7y (cid:48) + 10y − 6 = 2 (2et + 10t − 7)dt,

0

y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2x 2 − 6x + 2 + ex (3 − 4x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = 4 − 2p, qs = 4 + 4p và sự điều chỉnh giá theo thời gian t: dp

dt = 1

2 [qd − qs ]

Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải:

dp

( p > 0 )

dt = 1

2 [qd − qs ] ⇔ dp

dt + 3p = 0 ⇔ dp

p = −3dt

⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > 0 ) ⇔ p = e−3t ⇔ p = C∗e−3t (C∗ > 0)

C∗

Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C∗e−3t (C∗ > 0)

2. ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

và sự điều chỉnh giá theo thời gian t: dp

dt = 1

2 [qd − qs ]

Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải:

dp

( p > 0 )

dt = 1

2 [qd − qs ] ⇔ dp

dt + 3p = 0 ⇔ dp

p = −3dt

⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > 0 ) ⇔ p = e−3t ⇔ p = C∗e−3t (C∗ > 0)

C∗

Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C∗e−3t (C∗ > 0)

2. ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ

Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = 4 − 2p, qs = 4 + 4p

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải:

dp

( p > 0 )

dt = 1

2 [qd − qs ] ⇔ dp

dt + 3p = 0 ⇔ dp

p = −3dt

⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > 0 ) ⇔ p = e−3t ⇔ p = C∗e−3t (C∗ > 0)

C∗

Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C∗e−3t (C∗ > 0)

2. ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ

Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = 4 − 2p, qs = 4 + 4p và sự điều chỉnh giá theo thời gian t: dp

dt = 1

2 [qd − qs ]

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải:

dp

( p > 0 )

dt = 1

2 [qd − qs ] ⇔ dp

dt + 3p = 0 ⇔ dp

p = −3dt

⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > 0 ) ⇔ p = e−3t ⇔ p = C∗e−3t (C∗ > 0)

C∗

Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C∗e−3t (C∗ > 0)

2. ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ

2 [qd − qs ]

dt = 1

Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = 4 − 2p, qs = 4 + 4p và sự điều chỉnh giá theo thời gian t: dp Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C∗e−3t (C∗ > 0)

2. ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ

2 [qd − qs ]

dt = 1

( p > 0 )

2 [qd − qs ] ⇔ dp

p = −3dt

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

= e−3t ⇔ p = C∗e−3t (C∗ > 0) Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = 4 − 2p, qs = 4 + 4p và sự điều chỉnh giá theo thời gian t: dp Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải: dt + 3p = 0 ⇔ dp dp dt = 1 ⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > 0 ) ⇔ p C∗