zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2" Chương 2 - Tích phân bội, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất; Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes; Định nghĩa, ý nghĩa hình học, tính chất; Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes; Công thức đổi biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chương 2: Tích phân bội Giảng viên: PGS.TS. Nguyễn Duy Tân tan.nguyenduy@hust.edu.vn Viện Toán ƯDTH, HUST Ứng dụng của phép tính vi phân 1 / 56
Contents Contents 1 2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes 2.1.4. Công thức đổi biến 2.1.5. Ứng dụng 2 2.2. Tích phân bội ba 2.2.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học, tính chất 2.2.2. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes 2.2.3. Công thức đổi biến 2.2.4. Ứng dụng Ứng dụng của phép tính vi phân 2 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Xét D là hình chữ nhật [a, b ] × [c, d ] và f (x, y ) là một hàm xác định trên D. Chia D thành các hình chữ nhật nhỏ bằng cách chia các đoạn [a, b ] và [c, d ]: a = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = b, c = y0 < y1 < · · · < yn−1 < yn = d. Ta được một phân hoạch P của D gồm mn hình chữ nhật con Rij = [xi −1 , xi ] × [yj −1 , yj ] (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) . Hình chữ nhật Rij có diện tích ∆Sij = ∆xi ∆yj = (xi − xi −1 )(yj − yj −1 ), và đường kính diam(Rij ) = (∆xi )2 + (∆yj )2 . Ta gọi ||P || = max diam(Rij ) là chuẩn của phân hoạch P. Ứng dụng của phép tính vi phân 3 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất ∗ ∗ Trong mỗi hình chữ nhật Rij ta lấy một điểm (xij , yij ) và lập tổng tích phân (tổng Riemann) m n R (f , P ) = ∑ ∑ f (xij , yij∗ )∆Sij . ∗ i =1 j =1 Định nghĩa (Tích phân kép trên miền hình chữ nhật) Nếu khi ||P || → 0, tổng tích phân R (f , P ) tiến tới một giới hạn xác định ∗ ∗ I , không phụ thuộc vào phân hoạch P và cách chọn (xij , yij ) thì giới hạn đó được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y ) trong miền D, kí hiệu là f (x, y )dS hay f (x, y )dxdy . D D Trong trường hợp này ta nói f khả tích trên D. D: miền lấy tích phân, f : hàm dưới dâu tích phân, dS: yếu tố diện tích. Ứng dụng của phép tính vi phân 4 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Như vậy I = f (x, y )dS, nếu và chỉ nếu với mọi > 0, tồn tại δ sao cho D |R (f , P ) − I | < , với mọi phân hoạch P của D thỏa mãn ||P || < δ và với mọi cách chọn ∗ ∗ điểm (xij , yij ). Ứng dụng của phép tính vi phân 5 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Điều kiện khả tích m n Tổng Darboux dưới L(f , P ) = ∑ ∑ inf f (x, y )∆Sij . i =1 j =1 (x,y )∈Rij m n Tổng Darboux trên U (f , P ) = ∑ ∑ sup f (x, y )∆Sij . i =1 j =1 (x,y )∈Rij Định lý Hàm f khả tích trên D khi vào chỉ khi lim(L(f , P ) − U (f , P )) = 0 khi ||P || → 0.. Hệ quả Nếu f liên tục trên D = [a, b ] × [c, d ] thì nó khả tích trên D. Ứng dụng của phép tính vi phân 6 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Định nghĩa tích phân kép trên miền tổng quát Cho f (x, y ) là hàm xác định trên miền đóng bị chặn D. Ta chọn một hình chữ nhật R = [a, b ] × [c, d ] chứa D và định nghĩa hàm F trên R như sau ¨ f (x, y ) nếu (x, y ) ∈ D F (x, y ) = 0 nếu (x, y ) ∈ R \ D. Nếu F khả tích trên R thì ta nói f khả tích trên D và ta định nghĩa tích phân kép của f trên D bởi: f (x, y )dS = F (x, y )dS D R Định lý Nếu hàm f liên tục trên miền đóng bị chặn D thì nó khả tích trên D. Ứng dụng của phép tính vi phân 7 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Ý nghĩa hình học Diện tích của D là S (D ) = 1dxdy = dxdy . D D Nếu hàm f (x, y ) liên tục, không âm trên miền D thì thể tích của vật thể hình trụ có đáy dưới là D, đáy trên là z = f (x, y ) có thể tích bằng V = f (x, y )dxdy . D Ứng dụng của phép tính vi phân 8 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Tính chất Tích phân kép có những tính chất tương tự như tích phân xác định. Tính chất tuyến tính: (a, b ∈ R) (af (x, y ) + bg (x, y )]dxdy = a f (x, y )dxdy + b g (x, y )dxdy , D D D Tính chất cộng tính: Nếu miền D được chia thành hai miền không D1 , D2 không dẫm lên nhau thì ta có f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy . D D1 D2 Bảo toàn thứ tự: Nếu f (x, y ) ≤ g (x, y )∀(x, y ) ∈ D thì f (x, y )dxdy ≤ g (x, y )dxdy . D D Ứng dụng của phép tính vi phân 9 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và tính chất Định lý giá trị trung bình Định lý Cho hàm f (x, y ) liên tục trên miền đóng, bị chặn, liên thông D. Khi đó trong D có ít nhất một điểm (x, y ) sao cho ¯ ¯ f (x, y )dxdy = f (x, y )S (D ). ¯ ¯ D Ta gọi f (x, y ) là giá trị trung bình của hàm f (x, y ) trên miền D: ¯ ¯ 1 f (x, y ) = ¯ ¯ f (x, y )dxdy S (D ) D Ứng dụng của phép tính vi phân 10 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Miền lấy tích phân dạng hình chữ nhật D = [a, b ] × [c, d ]. Định lý Fubini Cho f (x, y ) là hàm liên tục trên D = [a, b ] × [c, d ]. Khi đó     b d d b f (x, y )dxdy =  f (x, y )dy  dx =  f (x, y )dx  dy D a c c a Định lý Fubini còn đúng cho hàm f khả tích trên D = [a, b ] × [c, d ]. Các tích phân ở vế thứ hai và vế thứ ba ở công thức trên được là tích phân lặp. Ứng dụng của phép tính vi phân 11 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Tích phân lặp b d Để tính tích phân lặp f (x, y )dy dx, ta tính tích phân a c d I (x ) = f (x, y )dy , c b (coi như x không đổi), sau đó tính tiếp tích phân I (x )dx. a Ta cũng thường bỏ các dấu ngoặc ở trong công thức tích phân lặp:   b d b d b d  f (x, y )dy  dx = f (x, y )dydx = dx f (x, y )dy . a c a c a c Ứng dụng của phép tính vi phân 12 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Ví dụ Tính (x − y 2 )dxdy , ở đây D = {(x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. D Đáp số: 1/6. Ứng dụng của phép tính vi phân 13 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Tích phân trên miền hình thang cong Trên miền hình thang cong cạnh song song trục Oy . Định lý Cho f là hàm liên tục trên miền D, D = {(x, y ) | a ≤ x ≤ b, g1 (x ) ≤ y ≤ g2 (x )}, với g1 và g2 là hai hàm liên tục trên [a, b ]. Khi đó   b g2 (x ) f (x, y )dxdy = f (x, y )dy  dx.    D a g1 (x ) Ứng dụng của phép tính vi phân 14 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Trên miền hình thang cong cạnh song song trục Ox. Định lý Cho f là hàm liên tục trên miền D, D = {(x, y ) | c ≤ y ≤ d, h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y )}, với h1 và g2 là hai hàm liên tục trên [c, d ]. ( Khi đó   d h2 (y ) f (x, y )dxdy = f (x, y )dx  dy .    D c h1 ( y ) Ứng dụng của phép tính vi phân 15 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Đổi thứ tự tích phân Một miền D vừa có thể có dạng hình thang cong cạnh song song với Oy , vừa có thể có dạng hình thang cong cạnh song song với Ox D = {(x, y ) | a ≤ x ≤ b, g1 (x ) ≤ y ≤ g2 (x )} = {(x, y ) | c ≤ y ≤ d, h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y )}. Trong trường hợp này ta có công thức đổi thứ tự lấy tích phân b g2 (x ) d h2 ( y ) dx f (x, y )dy = dy f (x, y )dx. a g1 ( x ) c h1 ( y ) Ứng dụng của phép tính vi phân 16 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Tổng quát hơn, miền D dạng hình thang cong cạnh song song với Oy có thể được chia thành các hình thang cong D1 , . . . , Dn cạnh song song Ox: D = D1 ∪ · · · ∪ Dn , với Di = {(x, y ) | ci ≤ y ≤ di , ui (y ) ≤ x ≤ vi (y )}, và ta có công thức đổi thứ tự tích phân b g2 (x ) di vi (y ) n dx f (x, y )dy = ∑ dy f (x, y )dx a i =1 c g1 (x ) i ui (y ) Tương tự cho trường hợp miền dạng hình thang cong cạnh song song với Ox. Ứng dụng của phép tính vi phân 17 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Ví dụ (GK20201) Tính tính phân (x 2 + 3y 2 )dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường D y = x 2 và y = x. Giải: (Phác thảo hình dạng của miền D.) Miền D = {(x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ x }. 1 x Tích phân (x 2 + 3y 2 )dxdy = dx (x 2 + 3y 2 )dy = D 0 x2 1 (2x 3 − x 4 − x 6 )dx = 11/70. 0 Ứng dụng của phép tính vi phân 18 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Ví dụ (GK20172) 8 2 1 Tính tích phân sau dx dy . 0 √ 3 x y4 +1 ¨ ¨ 0≤x ≤8 0≤y ≤2 Giải: D : √ ⇔ . 3 x ≤y ≤2 0 ≤ x ≤ y 3. y3 8 2 1 2 1 2 y3 ln 17 Tích phân dx dy = dy dx = dy = . 0 √ 3 x y4 + 1 0 0 y4 + 1 0 y4 + 1 4 Ứng dụng của phép tính vi phân 19 / 56
2.1. Tích phân kép 2.1.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes Ví dụ (GK20192) √ 1 2−y 2 Đổi thứ tự lấy tích phân dy f (x, y )dx. 0 y2 ¨ 0≤y ≤1 Giải: Miền D : y2 ≤ x ≤ 2 − y2 ¨ ¨ D chia làm hai miền: D = D1 ∪ D2 , ở đây √ 0≤x ≤1 1≤x ≤ 2 D1 : √ và D2 : √ 0≤y ≤ x 0 ≤ y ≤ 2 − x 2. Do vậy √ √ √ √ 1 2−y 2 1 x 2 2−x 2 dy f (x, y )dx = dx f (x, y )dy + dx f (x, y )dy . 0 y2 0 0 1 0 Ứng dụng của phép tính vi phân 20 / 56

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.