Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số
Giảng viên: PGS.TS. Nguyễn Duy Tân
tan.nguyenduy@hust.edu.vn
Viện Toán ƯDTH, HUST
Tích phân phụ thuộc tham số 1 / 37
Nội dung
Nội dung
13.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
3.1.1. Định nghĩa
3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích
23.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
3.2.1. Định nghĩa
3.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ đều
3.2.3. Tính liên tục, khả vi, khả tích
33.3. Tích phân Euler
3.3.1. Hàm Gamma
3.3.2. Hàm Beta
Tích phân phụ thuộc tham số 2 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.1. Định nghĩa
3.1.1. Định nghĩa
Cho hàm f:[a,b]×[c,d]→R. Giả sử với mỗi t∈[c,d]cố định, hàm số
f(x,t)khả tích trên [a,b]. Ta định nghĩa hàm I:[a,b]→Rnhư sau
I(t) = Zb
a
f(x,t)dx.
Ta gọi I(t)là tích phân phụ thuộc tham số t.
Tích phân phụ thuộc tham số 3 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích
3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích
Định lý
Nếu f(x,t)liên tục trên [a,b]×[c,d]thì I(t)liên tục [c,d].
lim
t→t0Zb
a
f(x,t)dx =Zb
a
lim
t→t0f(x,t)dx =Zb
a
f(x,t0)dx.
(Có thể đưa lim vào trong tích phân.)
Tích phân phụ thuộc tham số 4 / 37
3.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số 3.1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích
Sơ lược chứng minh
Xét t0∈[c,d]bất kỳ, và e>0 cho trước.
|I(t)−I(t0)|=|Zb
a
(f(x,t)−f(x,t0))|dx ≤Zb
a|f(x,t)−f(x,t0)|dx.
Vì f(x,t)liên tục trên hình chữ nhật R= [a,b]×[c,d]nên nó liên
tục đều trên R.
Với mọi e>0 cho trước, tồn tại δ>0 sao cho:
|f(x1,t)−f(x2,t0)|<e
b−a+1,∀|x1−x2|<δ,|t−t0|<δ.
Nói riêng, với |t−t0|<δ,
|I(t)−I(t0)| ≤ Zb
a|f(x,t)−f(x,t0)| ≤ (b−a)e
b−a+1<e.
Iliên tục tại t0.
Tích phân phụ thuộc tham số 5 / 37