zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 - Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

181
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 do Ngô Quang Minh biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức về lý thuyết chuỗi. Nội dung bài giảng bao gồm những bài sau: Bài 1 - Khái niệm cơ bản về chuỗi số; bài 2 - Chuỗi số dương; bài 3 - Chuỗi số có dấu tùy ý.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 - Ngô Quang Minh

10/13/2012 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi §1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số • Tổng n số hạng đầu tiên Sn  u1  u2  ...  un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. §2. Chuỗi số dương §3. Chuỗi số có dấu tùy ý …………………………… • Nếu dãy Sn  hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói n ¥  §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là  un  S . 1.1. Định nghĩa Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ. n 1 • Cho dãy số có vô hạn các số hạng u1, u 2,..., un ,...  Biểu thức u1  u2  ...  un  ...   un  VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân  aq n1 với a  0 . n 1 n 1 Giải được gọi là chuỗi số. • q  1: Sn  na    chuỗi phân kỳ. • Các số u1, u 2,..., un ,... là các số hạng và un được gọi là 1  qn 1  qn • q  1: Sn  u1 .  a. số hạng tổng quát của chuỗi số. 1 q 1q Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi a 1 Với q  1 thì Sn   chuỗi hội tụ.  1  1  chuỗi hội tụ. 1 q n 1 Với q  1 thì Sn    chuỗi phân kỳ.   1  VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số  ln 1  n . Vậy  aq n1 hội tụ  q  1.  n 1 1 Giải. Ta có: ln 1    ln(n  1)  ln n n 1  1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số  n(n  1) .  n  Giải. Ta có: n 1  Sn  ( ln 1  ln 2)  ( ln 2  ln 3) 1 1 1 1 ( ln 3  ln 4)  ...  [ ln n  ln(n  1)] Sn     ...  1.2 2.3 3.4 n(n  1)  ln(n  1)    chuỗi phân kỳ.  1  1 1 1 1  1 1   1  1            ...       2   2 3   3 4   n n  1  VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số . n 1 n Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 1 1 1 1 1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Giải. Sn  1     ...   2 1 3 4 n • Nếu chuỗi  un hội tụ thì nlim u  0,  n n 1  Sn  n .  n    chuỗi phân kỳ.  n ngược lại nếu lim un  0 thì n   un phân kỳ. n 1  n4 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số  3n 4  n  2 . n 1 Giải. Ta có: n4 un   1  0  chuỗi phân kỳ. 3n 4  n  2 1
10/13/2012 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  n5 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số  . §2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 4 n 1 n  1 2.1. Định nghĩa Giải. Ta có:  un  n5    0  chuỗi phân kỳ. •  un được gọi là chuỗi số dương nếu un  0, n . 4 n 1 n 1 1.3. Tính chất Khi un  0, n thì chuỗi số là dương thực sự.   2.2. Các định lý so sánh • Nếu  un ,  v n hội tụ thì:   n 1 n 1    Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương  u n ,  v n thỏa:    n 1 n 1 (u n  v n )  un  vn . 0  un  vn , n  n 0 . n 1 n 1 n 1      • Nếu  u n hội tụ thì:   un    un . • Nếu  vn hội tụ thì  un hội tụ. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1   • Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng. • Nếu  un phân kỳ thì  vn phân kỳ. n 1 n 1 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  1 VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số  n . Giải. Xét hàm số f (t )  t  ln(1  t ) ta có: n 1 n .2 t 1 1 f (t )   0, t  0  f (t )  0, t  0 Giải. Ta có:  , n  1 . 1t n n.2 2n 1  1  1  1   ln 1    0, n  1.  n  Do  2n hội tụ nên  n.2n hội tụ. n n 1 n 1   1  1 1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa  bằng cách  Do  ln 1  n  phân kỳ nên  n phân kỳ. n 1 n 1 n 1 n   1 so sánh với  ln 1  . n 1  n  Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  n 2 (n  1) Định lý 2   VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số  bằng cách n 1 n 1 n .3  un ,  vn    n 2 so sánh với    . Cho hai chuỗi số thỏa: n 1 n 1   n 1  3  un n un  0 và vn  0 với n đủ lớn và lim  k. 2n (n  1)  2  n 1 1 n  vn Giải. Ta có :     .   n.3 n 1  3    3n 3 • Nếu k  0 thì  un phân kỳ   vn phân kỳ.   2 n  n 2 (n  1) n 1  n 1  Do   3  hội tụ nên  n.3n 1 hội tụ.  un hội tụ   vn n 1 n 1 • Nếu k   thì hội tụ. n 1 n 1 Chú ý    1 • Nếu 0  k   thì  un ,  vn cùng tính chất. Chuỗi  n hội tụ khi   1 và phân kỳ khi   1 . n 1 n 1 n 1 2
10/13/2012 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  n 1 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số  5 . Do   1 hội tụ nên   n 1 hội tụ. n 1 2n  3 3 n 1 n 1 2n 5  3 n 1 1 1 2.n 2 Giải. Ta có : .  5 2n  3 n 2 3   1 n 1 Do  hội tụ nên  hội tụ. 3 n 1 n n 1 2n 5  3 Cách khác n 1 n 1 Khi n   thì: :  . 5 5 3 2n  3 2.n 2 2.n 2 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi n 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ n  2  n 2  2n  1      1  chuỗi hội tụ. 3(n  1)  n 2  2n  1  2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert 3  un 1 Cho chuỗi số dương  un và nlim un  D.   5n (n !)2  n 1 • Nếu D  1 thì chuỗi hội tụ. VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số . n 1 (2n )! • Nếu D  1 thì chuỗi phân kỳ. • Nếu D  1 thì chưa thể kết luận. un 1 5n 1(n  1)!(n  1)! 5n.n ! n ! Giải. Ta có:  : n un (2n  2)! (2n )!  1  1 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số  3n 1  n  . n 1 5(n  1)2 5 n 1 n    1  chuỗi phân kỳ. un 1 1  n  2  1  n  1  (2n  2)(2n  1) 4    :    n  1  Giải. Ta có: un 3n 1 3n  n  Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  nn 2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy  VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số  3n . Cho chuỗi số dương  un và lim n un  C . n n 1 n 1 n  Giải. Ta có: n un     chuỗi phân kỳ. • Nếu C  1 thì chuỗi hội tụ. 3 • Nếu C  1 thì chuỗi phân kỳ. • Nếu C  1 thì chưa thể kết luận. n2 1   VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số    .   n 1  2   1 n Giải. Ta có: n un     0  1  chuỗi hội tụ.  2  3
10/13/2012 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  1  n ln3 n . 2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm và giảm trên nửa n 2 khoảng [k ; ), k  ¥. Khi đó: Giải. Ta có:       f (n ) hoäi tuï   f (x )dx hoä i tuï.  dx 3   dt 3 hội tụ  1  n ln3 n hội tụ. n k k 2 x ln x ln 2 t n 2  1 VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 . n 1 n2 Giải. Ta có:   dx 1  3 2 phân kỳ  chuỗi 3 phân kỳ. 1 x n 1 n2 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  (1)n §3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số .  3.1. Chuỗi đan dấu n 1 n  1 1 Giải. Dãy un  giảm ngặt và  0  chuỗi hội tụ. a) Định nghĩa. Chuỗi số  (1)n un được gọi là n n n 1 chuỗi số đan dấu nếu un  0, n .  2n  1  (1)n  2n  1 VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số  (1)n 2n 1 . VD 1.  n ,  (1)n 1 2n 1 là các chuỗi đan dấu. 1 1 1 n 1 n 1 n 1 Giải. un     0  không có kết luận. b) Định lý Leibnitz 2 2n 1 2 Nếu dãy {un }n¥ giảm nghiêm ngặt và un  0 thì chuỗi   2n  1  Đặt  vn   (1)n , ta có:  (1)n un hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz. n 1 n 1 2n 1 n 1 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi  (1)n • Với n  2k : vn   1 1  . 1 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số  . 2 22k 1 2 n 2 n  (1)n Giải 1 1 1 n  • Với n  2k  1 : vn    2 22k 2  . 2 (1) n(1)  n  (1)n  (1)n n 1    n  (1)n n 1 n 1 n 1   lim vn nên vn  Do   0  vn phân kỳ.  1 n  n 1 •  n  1 là chuỗi điều hòa nên phân kỳ. n 2  (1)n n •  là chuỗi Leibnitz nên hội tụ. n 2 n  1  (1)n Vậy chuỗi  phân kỳ. n n 2 n  (1) 4
10/13/2012 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 3.2. Chuỗi có dấu tùy ý b) Định lý a) Định nghĩa    Nếu  un hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý  un hội tụ. • Chuỗi  un , un  ¡ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý. n 1 n 1  n 1   cos(n n ) •  un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu  un hội tụ. VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số  . n 1 n 1 Giải n 1 n2   •  un được gọi là bán hội tụ nếu  un hội tụ và 1  1  cos(n n ) n 1  n 1 Do un  và  hội tụ nên  hội tụ.  un phân kỳ. n2 2 n 1 n n 1 n2 n 1 Vậy chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối. (1)n   (1)n  (2)n 1 VD 5. Chuỗi số  là bán hội tụ. VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số  . n 1 n n 1 3n Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Giải. Ta có: (1)n  (2)n 1 (1)n (2)n 1   . 3n 3n 3n  (1)n Chuỗi  3n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. n 1 (2)n 1  2 n  (2)n 1 Do  2.  nên  hội tụ. 3n  3  n 1 3n  (1)n  (2)n 1 Vậy  3n hội tụ. n 1 5

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.