zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

379
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 của GV. Ngô Quang Minh trang bị cho các bạn những kiến thức về phép tính vi phân hàm một biến số. Bài giảng này bao gồm những nội dung về đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi – cực trị; công thức Taylor; quy tắc L’Hospital.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm Nhận xét. Do x  x  x 0 nên: §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x )  f (x 0 ) §4. Công thức Taylor f (x 0 )  lim . §5. Quy tắc……………………………………………………… L’Hospital x x 0 x  x0 §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f (x )  f (x 0 ) (x 0 ; b) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận (a; b) của x x 0 x  x0 x 0  (a; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y  f (x ) tại x 0 . y f (x 0  x )  f (x 0 ) lim  lim Ký hiệu là f (x 0 ). Tương tự, f (x 0 ). x  0 x x 0 x Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi (nếu có) được gọi là đạo hàm của y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ). f (x 0 )  f (x 0 )  f (x 0 ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm y • Nếu tỉ số   khi x  0 thì ta nói y  f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: x (u  v )  u   v  ; (uv )  u v  uv  ; đạo hàm vô cùng tại x 0 . k    u  u v  uv  • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng    kv  , k  ¡ ;     v   v  . một phía. v2 v2 VD 1. Cho f (x )  3 x  f (0)  , 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x )  y[u(x )]: f (x )  x  f (0 )   . f (x )  y (u ).u (x ) hay y (x )  y (u ).u (x ). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y  y(x ): Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x (y )  . tuyến tại x 0 của đồ thị y  f (x ) song song với trục Oy .  y (x ) Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp    e ; 7) e x x    a .ln a ; 8) a x x    .x 1) x  1 ; 2)  x   2 1x ;  9) ln x   x1 ;  10) loga x   x.ln1 a ; 3) sin x   cos x ; 4) cos x    sin x ; 1 1 11) arcsin x  = ; 12)arccos x  = ; 2 1 1 1x 1 x2 5) tan x   6) cot x    ; cos2 x sin2 x 1 1  1  tan2 x ; 13) arctan x   ; 14) arc cot x   . 2 1x 1  x2 1
10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao VD 4. Cho hàm số f (x )  sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0). A. f (6)(0)  32 ; B. f (6)(0)  32 ; • Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) và f (x ) có đạo hàm thì (6) C. f (0)  16 ; D. f (6)(0)  0 .  f (x )  f (x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). Giải. Ta có f (x )  sin 2x  f (x )  2 cos 2x • Tương tự ta có:  f (x )  4 sin 2x  f (4)(x )  8 cos 2x    f (n )(x )  f (n1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).  f (5)(x )  16 sin 2x  f (6)(x )  32 cos 2x . Vậy f (6)(0)  32  A . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN f (x 0 )  0   x    A  f (x 0 )  A . 2.1. Vi phân cấp một x Hàm số y  f (x ) được gọi là khả vi tại x 0  Df nếu  df (x 0 )  f (x 0 ).x hay df (x )  f (x ).x . • Chọn f (x )  x  df (x )  x  dx  x . f (x 0 )  f (x 0  x )  f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới dạng: f (x 0 )  A.x  0(x ) Vậy df (x )  f (x )dx hay dy  y dx . với A là hằng số và 0(x ) là VCB khi x  0 . Khi đó, đại lượng A.x được gọi là vi phân của hàm VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x )  x 2e 3x tại x 0  1 . số y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). Giải. Ta có f (x )  (2x  3x 2 )e 3x  f (1)  e 3 Nhận xét f (x 0 ) 0(x ) Vậy df (1)  e 3dx . • f (x 0 )  A.x  0(x )  A x x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2 VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y  arctan(x  1). VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y  2ln(arcsin x ) . Giải. Ta có y   (x 2  1)  2x . Giải. Ta có y   ln(arcsin x )  2ln(arcsin x ) ln 2 2 2 2 2 1  (x  1) 1  (x  1) 1 2x  2ln(arcsin x ) ln 2 Vậy dy  dx . 2 1  x arcsin x 1  (x 2  1)2 2ln(arcsin x ) ln 2  dy  dx . 1  x 2 arcsin x 2
10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y  e 2x . Giả sử y  f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì: Giải. Ta có y   2e 2x  y   22 e 2x d ny  d (d n 1y )  y (n )dx n  ...  y (n )  2n e 2x  d ny  2n e 2x dx n . được gọi là vi phân cấp n của hàm y  f (x ).  VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f (x )  tan x tại x 0  . 4 VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y  ln(sin x ). Giải. Ta có f (x )  1  tan2 x cos x 1  Giải. Ta có y    y    .  f (x )  2 tan x (1  tan2 x )  f     4 . sin x sin 2 x  4  dx 2    Vậy d 2y   Vậy d 2 f    4dx 2 . .  4  sin 2 x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức 3.1. Các định lý d ny  y (n )dx n không còn đúng nữa. 3.1.1. Bổ đề Fermat …………………………………………………………… Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại x 0  (a; b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại x 0 trong (a ;b ) thì f (x 0 )  0 . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ] và khả vi trong (a ;b ). Nếu f (a )  f (b ) thì c  (a;b) sao cho f (c )  0 . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy §4. CÔNG THỨC TAYLOR Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong (a;b) và g (x )  0, x  (a;b). 4.1. Công thức khai triển Taylor Khi đó, c  (a ;b ) sao cho: a) Khai triển Taylor với phần dư Peano f (b)  f (a ) f (c) Cho hàm f (x ) liên tục trên [a ; b ] có đạo hàm đến cấp  . g(b)  g(a ) g (c) n  1 trên (a ; b ) với x , x 0  (a; b) ta có: 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a ;b ). n f (k )(x 0 ) Khi đó, c  (a ;b ) sao cho: f (x )   (x  x 0 )k  O((x  x 0 )n ). k 0 k! f (b)  f (a )  f (c). b a 3
10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Khai triển Maclaurin VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x )  tan x đến x 3 . • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0  0 được Giải. Ta có: f (0)  0 , gọi là khai triển Maclaurin. f (x )  1  tan2 x  f (0)  1, n f (k )(0) k Vậy f (x )   x  O(x n ). f (x )  2 tan x  2 tan 3 x  f (0)  0 , k 0 k! f (x )  2(1  tan2 x )  6 tan2 x (1  tan2 x ) • Khai triển Maclaurin được viết lại:  f (0)  2 . f (0) f (0) 2 f (x )  f (0)  x x  ... f (0) f (0) 2 f (0) 3 Vậy 1! 2! tan x  f (0)+ x+ x + x +0(x 3 ) (n ) f (0) n 1! 2! 3! ...  x  O(x n ). n! 1  x  x 3  0(x 3 ). 3 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ Chú ý 1 Nếu u(x ) là VCB khi x  0 thì ta thay x trong các 1)  1  x  x 2  ...  x n  0(x n ). 1x công thức trên bởi u(x ). x x2 xn 1 2) e x  1    ...   0(x n ). VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y  đến x 6 . 1! 2! n! 1  3x 2 x x2 x3 x4 1 3) ln(1  x )      ...  0(x n ). Giải. y  1 2 3 4 1  (3x 2 ) x2 x4 x6 4) cos x  1     ...  0(x n ).  1  (3x 2 )  (3x 2 )2  (3x 2 )3  0(x 6 ) 2! 4 ! 6! x x3 x5 x7  1  3x 2  9x 4  27x 6  0(x 6 ). 5) sin x      ...  0(x n ). 1! 3! 5! 7 ! Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2 VD 3. Khai triển Maclaurin của y  ln(1  2x ) đến x . 6 VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y  2x đến x 4 . Giải. Biến đổi: Giải. y  ln[1  (2x 2 )] x y  2x  e ln 2  e x ln 2 . (2x 2 )2 (2x 2 )3  (2x 2 )    0(x 6 ) Vậy 2x  e x ln 2 2 3 8 x ln 2 (x ln 2)2 (x ln 2)3 (x ln 2)4  2x 2  2x 4  x 6  0(x 6 ).  1     0(x 4 ) 3 1! 2! 3! 4! ln2 2 2 ln 3 2 3 ln 4 2 4  1  x ln 2  x  x  x  0(x 4 ). 2 6 24 4
10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số (7) VD 5. Cho hàm số f (x )  x cos 2x . Tính f (0). §5. QUY TẮC L’HOSPITAL Giải. Ta có: Định lý (quy tắc L’Hospital) (2x ) 2 (2x ) (2x )4 6 Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm cos 2x  1     0(x 6 ) x 0 và g (x )  0 trong lân cận của x 0 (có thể g (x 0 )  0 ). 2! 4! 6! f (x ) 0  4x 3 16x 5 64x 7 Nếu lim có dạng hoặc thì:  f (x )  x     0(x 7 ) x x 0 g(x ) 0  2! 4! 6! f (x ) f (x ) lim  lim . f (7)(0) 64 x x 0 g (x ) x x 0 g (x )    f (7)(0)  448 . 7! 6! Chú ý …………………………………………… § Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số e x  e x  2 x 2  sin2 x VD 1. Tìm giới hạn L  lim VD 2. Tìm giới hạn L  lim . . x  0 x 2 .arctan2 x x 0 x2 1 1 A. L  0 ; B. L   ; C. L  ; D. L  . (e x  ex  2) e x  ex 2 3 Giải. L  lim  lim x 0 (x 2 ) x 0 2x Giải. Khi x  0 , ta có: x 2  sin2 x x 2  sin2 x : (e  e ) x x e e x x x 2 .arctan2 x x4  lim  lim  1. x 0 (2x ) x  0 2 x 2  sin 2 x  L  lim . x 0 x4 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số L  lim x 0 2x  sin 2x 4x 3 x  0  VD 3. Tìm giới hạn L  lim x 3 ln x (dạng 0  ).  Giải. Ta có: 2  2 cos 2x ln x  lim L  lim x 0 12x 2 x  0 x 3 4 sin 2x 1  lim x 0 24x  lim x x  0 3x 4 8 cos 2x 1  lim   D. x 3 x 0 24 3  lim  0. x  0 3 5
10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1 VD 4. Tìm giới hạn L  lim x x 1 (dạng 1 ). x 1 1 Giải. Ta có: L  lim e ln x x 1 x 1 1 lim ln x ln x x 1 x 1  lim e x 1 e x 1 1 lim x 1 x e  e. …………………………………………………………………… 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.