zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

238
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hàm số và giới hạn. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về bổ túc hàm số; giới hạn của hàm số; đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn; hàm số liên tục. Bài giảng phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §1. Bổ túc về hàm số – Nếu f (x1 )  f (x 2 )  x1  x 2 thì f là đơn ánh. §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. §4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. ……………………………. VD 1. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ a) Hàm số f : ¡  ¡ thỏa y  f (x )  2x là đơn ánh. 1.1. Khái niệm cơ bản b) Hàm số f : ¡  [0; ) thỏa f (x )  x 2 là toàn ánh. 1.1.1. Định nghĩa hàm số c) Hsố f : (0; )  ¡ thỏa f (x )  ln x là song ánh. • Cho X ,Y  ¡ khác rỗng. Ánh xạ f : X  Y với x a y  f (x ) là một hàm số. • Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm chẵn nếu: Khi đó: f (x )  f (x ), x  D f . – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm lẻ nếu:  G  y  f (x ) x  X .  f (x )  f (x ), x  D f . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu g  f 1 , nếu x  g(y ), y  G f . 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg  Df . Nhận xét Khi đó, hàm số h(x )  ( f o g )(x )  f [g(x )] được gọi là – Đồ thị hàm số y  f 1(x ) hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của hàm số y  f (x ) qua Chú ý đường thẳng y  x . ( f o g )(x )  (g o f )(x ). VD 2. Hàm số y  2(x 2  1)2  x 2  1 là hàm hợp của VD 3. Cho f (x )  2x thì f (x )  2x 2  x và g(x )  x 2  1 . f 1(x )  log 2 x , mọi x > 0. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y  cos x có hàm ngược trên [0; ] là    • Hàm số y  sin x có hàm ngược trên  ;  là f 1 : [1; 1]  [0; ]  2 2      x a y  arccos x . f 1 : [1; 1]   ;   2 2    VD 5. arccos 0  ; x a y  arcsin x . 2 arccos(1)  ; VD 4. arcsin 0  0 ; 3  1 2  arccos  ; arccos  . arcsin(1)   ; 2 6 2 3 2 Chú ý 3   arcsin  . arcsin x  arccos x  , x  [1; 1]. 2 3 2 1
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x    • Hàm số y  tan x có hàm ngược trên  ;  là • Hàm số y  cot x có hàm ngược trên (0; ) là     2 2  f 1 : ¡   ;  f 1 : ¡  (0; )  2 2  x a y  arctan x . x a y  arc cot x .  VD 6. arctan 0  0 ; VD 7. arc cot 0  ;  2 arctan(1)   ; 3 4 arc cot(1)  ;  4 arctan 3  .  3 arc cot 3  . 6   Quy ước. arctan   , arctan    . Quy ước. arc cot()  0, arc cot()  . 2 2 ……………………………………… Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x   , 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 ký hiệu lim f (x )  L , nếu   0 cho trước ta tìm x  • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x )  L   . hạn là L (hữu hạn) khi x  x 0  [a ; b ], ký hiệu • Tương tự, ký hiệu lim f (x )  L , nếu   0 cho lim f (x )  L , nếu   0 cho trước ta tìm được   0 x  x x 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho sao cho khi 0  x  x 0   thì f (x )  L  . khi x < N thì f (x )  L   . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là  khi x  x 0 , ký hiệu hạn là L (hữu hạn) khi x  x 0  [a ; b ], ký hiệu lim f (x )   , nếu  M  0 lớn tùy ý cho trước ta lim f (x )  L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x x0 x x 0 tìm được   0 sao cho khi 0  x  x 0   thì x n  x 0 thì lim f (x n )  L . f (x )  M . n  Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Tương tự, ký hiệu lim f (x )   , nếu  M  0 có trị 2.2. Tính chất x x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được   0 sao cho Cho lim f (x )  a và lim g (x )  b . Khi đó: x x 0 x x 0 khi 0  x  x 0   thì f (x )  M . 1) lim [C .f (x )]  C .a (C là hằng số). Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) x x 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x  x 0 2) lim [ f (x )  g (x )]  a  b . x x 0 với x  x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L . 3) lim [ f (x )g (x )]  ab ; x x0 0 x x 0 x x f (x ) a 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x  x 0 4) lim  , b  0; với x  x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu g (x ) b x x 0 hạn), ký hiệu lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L . 5) Nếu f (x )  g (x ),  x  (x 0  ; x 0  ) thì a  b . x  x0 0 x x 0 6) Nếu f (x )  h (x )  g (x ), x  (x 0  ; x 0  ) và Chú ý. lim f (x )  L  lim f (x )  lim f (x )  L . lim f (x )  lim g (x )  L thì lim h (x )  L . x x0 x x x x 0 0 x x 0 x x 0 x x 0 2
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Định lý Các kết quả cần nhớ Nếu lim u(x )  a  0, lim v(x )  b thì: 1 1 x x 0 x x 0 1) lim  , lim  . x 0 x x 0 x lim [u(x )]v (x )  a b . an x n  an 1x n 1  ...  a0 x x 0 2) Xét L  lim , ta có: 2x x  b x m m  bm 1x m1  ...  b0  2x x 1 VD 1. Tìm giới hạn L  lim   . an  x  3  x   a) L  bn nếu n  m ; A. L  9 ; B. L  4 ; C. L  1; D. L  0 . b) L  0 nếu n  m ; x  2x 2.x 1 c) L   nếu n  m . Giải. Ta có: L  lim    22  B .  x  3  x   3) lim sin x  lim tan x  1. x  0 x x  0  x Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 4) Số e: 3x 3x  x Khi x   thì  0, 2x . 3 1 1 lim 1    lim 1  x x  e. 2x 2  1 2x 2  1 x   x  x 0 2x 2 1  3x  2x  3x  3x VD 2. Tìm giới hạn L  lim 1   .  lim 1    e  L  e3  B . x   x   2x 2  1   2x 2  1   A. L  ; B. L  e 3 ; C. L  e 2 ; D. L  1. 3x 2x .  2x 2 1  2x 2 1    3x  Giải. L  lim 1   3 x   . x   2x 2  1     Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1 VD 3. Tìm giới hạn L  lim 1  tan2 x x  0   4x . §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé A. L   ; B. L  1; C. L  4 e ; D. L  e . a) Định nghĩa 1 2 Hàm số (x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)  1  4x . tan x   Giải. L  lim  1  tan2 x x  0   tan2 x    khi x  x 0 nếu lim (x )  0 ( x 0 có thể là vô cùng). x x 0    1 1  tan x  .  4  x    2   VD 1. (x )  tan3 sin 1  x là VCB khi x  1;  x  0    lim  1  tan2 x  tan 2 x     4e C . (x )  1 ln2 x là VCB khi x  .   ……………………………………… 3
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) Tính chất của VCB c) So sánh các VCB 1) Nếu (x ), (x ) là các VCB khi x  x 0 thì • Định nghĩa (x ) Cho (x ), (x ) là các VCB khi x  x 0 , lim  k. (x )  (x ) và (x ).(x ) là VCB khi x  x 0 . x x 0 (x ) Khi đó: 2) Nếu (x ) là VCB và (x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k  0 , ta nói (x ) là VCB cấp cao hơn (x ), thì (x ).(x ) là VCB khi x  x 0 . ký hiệu (x )  0((x )) . – Nếu k  , ta nói (x ) là VCB cấp thấp hơn (x ). 3) lim f (x )  a  f (x )  a  (x ), trong đó (x ) là x x 0 – Nếu 0  k  , ta nói (x ) và (x ) là các VCB VCB khi x  x 0 . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k  1, ta nói (x ) và (x ) là các VCB tương đương, ký hiệu (x ) : (x ) . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 2. • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 • 1  cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x  0 vì: x 1) (x ) : (x )  (x )  (x )  0((x ))  0((x )). 2 sin2 1  cos x 2  1. 2) Nếu (x ) : (x ), (x ) : (x ) thì (x ) : (x ). lim  lim x 0 x 2 x  0 x  2 2 4   3) Nếu  1(x ) : 1(x ),  2 (x ) : 2 (x ) thì  2   1(x ) 2 (x ) : 1(x )2 (x ). 4) Nếu (x )  0((x )) thì (x )  (x ) : (x ). • sin 2 3(x  1) : 9(x  1)2 khi x  1. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 Cho (x ), (x ) là tổng các VCB khác cấp khi x  x 0 1) sin x : x ; 2) tan x : x ; (x ) 3) arcsin x : x ; 4) arctan x : x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x x 0 (x ) x2 5) 1  cos x : ; 6) e x  1 : x ; nhất của tử và mẫu. 2 x 3  cos x  1 x VD 3. Tìm giới hạn L  lim 7) ln(1  x ) : x ; 8) n 1  x  1 : . . n x 0 x4  x2 Chú ý x 3  (1  cos x ) 1  cos x 1 Giải. L  lim  lim  . Nếu u(x ) là VCB khi x  0 thì ta có thể thay x bởi x 0 x4  x2 x 0 x2 2 u(x ) trong 8 công thức trên. 4
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 4. Tính giới hạn L  lim ln(1  2x sin x )2 . VD 5. Tính L  lim sin   x  1  1  x 2  3 tan2 x . 2 x 0 sin x . tan x x 0 sin x 3  2x Giải. Khi x  0 , ta có: Giải. Khi x  0 , ta có: 2 2 2 ln(1  2x sin x ) 2x sin x 2x .x tan2 x : x 2 (cấp 2), sin x 3 : x 3 (cấp 3), : :  2 . 2 2 2 sin x . tan x x .x x .x sin   x  1 1 : 1  x 1 : x 2 (cấp 1). Vậy L  2 . x 1 Vậy L  lim 2  . x  0 2x 4 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Chú ý 3.2. Đại lượng vô cùng lớn Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho a) Định nghĩa hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử Hàm số f (x ) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) hoặc mẫu của phân thức. khi x  x 0 nếu lim f (x )   (x 0 có thể là vô cùng). x x 0 e x  e x  2 (e x  1)  (e x  1) cos x  1 VD 6. lim  lim VD 7. là VCL khi x  0 ; x 0 x2 x 0 x2 2x 3  sin x x  (x )  lim  0 (Sai!). x3  x 1 x 0 x2 là VCL khi x  . x 2  cos 4x  3 x3 x3 Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x  x 0 thì lim  lim   (Sai!). x  0 tan x  x x 0 x  x 1 là VCB khi x  x 0 . f (x ) Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) So sánh các VCL VD 8. • Định nghĩa f (x ) 3 1 Cho f (x ), g (x ) là các VCL khi x  x 0 , lim  k. • là VCL khác cấp với khi x  0 vì: x x 0 g(x ) x3 2x 3  x Khi đó: 3 1  2x 3  x x – Nếu k  0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ). lim  :   3 lim   3 lim  .  x 0  x 3 2x  x  3 x 0 x3 x 0 x 3 – Nếu k  , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ). – Nếu 0  k  , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL • 2 x 3  x  1 : 2 x 3 khi x  . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k  1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL tương đương. Ký hiệu f (x ) : g (x ) . 5
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp VD 9. Tính các giới hạn: Cho f (x ) và g(x ) là tổng các VCL khác cấp khi x  x 0 x 3  cos x  1 x 3  2x 2  1 A  lim ; B  lim . 3 f (x ) x  3x  2x x  2 x 7  sin2 x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất x x 0 g(x ) của tử và mẫu. x3 1 Giải. A  lim  . 3x x  3 3 3 x 1 B  lim  lim  0. x  7 x  2 x 2 x ………………………………………………………… Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 4.1. Định nghĩa x 0 là hàm số liên tục tại x 0 . • Số x 0  Df được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.   0 : x  (x 0  ; x 0  ) \ {x 0 } thì x  Df . • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. • Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x )  f (x 0 ). x x 0 • Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại mọi điểm x 0  X . Quy ước • Hàm số f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn   3 tan2 x  sin2 x 4.3. Hàm số liên tục một phía   ,x 0 VD 1. Cho hàm số f (x )   2x . • Định nghĩa   Hàm số f (x ) được gọi là liên tục trái (phải) tại x 0 nếu  , x  0   lim f (x )  f (x 0 ) ( lim f (x )  f (x 0 )). Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  0 là: x x  x x 0 1 3 0 A.   0 ; B.   ; C.   1; D.   . 2 2 • Định lý Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu Giải. Ta có lim f (x )  f (0)   . x  0 lim f (x )  lim f (x )  f (x 0 ). x x 0 x x 0 Mặt khác, khi x  0 ta có:  x 2 3 tan2 x  sin2 x 1 :  2x 2x 2 6
10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1   ln(cos x )  lim f (x )  .   ,x 0 x 0 2 VD 2. Cho hàm số f (x )   arctan2 x  2x 2 .    2  3, x  0   Hàm số f (x ) liên tục tại x  0 Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  0 là: 1 17 17 3 3  lim f (x )  lim f (x )  f (0)     B. A.   ; B.    ; C.    ; D.   . x  0 x  0 2 12 12 2 2 Giải. Khi x  0 , ta có: arctan2 x  2x 2 : 3x 2 ; x2 ln(cos x )  ln[1  (cos x  1)] : cos x  1 :  2 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn x2 4.4. Phân loại điểm gián đoạn  ln(cos x ) 1 • Nếu hàm số f (x ) không liên tục tại x 0 thì x 0 được gọi  : 2  lim f (x )   . 2 arctan x  2x 2 3x 2 x  0 6 là điểm gián đoạn của f (x ). • Nếu tồn tại các giới hạn: Hàm số f (x ) liên tục tại x  0 lim f (x )  f (x 0 ), lim f (x )  f (x 0 ) 1 x x 0 x x 0  lim f (x )  f (0)    2  3  A . x 0 6 nhưng f (x 0 ), f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai. …………………………………………………………………………… 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.