zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2" Chương 3 - Tích phân phụ thuộc tham số, được biên soạn gồm các nội dung chính sau:Tích phân xác định phụ thuộc tham số; Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; Tích phân Euler. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số Giảng viên: PGS.TS. Nguyễn Duy Tân tan.nguyenduy@hust.edu.vn Viện Toán ƯDTH, HUST Tích phân phụ thuộc tham số 1 / 37
Nội dung Nội dung 1 3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.1. Định nghĩa 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích 2 3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.1. Định nghĩa 3.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ đều 3.2.3. Tính liên tục, khả vi, khả tích 3 3.3. Tích phân Euler 3.3.1. Hàm Gamma 3.3.2. Hàm Beta Tích phân phụ thuộc tham số 2 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.1. Định nghĩa 3.1.1. Định nghĩa Cho hàm f : [a, b ] × [c, d ] → R. Giả sử với mỗi t ∈ [c, d ] cố định, hàm số f (x, t ) khả tích trên [a, b ]. Ta định nghĩa hàm I : [a, b ] → R như sau b I (t ) = f (x, t )dx. a Ta gọi I (t ) là tích phân phụ thuộc tham số t. Tích phân phụ thuộc tham số 3 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Định lý Nếu f (x, t ) liên tục trên [a, b ] × [c, d ] thì I (t ) liên tục [c, d ]. b b b lim f (x, t )dx = lim f (x, t )dx = f (x, t0 )dx. t →t0 a a t →t0 a (Có thể đưa lim vào trong tích phân.) Tích phân phụ thuộc tham số 4 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Sơ lược chứng minh Xét t0 ∈ [c, d ] bất kỳ, và > 0 cho trước. b b |I (t ) − I (t0 )| = | (f (x, t ) − f (x, t0 ))|dx ≤ |f (x, t ) − f (x, t0 )|dx. a a Vì f (x, t ) liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b ] × [c, d ] nên nó liên tục đều trên R. Với mọi > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho: |f (x1 , t ) − f (x2 , t0 )| < , ∀|x1 − x2 | < δ, |t − t0 | < δ. b−a+1 Nói riêng, với |t − t0 | < δ, b |I (t ) − I (t0 )| ≤ |f (x, t ) − f (x, t0 )| ≤ (b − a) < . a b−a+1 I liên tục tại t0 . Tích phân phụ thuộc tham số 5 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Ví dụ (GK20201) 1 Cho hàm số I (y ) = −1 x 4 + x 2 + y 4 dx. Xét tính liên tục của I (y ). Từ đó tìm lim I (y ). y →0 Hàm f (x, y ) = x 4 + x 2 + y 4 liên tục trên mọi hình chữ nhật [−1, 1] × [c, d ]. Do vậy I (y ) liên tục trên mọi đoạn đóng [c, d ]. Do đó I (y ) liên tục trên R. 1 1 lim I (y ) = I (0) = x 4 + x 2 dx = 2 x 4 + x 2 dx y →0 −1 0 1 2 1 2 √ = 1 + x 2 d (1 + x 2 ) = (1 + x 2 )3/2 = (2 2 − 1). 0 3 0 3 Tích phân phụ thuộc tham số 6 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Tính khả tích Định lý Nếu hàm f (x, t ) liên tục trên [a, b ] × [c, d ] thì I (t ) khả tích trên [c, d ] và d d b b d I (t )dt = dt f (x, t )dx = dx f (x, t )dt. c c a a c Tích phân phụ thuộc tham số 7 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Tính khả vi Định lý Nếu hàm f (x, t ) và đạo hàm riêng ft (x, t ) liên tục trên [a, b ] × [c, d ], thì I (t ) có đạo hàm trên [c, d ] và b I (t ) = ft (x, t )dx. a d b ∂f I (t ) = (x, t )dx dt a ∂t Có thể đưa dấu đạo hàm vào trong tích phân. Tích phân phụ thuộc tham số 8 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Sơ lược chứng minh b Đặt J (t ) = (x, t )dx. Khi đó J (t ) là hàm liên tục trên [c, d ] a t f Với mọi y ∈ [c, d ] ta có y y b b y VT = J (t )dt = ft (x, t )dxdt = ft (x, t )dtdx c c a a c b b b = ( f (x, t )|y ) dx = c f (x, y )dx − f (x, c )dx = VP. a a a Lấy đạo hàm VT và VP. Đạo hàm của VT bằng J (y ). Đạo hàm của VP bằng I (y ). Vậy I (t ) = J (t ). Tích phân phụ thuộc tham số 9 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Ví dụ 1 1 d 1 1 ∂ t x t dx = (t > −1). ⇒ x t dx = (x )dx ⇒ 0 t +1 dt 0 0 ∂t 1 1 x t ln xdx = − . 0 (t + 1)2 1 ln(x + 1) (Putnam 2005, A5) Tính dx. 0 x2 + 1 π Tính e cos(x ) cos(sin x )dx. 0 Tích phân phụ thuộc tham số 10 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Ví dụ (GK20162) ln(y 2 sin2 x π/2 Cho hàm số f (y ) = 0 + cos2 x )dx. Tính f (1). Hàm F (x, y ) = ln(y 2 sin2 x + cos2 x ) và đạo hàm riêng 2y sin2 x Fy (x, y ) = 2 2 liên tục trên [0, π/2] × [1/2, 2]. y sin x + cos2 x Do vậy hàm f (y ) khả vi trên [1/2, 2] và π/2 2y sin2 x f (y ) = dx. 0 y 2 sin2 x + cos2 x π/2 2 sin2 x π/2 f (1) = 2 dx = (1 − cos(2x ))dx = π/2. 0 sin x + cos2 x 0 Tích phân phụ thuộc tham số 11 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến thiên Cho hàm f (x, t ) khả tích trên [a, b ] × [c, d ]. Cho hai hàm α(t ), β(t ) xác định trên [c, d ] với a ≤ α(t ), β(t ) ≤ b, ∀t ∈ [c, d ]. Xét tích phân phụ β (t ) thuộc tham số với cận biến thiên I (t ) = α(t ) f (x, t )dx Định lý (Tính liên tục) Nếu f liên tục trên [a, b ] × [c, d ], các hàm α(t ), β(t ) liên tục trên [c, d ] và nhận giá trị trong [a, b ], thì I (t ) liên tục trên [c, d ]. Định lý (Tính khả vi) (Công thức Leibniz) Nếu hàm f (x, t ) và đạo hàm riêng ft (x, t ) liên tục trên [a, b ] × [c, d ], và các hàm α(t ), β(t ) khả vi trên [c,d], thì I (t ) có đạo hàm trên [c, d ] và β (t ) I (t ) = ft (x, t )dx + f ( β(t ), t ) β (t ) − f (α(t ), t )α (t ). α (t ) Tích phân phụ thuộc tham số 12 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Ví dụ (GK20192) π/2 Tìm giới hạn lim sin(x 2 y + 2x + y 2 )dx. y →0 y Hàm lấy tích phân và các cận là các hàm liên tục. π/2 Do vậy I (y ) = sin(x 2 y + 2x + y 2 )dx liên tục. y π/2 π/2 lim sin(x 2 y + 2x + y 2 )dx = I (0) = sin(2x )dx = y →0 y 0 π/2 cos(2x ) − = 1. 2 0 Tích phân phụ thuộc tham số 13 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Ví dụ (GK20192) 1 Cho hàm số I (y ) = y sin(x 2 + xy + y 2 )dx. Tính I (0). Hàm số lấy tích phân f (x, y ) = sin(x 2 + xy + y 2 ) và đạo hàm riêng fy là các hàm liên tục. Các cận lấy tích phân là các hàm khả vi. Do vậy I (y ) khả vi và 1 I (y ) = fy (x, y )dx − f (y , y ) y 1 = (x + 2y ) cos(x 2 + xy + y 2 )dx − sin(3y 2 ). y 1 1 I (0) = 0 x cos(x 2 )dx − sin 0 = sin 1. 2 Tích phân phụ thuộc tham số 14 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích Một số bài tập 1 x 2015 cos(xy ) (GK20152) Tìm giới hạn lim dx. y →0 −1 1 + x 2 + 2y 2 π/3 1 (CK20182) Tìm giới hạn lim dy . x →0 π/4 x4 + sin2 y sin y arcsin(x + 3y ) (GK20181) Tìm giới hạn lim dx. y →0 1 +y 2 1 − x 2 + 3y 2 2 Tích phân phụ thuộc tham số 15 / 37
3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.1. Định nghĩa 3.2.1. Định nghĩa Cho hàm f : [a, +∞] × [c, d ] → R. Giả sử với mỗi t ∈ [c, d ] cố định, tích phân suy rộng +∞ I (t ) = f (x, t )dx a hội tụ. Ta gọi I (t ) là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số t. Ta nói tích phân suy rộng I (t ) hội tụ đều trên [c, d ] nếu với mọi > 0, tồn tại A ≥ a sao cho: b +∞ b ≥ A ⇒ I (t ) − f (x, t )dx = f (x, t )dx < , ∀t ∈ [c, d ]. a b Nhận xét: (Giả sử với mỗi t ∈ [c, d ], hàm f (x, t ) khả tích trên [a, b ] +∞ với mọi b > a.) Khi đó tích phân suy rộng a f (x, t )dx hội tụ đều +∞ trên [c, d ] nếu và chỉ nếu tích phân suy rộng u f (x, t )dx hội tụ đều trên [c, d ], với u > a. Tích phân phụ thuộc tham số 16 / 37
3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ đều 3.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ đều Tiêu chuẩn Weierstrass Cho hàm f (x, t ) xác định trên R = [a, +∞] × [c, d ] và với mỗi t ∈ [c, d ] hàm f (x, t ) khả tích trên mỗi đoạn [a, b ], b ≥ a. Giả sử tồn tại hàm số ϕ(x ) xác định trên [a, +∞] sao cho +∞ |f (x, t )| ≤ ϕ(x ) với mọi (x, t ) ∈ R và ϕ(x )dx < +∞. a +∞ Khi đó tích phân I (t ) = a f (x, t )dx hội tụ tuyệt đối và đều trên [c, d ]. Tích phân phụ thuộc tham số 17 / 37
3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ đều Ví dụ +∞ Xét sự hội tụ đều của I (t ) = e −x x t dx trên đoạn [0, a], a là số dương 0 cho trước. Ta có |e −x x t | = e −x x t ≤ e −x x a với mọi x ≥ 1, t ∈ [0, a]. +∞ Tích phân e −x x a dx hội tụ. 1 +∞ Theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân e −x e t dx hội tụ đều trên 1 [0,a]. +∞ Tích phân e −x e t dx hội tụ đều trên [0,a]. 0 Tích phân phụ thuộc tham số 18 / 37
3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.3. Tính liên tục, khả vi, khả tích 3.2.3. Tính liên tục, khả vi, khả tích Định lý (Tính liên tục) Nếu f liên tục trên [a, +∞) × [c, d ], và tích phân +∞ I (t ) = f (x, t )dx hội tụ đều trên [c, d ], a thì I (t ) liên tục trên [c, d ]. Tích phân phụ thuộc tham số 19 / 37
3.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.2.3. Tính liên tục, khả vi, khả tích Định lý (Tính khả tích) Nếu hàm f (x, t ) liên tục trên [a, +∞) × [c, d ] và +∞ I (t ) = f (x, t )dx hội tụ đều trên [c, d ], a thì I (t ) khả tích trên [c, d ] và d d +∞ +∞ d I (t )dt = dt f (x, t )dx = dx f (x, t )dt. c c a a c Tích phân phụ thuộc tham số 20 / 37

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.