intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 6 - Đạo hàm và vi phân của hàm một biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Đạo hàm cấp 1; Đạo hàm cấp cao; Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn; Xác định lý về giá trị trung bình; Công thức khai triển Taylor; Vi phân cấp 1; Vi phân cấp cao;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - ThS. Lê Trường Giang

  1. 1
  2. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  6.1. Đạo hàm  6.2. Ứng dụng của đạo hàm  6.3. Vi phân 2
  3. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 6.1. ĐẠO HÀM Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 6.1.1. Đạo hàm cấp 1 1) Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định trong khoảng  a, b  , x 0   a, b  . Nếu giới hạn y f  x 0  x   f  x 0  f  x   f  x0  lim  lim  lim x 0 x x 0 x x x 0 x  x0 Tồn tại thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x 0 . Kí hiệu f   x 0  hoặc y  x 0  . 3
  4. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Hàm số f  x  được gọi là có đạo hàm bên phải tại x 0, Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang kí hiệu f   x 0 , nếu tồn tại giới hạn:  y f  x 0  x   f  x 0  f   x 0   lim   lim x 0 x x 0 x f  x   f  x0   lim x x 0 x  x0 Hàm số f  x  được gọi là có đạo hàm bên trái tại x 0, kí hiệu f   x 0  , nếu tồn tại giới hạn:  y f  x 0  x   f  x 0  f   x 0   lim   lim x 0 x x 0 x f  x   f  x0  4  lim x x 0 x  x0
  5. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2) Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x 0 thì liên tục tại x 0  Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi: f  x0   f  x0    3) Một số công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm a) Đạo hàm của hàm hợp  1  u u 1.  u   u 1u  2.    2 u u 3.  u   2 u 5
  6. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 4.  sin u   u cos u 5.  cos u   u sin u u 6.  tan u   u 1  tan 2 u   cos 2 u 7.  cot u   u 1  cot 2 u   u sin 2 u u  8.  e   e u u 9.  a u   ua u ln a 10.  log a u   u   ln u   u 6 u ln a u
  7. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN b) Đạo hàm của hàm ngược Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang u 1.  arcsin u   1 u 2  u 2.  arccos u   1  u2 3.  arctan u   u 1 u 2 4.  arccot u     u 1  u2 Chú ý: 7  ln y  g  x  ln f  x   y  y g  x  ln f  x   g x  y  f x  
  8. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 6.1. Tính các đạo hàm sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang sin 2 x a) f  x   sin x 2 b) f  x   e sin 4 3x 1  x2 c) f  x   arcsin 1  x2 d) f  x   x  arctan x e) y   sin x  x f ) y   ln x  2x 2 1 8
  9. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 6.1.2. Đạo hàm cấp cao Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Định nghĩa + Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x thì ta nói f  x  có đạo hàm cấp 1 tại x. Kí hiệu f   x  . + Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f  x  tại x. Kí hiệu f   x . + Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) được gọi là đạo hàm cấp n của f  x  tại x. Kí hiệu f  n   x . f n f  n 1  x   x    9
  10. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2) Một số công thức cần nhớ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  1  n  1! n 1 x  n n 1. n  n! 2.  ln x   xn a  e  n n n 3. x  a  ln a  x 4. x  ex  n  n 5.  sin x   sin  x    2  n  n  6.  cos x   cos  x    2  n   7.  cos kx   k cos  kx  n  n 10  2
  11. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3) Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang n 1.  ku   ku  n n 2. u  v u n v n n n  uv    Ck u  n k  v k 3. n k 0 Ví dụ 6.2. Tính các đạo hàm sau: a) y  sin  sin x  . Tìm y? b) y  x 1  x 2 . Tìm y ? c) y  x e . Tính y   0  ? 2 x 20 11 d) y   2x  3 e . Tính f  0  ? x 10 
  12. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN MARQUIS DE L'HÔSPITAL Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang (1661 - 1704) Ông là nhà toán học người Pháp. Tên của ông được gắn liền với quy tắc L’Hospital – là quy tắc dùng đạo hàm để tính toán các giới hạn có dạng vô định. Ông đã phát biểu quy tắc này trong quyển sách Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (1696) của mình – MARQUIS DE L'HÔSPITAL 12 quyển sách đầu tiên về phép tính vi phân. (1661 - 1704)
  13. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 6.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 6.2.1. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: Cho các hàm số f  x  và g  x  khả vi trong lân cận của điểm x 0 và g  x   0. Khi đó, nếu f x 0  i. Giới hạn lim có dạng vô định hoặc x x 0 g  x  0  f  x  ii. Giới hạn lim tồn tại. Thì: x  x 0 g  x  f x f  x  lim  lim 13 x x 0 g  x  x  x 0 g  x 
  14. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Mở rộng: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang f x f  x  f   x  lim  lim  lim  k x x 0 g  x  x  x 0 g  x  x  x 0 g  x  Ví dụ 6.3. Tính các giới hạn của các hàm số sau: x 2  1  ln x 1 1  a) lim d) lim   x  x 1 e e x  x 0 x   e  1   x 1 1 tan x  x b) lim 3 e) lim x 0 x 1 1 x 0 x  sin x x  sin x ln 1  2x  14 c) lim f ) lim x 0 x3 x 0 x  arctan x
  15. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN arcsin 2x  2arcsin x Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang g) lim x 0 x3 ln x h) lim x 0 cot x 1  sin x  x2 i) lim   x 0  x  Ví dụ 6.4. Tính các giới hạn sau: x  1 a) lim 1   b) lim  arcsin x  tan x x   x x 0 c) lim  sin x  d) lim 1  x  x ln x 15 x 0 x 0
  16. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 6.5. Cho hàm số: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  ex  1  khi x  0 f x   x  m  khi x  0 a) Tìm m để hàm số liên tục tại x  0 b) Với m vừa tìm được hãy tính f   0  Ví dụ 6.6. Cho hàm số  e x  x sin x  cos x  khi x  0, f x   x   m khi x  0. a) Tìm m để hàm số liên tục tại x  0 16 b) Với m vừa tìm được hãy tính f   0 
  17. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 6.7. Cho hàm số: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  x ln x  2 khi x   0,   \ 1 , f x   x 1  m  khi x  1. a) Tìm m để hàm số liên tục tại x  1 b) Tính f  1 ứng với m vừa tìm được ở câu a. Ví dụ 6.8. Cho hàm số:  e3x  sin x  1  , khi x  0, f x   x   3m  2 khi x  0. a) Tìm m để hàm số liên tục tại x  0 17 b) Tính f   0  ứng với m vừa tìm được ở câu a.
  18. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 6.2.2. Các định lý về giá trị trung bình Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Định lý Rolle Nếu f  x  liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f  a   f  b  thì: c   a,b  : f   c   0 2) Định lý Lagrange Nếu f  x  liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thì: f b  f a  c   a,b  : f   c   ,a  b 18 ba
  19. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3) Định lý Cauchy Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Nếu f  x  ,g  x  liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g  x   0, x   a,b  thì f  b  f a  f c c   a,b  :  g  b   g  a  g  c  6.2.3. Công thức khai triển Taylor 1) Khai triển Taylor Giả sử f  x  xác định trong [a, b]: f  x  có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a, b) và x 0   a,b  . Khi đó: 19
  20. Chƣơng 6. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN f  x0  n  x0  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang ' f f  x   f  x0    x  x0     x  x0  n 1! n!  R n  x  x0   n f k  x0   x  x0   R n  x, x 0  k k 0 k! Trong đó: R n  x, x 0  được biểu diễn một trong hai dạng sau: f   (c) n 1 Phần dư dạng Lagrange:R n  x, x 0   (x  x 0 ) n 1 (n  1)! với c   x, x 0  Phần dư dạng Peano: R n  x, x 0     x  x 0  n  20 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2