zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - Hoàng Mạng Dũng

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

60
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 6: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương" cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng toàn phương, định nghĩa dạng toàn phương, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực Ánh xạ Q : V  R xác định bởi công thức sau được gọi là một tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm dạng toàn phương của không gian véc tơ V chiều n. riêng tuyến tính cấp 2, khảo sát cực trị của hàm nhiều biến ... B  {e1, … , en} là một cơ sở của V :  v V ; v  x1e1  ...  xnen n Q (v )   aij xi x j i , j 1 Như vậy dạng toàn phương có biểu thức tọa độ là một đa thức đẳng cấp bậc 2 10/07/2017 1 10/07/2017 2 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 5.2.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương: Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B Q(v)  2 x12  4 x1x2  7 x22 Q(v)  Q( x, y, z )  2 x 2  4 y 2  3z 2  2 xy  5 yz ký hiệu A  [Q]B và xác định như sau Dạng cực của Q A   aij  , aij  a ji nn Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng Dạng cực của Q được xác định bởi công thức Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở B được 1 viết dưới dạng ma trận  (u, v)   Q(u  v)  Q(u )  Q(v)  2 Q (v )   v  B  Q  B  v  B t 10/07/2017 3 10/07/2017 4 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 v  ( x1, x2 ), Q(v)  2 x12  4 x1x2  7 x22 Q( x1, x2 , x3 )  x12  2 x1x2  x22  4 x1x3  4 x32  6 x2 x3 Dạng cực tương ứng Dạng cực tương ứng u  ( x1, x2 ), v  ( y1, y2 );  (u, v)  2 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  7 x2 y2 Có ma trận trong cơ sở chính tắc  2 2  x  ( x1, x2 , x3 ), y  ( y1, y2 , y3 ) A   2 7   ( x, y)  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  2 x1 y3  2 x3 y1  4 x3 y3  3x2 y3  3x3 y2 Ngoài cách trên, ta viết lại dạng toàn phương rồi đồng nhất hệ số Có ma trận trong cơ sở chính tắc a a  x  2 x12  4 x1x2  7 x22   x1 x2   11 12  1   1 1 2   a21 a22  x2  A   1 1 3     a11x12  2a12 x1x2  a22 x2 2  2 3 4  10/07/2017 5 10/07/2017 6 1
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phƣơng Trường hợp 1: Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trên Q trong cơ sở nào Giả sử có aii  0, chẳng hạn a11  0, ta có thể sắp xếp lại đó của V có dạng  n a  n Q( x)  a11  x12  2 x1  1i xi    aij xi x j Q( x)  a11x12  a22 x2  ...  ann xn 2 2  a i 2 11  i , j 2 2 2  n a1i  n  n a  được gọi là biểu thức tọa độ có dạng chính tắc của Q  a11  x1   xi    aij xi x j  a11   1i xi  a. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Lagrange  i 2 a11  i , j 2  i 2 a11  2 B  {e1, … , en} của không gian véc tơ  n a  n Giả sử trong cơ sở V  a11  x1   1i xi    a 'ij xi x j dạng toàn phương Q có biểu thức tọa độ  a i 2 11  i , j 2 n n  n a Q( x)   aij xi x j , aij  a ji ; x   xiei  y1  x1   1i xi n i , j 1 i 1 Đặt  i  2 a11 thì Q( x)  a11 y12   a 'ij yi y j Ta thực hiện các phép đổi tọa độ như sau  y  x ; j  2,..., n i, j 2  j j 10/07/2017 7 10/07/2017 8 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trường hợp 2: Tiếp tục quá trình trên cuối cùng nhận được Nếu mọi aii  0 và có aij  0 chẳng hạn a12  0  x1   a11  a1n   z1  thỏa mãn  x1  y1  y2         Đặt       Q(v)  1z12  2 z22  ...  n zn 2  x2  y1  y2  xn   an1  ann   zn   x  y ; j  3,..., n  j j Xét hệ véc tơ có tọa độ là các cột của ma trận trên thì Q( x)  n n  aij xi x j   a 'ij yi y j có a '11  a12  0 e '1  (a11,..., an1 ), ... , e 'n  (a1n ,..., ann ) i , j 1 i , j 1 v V : v  x1e1    xnen  z1e '1    zne 'n vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1 n Q(v)  1z12  2 z22  ...  n zn 2 Tiếp tục quá trình này với biểu thức  a 'ij yi y j Nói cách khác {e’1, … , e’n} là cơ sở cần tìm để biểu thức tọa độ i , j 2 của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc 10/07/2017 9 10/07/2017 10 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 b. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Jacobi x  ( x1, x2 , x3 ); Q( x)  x12  4 x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  2 x2 x3 Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả Q( x)  x12  2 x1 (2 x2  x3 )  4 x22  x32  2 x2 x3 thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng   ( x1  2 x2  x3 )2  (2 x2  x3 )2  4 x22  x32  2 x2 x3 có ma trận trong cơ sở B  {e1, … , en}  ( x1  2 x2  x3 )2  2 x2 x3  z12  2 z22  2 z32 A   aij  : aij   (ei , e j ); i, j  1,..., n  z1  x1  2 x2  x3  x1  1 3 1  z1    x   0 1 1   z  Giả sử các định thức con chính của A đều khác không  x2  z2  z3  2   2 x  z  z  3 2 3  x3  0 1 1  z3  a11 ... a1n e '1  (1,0,0) a11 a12 x  ( x1, x2 , x3 )  z1e '1  z2e '2  z3e '3 D1  a11  0, D2   0,..., Dn      0 Cơ sở mới e '2  (3,1,1) a21 a22 an1 ... ann e '3  (1,1, 1) Q( x)  z12  2 z22  2 z32 10/07/2017 11 10/07/2017 12 2
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Khi đó với mỗi j  1, 2, … , n; hệ phương trình Ta sẽ chứng minh hệ véc tơ B ’  {f1, … , fn} là một cơ sở của a11x1  a12 x2  ...  a1 j x j  0 V mà biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc  det B{f1, … , fn}  1122…nn  0 nên hệ B ’ độc lập tuyến tính a21x1  a22 x2  ...  a2 j x j  0  (6.20) vì vậy là một cơ sở của V ........................................... a j1x1  a j 2 x2  ...  a jj x j  1 Ta có   ( f j , ei )  ai11 j  ai 2 2 j  ...  aij jj  0;  i  1,..., j  1  là hệ Cramer do đó có duy nhất nghiệm, ký hiệu 1 j , 2 j ,...., jj   ( f j , e j )  a j11 j  a j 2 2 j  ...  a jj jj  1 Xét hệ véc tơ  f   e 1 11 1  ( f j , fi )  0 ;  i  j  f  e  e  D j 1  2  12 1 22 2  ( f j , f j )   ( f j ,1 j e1  ...   jj e j )   jj ( f j , e j )   jj  jj   0 ;  j  1,..., n Dj ......................................... Mặt khác dạng song tuyến tính  đối xứng nên (fj,fi)  0 với mọi  f n  1n e1   2 n e2  ....   nnen ij 10/07/2017 13 10/07/2017 14 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Vậy 0 nÕu i  j Ví dụ 6.9 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong   ( fi , f j )   D j 1 với i, j  1,..., n cơ sở chính tắc Q(v)  x12  4 x2 2  x32  4 x1x2  2 x1x3  2 x2 x3  D nÕu i  j  j Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính Gọi A’ là ma trận của Q trong cơ sở B ’  1 2 1 T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì 1 2 A   2 4 1 D1  1, D2   8, D3  A  9 11 12 1n    2 4  11   1 1 1  22  2n  t T   ; T AT  A '   ( fi , f j )      1          j  1 ta có 11  1     D1   nn  nn   x  2 x2  0  j  2 : Hệ phương trình (7.20) có dạng  1 Biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B ’ có dạng chính tắc 1 1 2 x1  4 x2  1 1 2 D1 2 D Có nghiệm x1   , x2   v  y1 f1  ...  yn f n  Q(v)  y1  y2  ...  n1 yn 2 4 8 D1 D2 Dn 10/07/2017 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  x1  2 x2  x3  0 Ví dụ 6.10 Cho dạng toàn phương Q của P2 có biểu thức tọa độ  j  3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng  trong cơ sở chính tắc 2 x1  4 x2  x3  0 2 1 8  x  x  x 1 v  a0  a1t  a2t 2 ; Q(v)  a02  2a0a1  2a12  4a0a2  4a2 2  2a1a2 Có nghiệm x1   , x2  , x3   1 2 3 9 3 9 Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính f1  e1  (1,0,0) Chọn cơ sở  1 1 2  f 2  1/ 4e1  1/8e2   1/ 4, 1/8,0  1 1 A   1 2 1  D1  1, D2   1, D3  A  9 f3  2 9 e1  1 3 e2  8 9 e3  ( 2 9,1 3,8 9)   1 2  2 1 4  Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng 1  j  1 ta có 11  1 v  ( x1, x2 , x3 )  x1e1  x2e2  x3e3  y1 f1  y2 f 2  y3 f3 D1  x  x2  0 1 2 D1 2 D2 2 1 8  j  2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng  1 Q (v )  y1  y2  y3  y12  y2 2  y32  x1  2 x2  1 D1 D2 D3 8 9 Có nghiệm x  x  11 2 10/07/2017 17 10/07/2017 18 3
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  x1  x2  2 x3  0 Nhận xét  j  3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng   x1  2 x2  x3  0 Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc theo phương 5 1 1 2 x  x  4 x  1 pháp Jacobi khi mọi định thức con góc bên trái Dk  0,  k  1, 2, … Có nghiệm x1  , x2  , x3    1 2 3 9 3 9 Vì vậy có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange 5 1 1 2 nhưng chưa chắc có dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi Chọn cơ sở f1  1 f 2  1  t f3   t  t 9 3 9 Chẳng hạn dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng x  ( x1, x2 , x3 ); Q( x)  x12  4 x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  2 x2 x3 5 1 1  không sử dụng phương pháp Jacobi được vì D2  0 v  a0  a1t  a2t 2  b0  b1 (1  t )  b2   t  t 2  9 3 9  Cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc 1 2 D1 2 D2 2 1 với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số Q(v)  b0  b1  b2  b0  b12  b2 2 2 âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính D1 D2 D3 9 10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.4 Luật quán tính Định lý (Sylvester - Jacobi) Giả sử A  [aij]  [Q]B; A’  [a’ij]  [Q]B’ là hai ma trận của Q Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến trong hai cơ sở B  {e1, … , en}, B’  {e’1, … , e’n} của V của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở) B T  tij  là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’ B' Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dƣơng và số các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn Ta có A’  T tAT Do đó r (A’)  r (T tAT )  r (A) phương Mặt khác A  (T t)1A ’ T 1 Do đó r (A)  r (A’) Giả sử (p,q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì p  q  r (hạng Do đó ta có thể định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng của Q) của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó 10/07/2017 21 10/07/2017 22 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  Trường hợp r  n: Q được gọi là không suy biến Ví dụ 6.11 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong  Trường hợp p  n: Q được gọi là xác định dương cơ sở chính tắc Q(v)  x12  4 x2 2  x32  4 x1x2  2 x1x3  2 x2 x3  Trường hợp q  n: Q được gọi là xác định âm  Phương pháp Lagrange Q(v)  x12  2 x1(2 x2  x3 )  4 x2 2  x32  2 x2 x3 Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0 3 9  ( x1  2 x2  x3 ) 2  8 x2 2  6 x2 x3  ( x1  2 x2  x3 ) 2  2(2 x2  x3 ) 2  x32 Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0 4 2  Phương pháp Jacobi Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương Q thì  1 2 1 D1  1, D2  1 2  8, D3  A  9 A   2 4 1 Q xác định dương khi và chỉ khi  xác định dương 2 4    1 1 1 Q xác định âm khi và chỉ khi  xác định âm 1 2 D1 2 D2 2 1 8 Q không suy biến khi và chỉ khi  xác định Q (v )  y1  y2  y3  y12  y2 2  y32 D1 D2 D3 8 9 10/07/2017 23 10/07/2017 24 4
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định lý (Sylvester) Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó (i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương (ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm  a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2 n  A   21          an1 an 2 ... ann  10/07/2017 25 5

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.