YOMEDIA
Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội
Chia sẻ: Minh Vũ
| Ngày:
| Loại File: PPT
| Số trang:142
502
lượt xem
58
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bội hai (kép), tích phân bội ba, ứng dụng của tích phân bội. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội
- Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tích phân bội hai (kép)
Bài 2. Tích phân bội ba
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
- Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tích phân bội hai
1.1. Bài toán mở đầu
1.2. Tích phân bội hai
1.3. Tính chất của tích phân bội hai
1.4. Phương pháp tính tích phân kép
- Bài 1. Tích phân bội hai
1.1. Bài toán mở đầu
z S
z = f (x , y )
V
O y
D
x
- Bài 1. Tích phân bội hai
z S
f (M i )
z = f (x , y )
DV i
V
f (M i ).D S i O y
• DS i
x D Mi
- Bài 1. Tích phân bội hai
z
n
V ﾻ ﾻ DV i
i =1
O y
x
- Bài 1. Tích phân bội hai
1.2. Tích phân bội hai
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và
bị chặn trong mặt phẳng Oxy .
Chia D thành n phần ﾻ S i (i ﾻ 1,..., n ) như bài
toán mở đầu và lấy n điểm tùy ý M i (x i , y i ) ﾻ ﾻ S i .
- Bài 1. Tích phân bội hai
Khi đó
n
In ﾻ ﾻ f (M i )ﾻ S i
iﾻ 1
được gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên D .
- Bài 1. Tích phân bội hai
n
Nếu I ﾻ lim ﾻ f (M i )ﾻ S i tồn tại hữu hạn thì số
nﾻ ﾻ
iﾻ 1
thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số
f (x , y ) trên miền D , ký hiệu là
I =�
�f (x ,y )dxdy
D
- Bài 1. Tích phân bội hai
Nếu tồn tại tích phân ﾻﾻ f (x , y )dxdy , ta nói:
D
• hàm số f (x , y ) khả tích trên miền D ;
• f (x , y ) là hàm dưới dấu tích phân;
• dx , dy là các vi phân lần lượt theo biến x và y .
- Bài 1. Tích phân bội hai
1.2.2. Định lý
Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị
chặn thì khả tích trong D .
- Bài 1. Tích phân bội hai
1.3. Tính chất của tích phân kép
Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.
• Tính chất 1
ﾻﾻ f (x ,y )dxdy ﾻ ﾻﾻ f (u , v )dudv
D D
- Bài 1. Tích phân bội hai
• Tính chất 2
ﾻﾻ (f ﾻ g)dxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ gdxdy
D D D
ﾻﾻ k .fdxdy ﾻ k ﾻﾻ fdxdy (k ﾻ ¡ )
D D
- Bài 1. Tích phân bội hai
• Tính chất 3
Nếu chia miền D thành D1 và D2 bởi đường cong
có diện tích bằng 0 thì
ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy
D D1 D2
- Bài 1. Tích phân bội hai
1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
1.4.1. Đưa về tích phân lặp
a) Định lý (Fubini)
Giả sử I ﾻ ﾻﾻ f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó
D
D ﾻ {(x , y ) : a ﾻ x ﾻ b, y 1(x ) ﾻ y ﾻ y 2(x )},
- Bài 1. Tích phân bội hai
y 2(x )
và với mỗi x ﾻ [a; b] cố định, ﾻ f (x , y )dy tồn tại.
y1(x )
Khi đó, ta có:
b ﾻy 2(x ) ﾻ b y 2(x )
ﾻﾻ ﾻﾻ
I ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ f (x , y )dy ﾻﾻ dx ﾻ ﾻ dx ﾻ f (x , y )dy
ﾻﾻ ﾻ
a ﾻ ﾻy1(x ) ﾻﾻ a y 1(x )
- Bài 1. Tích phân bội hai
Tương tự, nếu miền D là
D ﾻ {(x , y ) : x 1(y ) ﾻ x ﾻ x 2(y ), c ﾻ y ﾻ d }
thì
d ﾻx 2(y ) ﾻ d x 2(y )
ﾻﾻ ﾻﾻ
I ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ f (x , y )dx ﾻﾻ dy ﾻ ﾻ dy ﾻ f (x , y )dx
ﾻﾻ ﾻ
c ﾻ ﾻ x 1(y ) ﾻﾻ c x 1(y )
- Bài 1. Tích phân bội hai
Chú ý
1) Nếu miền D là hình chữ nhật,
D ﾻ {a ﾻ x ﾻ b, c ﾻ y ﾻ d } ﾻ [a ; b ]ﾻ [c; d ], thì
b d d b
ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ dx ﾻ fdy ﾻ ﾻ dy ﾻ fdx
D a c c a
- Bài 1. Tích phân bội hai
2) Nếu miền D ﾻ {a ﾻ x ﾻ b, y 1(x ) ﾻ y ﾻ y 2(x )}
và f (x , y ) ﾻ u (x ).v(y ) thì
b y 2(x )
ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ u (x )dx ﾻ v(y )dy
D a y 1(x )
- Bài 1. Tích phân bội hai
3) Nếu miền D ﾻ {x 1(y ) ﾻ x ﾻ x 2(y ), c ﾻ y ﾻ d }
và f (x , y ) ﾻ u (x ).v(y ) thì
d x 2(y )
ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ v(y )dy ﾻ u (x )dx
D c x 1(y )
4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành
những miền đơn giản.
- Bài 1. Tích phân bội hai
VD 1. Tính tích phân I ﾻ ﾻﾻ 2x cosy dxdy ,
D
trong đó miền D giới hạn bởi:
ﾻ ﾻ
ﾻ 1 ﾻ x ﾻ 2, ﾻ y ﾻ .
ﾻ
4 2
2 2
6- 3 2
Giải. Ta có I ﾻ ﾻ 2x dx ﾻ cosy dy = .
ﾻ 1 ﾻ
2
4
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
YOMEDIA
ERROR:connection to 10.20.1.100:9312 failed (errno=113, msg=No route to host)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9312 failed (errno=113, msg=No route to host)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
