zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - GV. Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

210
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - Ma trận, định thức được biên soạn nhằm trang bị cho các bạn những kiến thức về định nghĩa ma trận, ma trận vuông, các phép toán trên ma trận, phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận; ma trận bậc thang, tính chất của định thức, ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo, cùng một số kiến thức khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Toán Cao Cấp §1. Ma trận Thời lượng: 45 tiết §2. Định thức Nội dung §3. Hệ phương trình tuyến tính ………………………………………………… Chương 1: Ma trận, định thức. Chương 2: Hệ Phương trình tuến tính. §1. MA TRẬN Chương 3: Hàm số và giới hạn. 1.1. Các định nghĩa Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến. Chương 5: Tích phân. a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m  n trên ¡ là 1 hệ thống gồm Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến. Chương 7: Lý thuyết chuỗi. Chương 8. Phương trình vi phân. m  n số aij  ¡ (i  1, m; j  1, n ) và được sắp thành bảng gồm m dòng và n cột: ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức a a1n  a   11 a12 ...   11   a a 22 ... a2n   • Khi n  1, ta gọi A   ...  là ma trận cột. A   21 .    ... ... ... ...  am 1    am 1 am 2 ... amn  • Khi m  n  1, ta gọi: A  (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử. • Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j . • Ma trận O  (0ij )mn có tất cả các phần tử đều bằng 0 • Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A. được gọi là ma trận không. • Khi m  1, ta gọi: • Tập hợp các ma trận A được ký hiệu là M m,n (¡), để A  (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dòng. cho gọn ta viết là A  (aij )mn . Ø Chương 5. Đại số tuyến tính Ø Chương 5. Đại số tuyến tính • Ma trận vuông • Các ma trận vuông đặc biệt § Khi m  n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . 1 0 0 § Ma trận vuông có tất cả các   Ký hiệu là A  (aij )n . phần tử nằm ngoài đường  0 5 0   chéo chính đều bằng 0 được  0 0 0 gọi là ma trận chéo.   § Đường chéo chứa các phần tử a11, a22 ,..., ann được gọi 1 2 3 4   § Ma trận chéo cấp n gồm tất 1 0 0 là đường chéo chính của 5 6 7 8 cả các phần tử trên đường    A  (aij )n ,   chéo chính đều bằng 1 được I 3  0 1 0 7 6 5 4 n   đường chéo còn lại được gọi   gọi là ma trận đơn vị cấp . 0 0 1 là đường chéo phụ. 3 2 1 0 Ký hiệu là I n . 1
10/13/2012 Ø Chương 5. Đại số tuyến tính ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức § Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử b) Ma trận bằng nhau nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới). Hai ma trận A  (aij ) và B  (bij ) được gọi là bằng 1 0 2  3 0 0 nhau, ký hiệu A  B , khi và chỉ khi chúng cùng     kích thước và aij  bij , i, j .    A  0 1 1  B   4 1 0      0 0 0  1 5 2 1 x y  1 0 1   VD 1. Cho A    và B   . § Ma trận vuông cấp n có tất cả z 2 t  2 u 3   3 4 1 các cặp phần tử đối xứng    4 1 0  Ta có: nhau qua đường chéo chính  A  B  x  0; y  1; z  2; u  2; t  3 .  bằng nhau (aij  a ji ) được 1 0 2  gọi là ma trận đối xứng.   ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1.2. Các phép toán trên ma trận b) Phép nhân vô hướng a) Phép cộng và trừ hai ma trận Cho ma trận A  (aij )mn và   ¡ , ta có: Cho hai ma trận A  (aij )mn và B  (bij )mn , ta có: A  (aij )mn . A  B  (aij  bij )mn . 1 1 0  3 3 0  3   ; 1 0 2  2 0 2 1 0 4  0 4 6 0 12 VD 3. VD 2.    ; 2  2 3 4 5 3 1 7 0 3 2 6 4 1 3 2    2  . 1 0 2  2 0 2 3 0 0  4  0 8  2 0 4    .  2 3 4 5 3 1 3 6 5 Chú ý  • Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép Nhận xét cộng ma trận. Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. • Ma trận 1.A  A được gọi là ma trận đối của A. ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức  1 1 0  VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2   c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A  (aij )mn và B  (bjk )np , ta có:  1 0 3 .   AB  (cik )mp .  1 1 0   Giải. 1 2  1 0 3     1 1 6 .    n Trong đó, cik   aijbjk i  1, m; k  1, p . j 1 1    VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3  2 .     1 5      Giải. 1 2 3  2   (1  4  15)  (12).   5 2
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức  0   1 1 1  2 Tính chất     VD 6. Tính    1 1. 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 2 0 3    1 3  3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);   5) AI n  A  I m A , với A  M m ,n (¡).  0    1 1 1 2  4 4 Giải.   1 1    . 1 0 1 1 2 1 2 0 3   7 9        1 3    VD 7. Cho A  2 2 0  và B   0 3 1.       3 0 3  2 1 0 Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA . ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Giải Chú ý 1 0 11 2 1 3 1 1      • Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.     a) AB  2 2 0  0 3 1  2 2 0. • Đặc biệt, khi A  (aij )n và p  ¥ * , ta có:      3 0 3 2 1 0 9 3 3 I np  I n 1 2 11 0 1 2 4 2 và A0  I n , Ap  (Ap1 )A  A(Ap1 )           b) BA   0 3 12 2 0   3 6 3. (lũy thừa ma trận).         2 1 0 3 0 3  0 2 2 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức d) Phép chuyển vị Tính chất Cho ma trận A  (aij )mn . 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; Khi đó, AT  (a ji )nm được gọi là ma trận chuyển vị T T 3) (A ) = A; 4) (AB)T = BTAT; của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột). 5) A  A  A đối xứng. T 1 4  1 2 3    VD 13. Cho A     AT   2 5 . 4{ 5 6    3 6  3
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức    1 1  0 1 2  1 1 1  T 1 2 2       VD 14. Cho A   0 2 , B   .        1 0  3   2 0 6  1 0 3.   3  2          2 3 12  1 6 12    a) Tính (AB )T . b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T . b) Sinh viên tự làm.  1 1  T        0 1  2 Giải. a) (AB )   0 T 2        1 0  3  3 2  ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận VD 15. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận 2 1 1 1  2 3  (Gauss – Jordan)     Cho ma trận A  (aij )mn (m  2). Các phép biến đổi  A  1 2 3  về B  0 1 7 / 5. sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là:     3 1 2  0 0 0   A . di dk 1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho nhau A   1  2 3  2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số   0 , A   i  i  A . d d    Giải. A    2 1 1 d1 d2 3) (e3 ) : Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần   dòng khác, A   di di dk    A . 3 1 2    1 2 3   Chú ý     0 5 7 di di dk d2 d2 2d1 1) Trong thực hành ta thường làm A    B. d3 d3 3d1   2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên 0 5 7 cột của ma trận. ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1.4. Ma trận bậc thang 1  2 3    • Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng     0 1 7 / 5  B . d 3 d 3 d2 0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không). 1 d2  d2  5 0 0 0  • Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. • Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m  n (m, n  2) thỏa hai điều kiện: 1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó. 4
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức VD 16. Các ma trận bậc thang: 1.5. Ma trận khả nghịch  1 0 ... 0   1 0 2 0 1 2 3   a) Định nghĩa      0 1 ... 0  • Ma trận A  M n (¡) được gọi là khả nghịch nếu tồn 0 0 3,  0 0 4 5, I   .   n     ... ... ... ... tại ma trận B  M n (¡) sao cho: 0 0 0 0 0 0 1        AB  BA  I n .  0 0 ... 1  Các ma trận không phải là bậc thang: • Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.  0 0 0 0 2 7 1 3 5  Ký hiệu B  A1 . Khi đó:       3 1 4, 0 3 4, 0 0 4. A1A  AA1  I n ; (A1 )1  A.          0 0 5 0 0 5 2 1 3 Chú ý Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất và A cũng là ma trận nghịch đảo của B . ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 2 5  3 5 2 5 2 1 VD 17. A    và B    1 2  là hai ma trận VD 18. Cho A    B    1 3  và 3 2.   1 3   nghịch đảo của nhau vì AB  BA  I 2 . Thực hiện phép tính: a) (AB ) ; 1 b) B 1A1 . Chú ý 1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì 19 12  không khả nghịch. Giải. a) Ta có: AB    và 19.7  11.12  1 2) (AB )1  B 1A1 . 11 7  3) Nếu ac  bd  0 thì: 19 12 1  7 12  a b  1  c b   (AB )1      .   1   11 7  11 19  d c   ac  bd . d a .     ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức §2. ĐỊNH THỨC b) Ta có:  2 1 3 5  7 12 2.1. Định nghĩa    B 1A1        . a) Ma trận con cấp k 3 2 1 2  11 19  Cho A  aij   M n (¡). n • Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận M ij có cấp n  1 thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij . 5
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1 2 3 b) Định thức (Determinant)   VD 1. Ma trận A  4 5 6 có các ma trận con ứng Định thức của ma trận vuông A  M n (¡), ký hiệu   detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa: 7 8 9 với các phần tử a là: ij § Nếu A  (a11 ) thì detA  a11 . 5 6 4 6 4 5     M 11   , M 12    , M 13  7 8, a a   8 9   7 9     § Nếu A   11 12  thì detA  a11a22  a12a21 . a 21 a 22  2 3 1 3 1 2    M 21   , M 22    , M 23   , § Nếu A  (aij )n (cấp n  3 ) thì: 8 9 7 9 7 8 det A  a11A11  a12A12  ...  a1n A1n 2 3 1 3 1 2     M 31   , M 32    , M 33   . trong đó, Aij  (1)i  j det M ij và số thực Aij được 5 6 4 6 4 5 gọi là phần bù đại số của phần tử aij . ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Chú ý VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 1) det I n  1, detOn  0 . 1 2 1 3 2       a11 a12 a13 A  1 4 , B  3 2 1 .      2) Tính a21 a 22 a 23 . 2 1 1  a 31 a 32 a 33 3 2 Giải. det A   3.4  1.(2)  14 . a11 a12 a13 a11 a12 a11 a12 a13 1 4 a21 a22 a23 a21 a22 hoặc a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det B  1.(2).1  2.1.2  3.1.(1) a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 (Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ  2.(2)(1)  3.2.1  1.1.1  12. đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức VD 3. Tính định thức của ma trận: 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức 0 0 3 1   Cho ma trận vuông A  aij   M n (¡), ta có các 4 1 2 1 . n A   3 1 0 2  tính chất cơ bản sau:   a) Tính chất 1 2 3 3 5  Giải. Ta có: det A  0.A11  0.A12  3.A13  (1).A14   det AT  det A.  3(1)13 det M 13  (1)14 det M 14 1 3 2 1 2 1 4 1 1 4 1 2 VD 4. 2 2 1  3 2 1  12 . 33 1 2  3 1 0  49 . 1 1 1 2 1 1 2 3 5 2 3 3 6
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức b) Tính chất 2 c) Tính chất 3 Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì định thức đổi dấu. định thức tăng lên λ lần. 1 3 2 1 1 1 1 1 1 VD 5. 2 2 1   2 2 1  2 2 1 . 3.1 0 3.(1) 1 0 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 VD 7. 2 1 2  3 2 1 2 ; 3 1 7 3 1 7 Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột) x 1 x giống nhau thì bằng 0. x3 1 x x3 3 3 1 x x2 x3 x  1 y y 3  (x  1) 1 y y 3 . VD 6. 2 2 1  0; 1 y2 y5  0. x 1 z z3 1 z z3 1 1 7 1 y2 y5 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Hệ quả d) Tính chất 4 Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần 1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột) tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng bằng 0 thì bằng 0. 2 định thức. 2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với VD 9. x  1 x  1 x 1 1 0 x x x nhau thì bằng 0. x y y  x 3 y y x 3 y y3 ; x 0 1 1 z z3 1 z z3 1 z z3 6 6 9 VD 8. x2 0 y  0; 2 2 3  0 . cos2 x 2 3 sin2 x 2 3 1 2 3 x 3 0 y 2 8 3 12 sin x 2 5 6  cos x 2 5 6  1 5 6. sin2 x 8 9 cos2 x 8 9 1 8 9 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức e) Tính chất 5 1 2 3 1 1 2 3 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng d3  d 3  d2 4 0 4 2 . (hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác. 0 4 2 VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về 0 1 2 0 0 3 / 2 1 2 3 Chú ý dạng bậc thang:   1 2 1 . 1 2 3 d 4d d 1 2 3 2 3 4 3 3 2 Phép biến đổi 0 4 2  0 4 2 là sai 1 2 3 1 2 3 0 1 2 0 0 6 d2  d2  d1 d3  d 3  2d1 Giải.  0 4 2 0 4 2 vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4. 2 3 4 0 1 2 7
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Ø Chương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 2.3. Định lý (khai triển Laplace) 1 0 0 2 Cho ma trận vuông A  aij   M n (¡), ta có các 2 0 1 2 n VD 12. Tính định thức bằng hai cách khai triển Laplace của định thức A: 1 3 2 3 a) Khai triển theo dòng thứ i 3 0 2 1 n det A  ai 1Ai 1  ai 2Ai 2  ...  ain Ain   aij Aij . khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2. j 1 Giải. Khai triển theo dòng 1: Trong đó, Aij  (1)i  j det(M ij ). 1 0 0 2 (1) (1)14 11 0 1 2 2 0 1 2 0 1 2 b) Khai triển theo cột thứ j  1.1. 3 2 3  (1).2. 1 3 2  3 . n 1 3 2 3 det A  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...  anj Anj   aij Aij . 0 2 1 3 0 2 i 1 3 0 2 1 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính • Khai triển theo cột 2: 1 1 1 2 1 0 0 2 2 1 1 3 1 0 2 định thức . 2 0 1 2 1 2 1 2  (1).3. 2 1 2  3 . 3 3 2 1 1 3 2 3 3 2 1 3 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 (1)32 2 1 1 3 d2 d2 2d1 0 3 1 1 Giải.  1 2 1 2 d 3 d3 d1 d 4 d 4 3d1 0 1 2 0 3 3 2 1 0 0 1 5 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Các kết quả đặc biệt cần nhớ 3 1 1 1) Dạng tam giác khai tr i eå n coä t1 a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0  1 2 0  34 . 0 a22 ... a2n a21 a22 ... 0 0 1  5   a11a22 ...ann . ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ann an 1 an 2 ... ann 2) Dạng tích: det(AB )  det A. det B . 3) Dạng chia khối A M B K K K  det A. detC , với A, B, C  M n (¡). On M C 8
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1 2 3 4 0 0 3 4 0 2 7 19 3 2 7 19 VD 14. Tính det A  . VD 15. Tính det B  . 0 0 3 0 1 2 3 7 0 0 0 1 0 0 8 1 Giải. Ta có: Giải. Ta có: det A  1.(2).3.(1)  6 . 1 2 3 7 d 3 d1 3 2 7 19 1 2 3 4 det B    0 0 3 4 3 2 8 1 0 0 8 1  280. ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 1 1 12 1 4 1 1 12 1 43 1 4 T             VD 16. Tính detC  2 0 3 2 1 3 . VD 17. Tính det D  2 0 3  2 1 3  0 1 2 .             1 2 3 1 2 1 1 2 31 2 1 1 2 1 Giải. Ta có: 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 3 1 4 Giải. Ta có: detC  2 0 3 2 1 3  3 . det D  2 0 3 2 1 3 0 1 2  21 . 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 1 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức x 1 0 0 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo 1 x 0 0 a) Định lý VD 18. Phương trình  0 có nghiệm Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi: 2 x x 2 det A  0. 3 8 2 x x  1 là: A. x  1; B. x  1; C. x  1; D.  . VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận x  2 m 1  0  m  1 0  T   m    Giải. Chuyển vị định thức, ta được: A    x 1 x 2  0 m  1 m  1  1 m 2  Phương trình  0 1 x 2 x khả nghịch là: m  0  m  0  (x 2  1)(x 2  4)  0  A. A.  ; B.   ; C. m  0 ; D. m  1. m  1  m 1  9
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức Giải. Ta có: b) Thuật toán tìm A–1 m 1 m 0 m 1 0 • Bước 1. Tính detA. Nếu det A  0 thì kết luận A det A   m 5 (m  1)2 . 0 m 1 m 1 1 m2 không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Lập ma trận Aij  , Aij  (1)i  j det M ij .  m  0 n Vậy A khả nghịch  det A  0    B. Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:  m 1 adjA  Aij   . T    n • Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là: 1 A1  .adjA. det A ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 1 0 1 0 1 A11   1, A12    1, A13   1, 1 2 1  2 3 1 3 1 2    A  1 1 2. 2 1 1 1 1 2   A21    4, A22   2, A23    0, 3 5 4 2 3 1 3 1 2 Giải. Ta có: det A  0  A không khả nghịch. 2 1 1 1 1 2 A31   1, A32    1, A33   1. 1 2 1 1 1 0 1 0 1   VD 21. Cho ma trận A  0 1 1. Tìm A1 .  1 4 1   1 4 1    3   1   1 2  adjA   1 2 1 A1   1 2 1 .   2  Giải. Ta có: det A  2  0  A khả nghịch. 1 0 1  1 0 1   ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 2.5. Hạng của ma trận Chú ý • Nếu A  aij  khác 0 thì 1  r (A)  min{m, n }. a) Định thức con cấp k mn Cho ma trận A  aij  . Định thức của ma trận con • Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r (A)  0 . mn cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. c) Thuật toán tìm hạng của ma trận Định lý • Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang. Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức con cấp k  1 cũng bằng 0. • Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho. b) Hạng của ma trận • Đặc biệt Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A Nếu A là ma vuông cấp n thì: được gọi là hạng của ma trận A . Ký hiệu là r (A). r (A)  n  det A  0. 10
10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận 1  3 4 2     m 1 2   VD 23. Cho A  2 5 1 4. Tìm r (A).    A   0 3 2  có hạng bằng 3 là: 3 8 5 6    0 1 1  1  3 4 2    A. m  1; B. m  1; C. m  1; D. m  0 . Giải. Biến đổi A   d2 d2 2d1    0 1 7 0 d3 d 3 3d1   0 1 7 0 Giải. Ta có:   3 2 1  3 4 2  r (A)  3  det A  0  m  0  D.   1 1    0 1 7 0  r (A)  2 . d 3 d 3 d2    0 0 0 0 ØChương 1. Ma Trận Trận,, Định Thức 2 1 1 3    0 1 0 0  VD 24. Cho A    . Tìm r (A). 0 1 2 0    0 1 1 4 Giải. Biến đổi: 2 1 1  3 2 1 1 3      0 1 0 0 0 1 0 0  A       . 0 0 2 0  0 0 2 0      0 0 1 4 0 0 0 8 Vậy r (A)  4 . 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.