intTypePromotion=3

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:142

0
229
lượt xem
55
download

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bội hai (kép), tích phân bội ba, ứng dụng của tích phân bội. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội

  1. Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Bài 1. Tích phân bội hai (kép) Bài 2. Tích phân bội ba Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
  2. Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Bài 1. Tích phân bội hai 1.1. Bài toán mở đầu 1.2. Tích phân bội hai 1.3. Tính chất của tích phân bội hai 1.4. Phương pháp tính tích phân kép
  3. Bài 1. Tích phân bội hai 1.1. Bài toán mở đầu z S z = f (x , y ) V O y D x
  4. Bài 1. Tích phân bội hai z S f (M i ) z = f (x , y ) DV i V f (M i ).D S i O y • DS i x D Mi
  5. Bài 1. Tích phân bội hai z n V ᄏ ᄏ DV i i =1 O y x
  6. Bài 1. Tích phân bội hai 1.2. Tích phân bội hai 1.2.1. Định nghĩa    Cho hàm số  f (x , y ) xác định trên miền  D  đóng và  bị chặn trong mặt phẳng Oxy .     Chia  D   thành  n   phần  ᄏ S i   (i ᄏ 1,..., n )  như  bài  toán mở đầu và lấy n  điểm tùy ý M i (x i , y i ) ᄏ ᄏ S i . 
  7. Bài 1. Tích phân bội hai      Khi đó  n In ᄏ ᄏ f (M i )ᄏ S i   iᄏ 1   được gọi là tổng tích phân của  f (x , y ) trên  D . 
  8. Bài 1. Tích phân bội hai n    Nếu  I ᄏ lim ᄏ f (M i )ᄏ S i  tồn tại hữu hạn thì số  nᄏ ᄏ iᄏ 1 thực  I  được gọi là  tích phân bội hai của  hàm số  f (x , y ) trên miền D , ký hiệu là  I =� �f (x ,y )dxdy D
  9. Bài 1. Tích phân bội hai    Nếu tồn tại tích phân  ᄏᄏ f (x , y )dxdy , ta nói:  D    • hàm số  f (x , y ) khả tích trên miền D ;     •  f (x , y ) là hàm dưới dấu tích phân;     • dx , dy  là các vi phân lần lượt theo biến x  và y . 
  10. Bài 1. Tích phân bội hai  1.2.2. Định lý       Hàm  f (x , y )  liên  tục  trong  miền  D   đóng  và  bị  chặn thì khả tích trong D . 
  11. Bài 1. Tích phân bội hai 1.3. Tính chất của tích phân kép Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.  • Tính chất 1  ᄏᄏ f (x ,y )dxdy ᄏ ᄏᄏ f (u , v )dudv   D D
  12. Bài 1. Tích phân bội hai  • Tính chất 2               ᄏᄏ (f ᄏ g)dxdy ᄏ ᄏᄏ fdxdy ᄏ ᄏᄏ gdxdy   D D D ᄏᄏ k .fdxdy ᄏ k ᄏᄏ fdxdy (k ᄏ ¡ )  D D
  13. Bài 1. Tích phân bội hai  • Tính chất 3     Nếu chia  miền  D  thành  D1 và  D2 bởi đường cong  có diện tích bằng 0 thì  ᄏᄏ fdxdy ᄏ ᄏᄏ fdxdy ᄏ ᄏᄏ fdxdy   D D1 D2
  14. Bài 1. Tích phân bội hai 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini)   Giả sử  I ᄏ ᄏᄏ f (x , y )dxdy  tồn tại,  trong đó   D D ᄏ {(x , y ) : a ᄏ x ᄏ b, y 1(x ) ᄏ y ᄏ y 2(x )}, 
  15. Bài 1. Tích phân bội hai y 2(x ) và với mỗi  x ᄏ [a; b] cố định,  ᄏ f (x , y )dy  tồn tại.  y1(x )    Khi đó, ta có:             b ᄏy 2(x ) ᄏ b y 2(x ) ᄏᄏ ᄏᄏ I ᄏ ᄏ ᄏ ᄏ f (x , y )dy ᄏᄏ dx ᄏ ᄏ dx ᄏ f (x , y )dy   ᄏᄏ ᄏ a ᄏ ᄏy1(x ) ᄏᄏ a y 1(x )
  16. Bài 1. Tích phân bội hai    Tương tự, nếu miền D  là  D ᄏ {(x , y ) : x 1(y ) ᄏ x ᄏ x 2(y ), c ᄏ y ᄏ d }     thì      d ᄏx 2(y ) ᄏ d x 2(y ) ᄏᄏ ᄏᄏ I ᄏ ᄏ ᄏ ᄏ f (x , y )dx ᄏᄏ dy ᄏ ᄏ dy ᄏ f (x , y )dx   ᄏᄏ ᄏ c ᄏ ᄏ x 1(y ) ᄏᄏ c x 1(y )
  17. Bài 1. Tích phân bội hai Chú ý  1) Nếu miền  D  là hình chữ nhật,  D ᄏ {a ᄏ x ᄏ b, c ᄏ y ᄏ d } ᄏ [a ; b ]ᄏ [c; d ], thì  b d d b ᄏᄏ f (x , y )dxdy ᄏ ᄏ dx ᄏ fdy ᄏ ᄏ dy ᄏ fdx   D a c c a
  18. Bài 1. Tích phân bội hai  2) Nếu miền  D ᄏ {a ᄏ x ᄏ b, y 1(x ) ᄏ y ᄏ y 2(x )}       và  f (x , y ) ᄏ u (x ).v(y ) thì    b y 2(x ) ᄏᄏ f (x , y )dxdy ᄏ ᄏ u (x )dx ᄏ v(y )dy   D a y 1(x )
  19. Bài 1. Tích phân bội hai  3) Nếu miền  D ᄏ {x 1(y ) ᄏ x ᄏ x 2(y ), c ᄏ y ᄏ d }       và  f (x , y ) ᄏ u (x ).v(y ) thì    d x 2(y ) ᄏᄏ f (x , y )dxdy ᄏ ᄏ v(y )dy ᄏ u (x )dx   D c x 1(y )  4) Nếu  D   là  miền  phức tạp  thì  ta  chia  D   ra  thành  những miền đơn giản. 
  20. Bài 1. Tích phân bội hai  VD 1. Tính tích phân I ᄏ ᄏᄏ 2x cosy dxdy ,  D             trong đó miền D  giới hạn bởi:  ᄏ ᄏ ᄏ 1 ᄏ x ᄏ 2, ᄏ y ᄏ .  ᄏ 4 2 2 2 6- 3 2  Giải. Ta có I ᄏ ᄏ 2x dx ᄏ cosy dy   = . ᄏ 1 ᄏ 2 4

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản