Bài giảng Toán cao cấp - GV. Trần Thị Xuyên

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

222
lượt xem 52
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp do giảng viên Trần Thị Xuyên biên soạn trình bày và giới thiệu học phần toán cao cấp về 6 chương như: hàm số và giới hạn, đạo hàm, hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - GV. Trần Thị Xuyên

H C VI N NGÂN HÀNG B MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GI NG TOÁN CAO C P Gi ng viên: Tr n Th Xuy n HÀ N I - 2013
GI I THI U H C PH N TOÁN CAO C P S tín ch : 3. Phân b th i gian: Lý thuy t 60 % Bài t p 40 % Chương 1: Hàm s và gi i h n Chương 2: Đ o hàm Chương 3: Hàm s nhi u bi n s và c c tr c a hàm nhi u bi n. Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Chương 6: Phương trình sai phân TIÊU CHU N ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Đi m chuyên c n: 10 % Đi m ki m tra gi a kì: 2 bài chi m 30 % Thi h t h c ph n: 60% Thang đi m 10. Bài ki m tra s 1: Khi k t thúc chương 3 Bài ki m tra s 2: Khi k t thúc chương 6 1
CHƯƠNG 1 HÀM S VÀ GI I H N 1.1 HÀM S 1.1.1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N V HÀM S M T BI N S A. Bi n s Đ nh nghĩa 1.1.1. Bi n s là đ i lư ng mà giá tr c a nó có th thay đ i trên m t t p s X = ∅. Ta thư ng kí hi u bi n s là ch cái: x, y, z... và X g i là mi n bi n thiên. Các bi n s kinh t hay g p p: giá c . QS : Lư ng cung. QD : Lư ng c u. π : L i nhu n T C : T ng chi phí V C : Chi phí bi n đ i F C : Chi phí c đ nh AT C : T ng chi phí bình quân AV C : Chi phí bi n đ i bình quân T R: T ng doanh thu K: V n L: Lao đ ng C : Lư ng tiêu dùng S : Lư ng ti t ki m. Y : Thu nh p. B.Hàm s Đ nh nghĩa 1.1.2. M t hàm s f xác đ nh trên X ⊂ R là m t quy t c cho tương ng m i s th c x ∈ X v i m t và ch m t s th c y . Kí hi u: y = f (x) 2
x g i là bi n đ c l p. X g i là mi n xác đ nh. y g i là bi n ph thu c. f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} là mi n giá tr c a hàm s . Đ th hàm s là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X} C. Các cách cho hàm s 1. Hàm s cho b i b ng. 2. Hàm s cho b i bi u th c gi i tích.   3  x − 1, x > 3 √ Ví d 1.1.1. y = 5 − x 2 hay y =  5 + x, x ≤ 3  3. Hàm s cho b i đ th hàm s . D. Hàm n Đ nh nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) th a mãn h th c liên h gi a x và y : F (x, y) = 0 thì y g i là hàm n c a x. Ví d 1.1.2. x2 + y 2 − 1 = 0 hay x3 − y 3 + 1 = 0 E. Hàm ngư c Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho hàm s y = f (x) v i mi n xác đ nh X, mi n giá tr Y. N u ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghi m duy nh t thu c X thì ta có th xác đ nh m t hàm s cho tương ng m i y0 ∈ Y m t và ch m t x0 ∈ X sao cho f (x0 ) = y0 . Hàm s này g i là hàm ngư c c a hàm s y = f (x), kí hi u là: f −1 . Cách tìm hàm ngư c • Vi t f (x) = y và tìm x theo y • Đ i ch kí hi u x, y cho nhau đ bi u di n f −1 như là hàm c a x. Ví d 1.1.3. Tìm hàm ngư c c a hàm sau y = (x − 1)2 , ∀x ≥ 1 3
Các hàm ngư c c a các hàm s cơ b n 1. Khi xét hàm s y = sin x xác đ nh trên X = − π , π và có MGT [−1, 1] có hàm 2 2 ngư c là y = arcsin x xác đ nh trên [−1, 1] và có MGT là − π , π . 2 2 2. Khi xét hàm s y = cos x xác đ nh trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngư c là y = arccos x xác đ nh trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]. 3. Khi xét hàm s y = tan x xác đ nh trên X = − π , π và có MGT R có hàm 2 2 ngư c là y = arctan x xác đ nh trên R và có MGT là − π , π . 2 2 4. Khi xét hàm s y = cot x xác đ nh trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngư c là y = arccot x xác đ nh trên R và có MGT là (0; π). 5. Khi xét hàm s y = ax xác đ nh trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngư c là y = loga x xác đ nh trên (0; +∞) và có MGT là R. F. M t s đ c trưng c a hàm s Hàm s đơn đi u • Hàm s y = f (x) g i là đơn đi u tăng trên mi n X n u x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X . • Hàm s y = f (x) g i là đơn đi u gi m trên mi n X n u x1 > x2 thì f (x1 ) < f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X . Hàm s b ch n • Hàm s f (x) xác đ nh trong X đư c g i là b ch n trên trong X n u ∃M sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X . • Hàm s f (x) xác đ nh trong X đư c g i là b ch n dư i trong X n u ∃m sao cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X . • Hàm s f (x) b ch n trên và b ch n dư i thì đư c g i là b ch n. f (x) b ch n trong X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X Hàm s ch n, hàm s l • Hàm s f (x) xác đ nh trên X đư c g i là hàm s ch n n u ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X và f (−x) = f (x). • Hàm s f (x) xác đ nh trên X đư c g i là hàm s l n u ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X và f (−x) = −f (x). 4
Hàm s tu n hoàn Hàm s f (x) xác đ nh trên X đư c g i là hàm tu n hoàn v i chu kì T n u ∀x ∈ X , ta có x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x). Khi nói chu kì c a hàm tu n hoàn ta thư ng l y chu kì dương nh nh t. G. Các hàm s sơ c p cơ b n và các phép toán sơ c p Các hàm s sơ c p cơ b n 1. f (x) = C, C là h ng s . 2. Hàm lũy th a f (x) = xα , α là h ng s . • α ∈ N thì TXĐ D = R. • α là s nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}. • α không là s nguyên thì TXĐ D = (0; +∞). 1 √ Chú ý: x 2 = x khi x > 0. 3. Hàm s mũ f (x) = ax (a > 0, a = 1). TXĐ: D = R. 4. Hàm s logarit f (x) = loga x (a > 0, a = 1). Khi a = 10, ta có hàm f (x) = lgx. TXĐ: D = (0; +∞). 5. Các hàm lư ng giác: y = sin x có t p xác đ nh là R y = cos x có t p xác đ nh là R y = tan x có t p xác đ nh là x = π + kπ, k ∈ Z 2 y = cot x có t p xác đ nh là x = kπ, k ∈ Z 6. Các hàm lư ng giác ngư c: y = arcsin x có t p xác đ nh là [−1, 1] y = arccos x có t p xác đ nh là [−1, 1] y = arctan x có t p xác đ nh là R y = arccot x có t p xác đ nh là R Các phép toán sơ c p 1. Phép toán c ng, tr , nhân, chia đ i v i các hàm s . 5
2. Phép h p hàm Gi s khi x thay đ i trong X , các giá tr c a hàm s u = ϕ(x) luôn thu c mi n xác đ nh c a hàm s y = f (u). Khi đó, ta có quy t c: x → u = ϕ(x) → y = f [ϕ(x)]. Hàm y = f [ϕ(x)] g i là hàm h p c a hàm y = f (u), u = ϕ(x). Các hàm s sơ c p Hàm s sơ c p là hàm đư c t o thành t các hàm sơ c p cơ b n b i các phép toán s h c và phép l y hàm h p. 3 Ví d 1.1.4. Các hàm sơ c p: lg(x2 + sin x), x −1 , cos3 5x x+1 M t s mô hình hàm s trong phân tích kinh t 1. Hàm cung Qs = S(p) 2. Hàm c u Qd = D(p) 3. Hàm s n xu t Q = f (L) 4. Hàm doanh thu T R = T R(Q) 5. Hàm t ng chi phí T C = T C(Q) = V C(Q) + F C T C(Q) 6. Hàm t ng chi phí bình quân AT C = Q V C(Q) 7. Hàm chi phí bi n đ i bình quân AV C = Q 8. Hàm l i nhu n π = T R − T C 9. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) 10. Hàm ti t ki m S = S(Y ) 1.1.2 DÃY S Đ nh nghĩa 1.1.5. Hàm s f : N∗ → R n → f (n) 6
đư c g i là m t dãy s . Kí hi u: (xn ) xn đư c g i là s h ng th n hay s h ng t ng quát. Ví d : xn = 100(1 + 0.14)n có các s h ng là 114; 129.96; ... 1.2 GI I H N 1.2.1 GI I H N C A DÃY S Đ nh nghĩa gi i h n c a dãy s Đ nh nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy s xn có gi i h n là a (hay xn h i t đ n a) n u ∀ > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , |xn − a| < . (Nói cách khác: ta làm cho các s h ng c a dãy g n a bao nhiêu cũng đư c b ng cách ch n ch s n đ l n ) Kí hi u: lim xn = a n→+∞ Dãy s xn g i là phân kì n u không có gi i h n h u h n. Các đ nh lí cơ b n v gi i h n c a dãy s Đ nh lí 1.2.1. 1. Gi i h n c a m t dãy s h i t là m t s th c duy nh t. 2. N u dãy s xn h i t thì nó b ch n. 3. N u xn ≥ yn và c hai dãy xn , yn đ u h i t thì lim xn ≥ lim yn n→+∞ n→+∞ Gi i h n c a dãy s đơn đi u Đ nh lí 1.2.2. 1. Dãy s tăng và b ch n trên thì có gi i h n h u h n. 7
2. Dãy s gi m và b ch n dư i thì có gi i h n h u h n. Ví d 1.2.1. Dãy s sau có gi i h n h u h n n 1 xn = 1 + n s e và logarit t nhiên n 1 e = lim 1+ n→+∞ n Logarit cơ s e đư c g i là logarit t nhiên hay logarit Nêpe. ln x = loge x 1.2.2 GI I H N C A HÀM S Khái ni m gi i h n c a hàm s Đ nh nghĩa 1.2.2. Gi s f (x) xác đ nh trên D. f (x) có gi i h n là L khi x → x0 n u ∀xn ∈ D\{x0 } : xn → x0 thì lim f (xn ) = L. n→+∞ Kí hi u: lim f (x) = L x→x0 Gi i h n m t phía Đ nh nghĩa 1.2.3. 1. Gi i h n bên trái lim f (x) = lim f (x) x→x− 0 x → x0 x < x0 8
2. Gi i h n bên ph i lim f (x) = lim f (x) x→x+ 0 x → x0 x > x0 Đ nh lí 1.2.3. Hàm s f (x) có gi i h n là L khi x → x0 ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = L x→x0 x→x0 Gi i h n c a các hàm sơ c p cơ b n Gi i h n c a hàm sơ c p cơ b n f (x) t i đi m a ∈ MXĐ là: lim f (x) = f (a) x→a Gi i h n c a hàm lư ng giác ngư c t i các đi m đ u mút π π lim arctan x = , lim arctan x = − x→+∞ 2 x→−∞ 2 lim arccotx = 0, lim arccotx = π x→+∞ x→−∞ Các đ nh lí cơ b n v gi i h n hàm s Đ nh lí 1.2.4. N u khi x → a, hàm s f (x), g(x) có gi i h n là các s th c b1 , b2 thì 1. lim [f (x) ± g(x)] = b1 ± b2 x→a 2. lim [kf (x)] = kb1 x→a 3. lim [f (x).g(x)] = b1 .b2 x→a f (x) b1 4. lim = , (b2 = 0) x→a g(x) b2 5. lim [f (x)]g(x) = bb2 , 1 (b1 > 0) x→a 9
Đ nh lí 1.2.5. (Đ nh lí k p) N u f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x g n a và lim f (x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x→a x→a x→a Ví d 1.2.2. Tính gi i h n sau 1 lim x2 sin x→0 x L i gi i: Ta có: 1 −1 ≤ sin ≤1 x 1 ⇔ −x2 ≤ x2 sin ≤ x2 x Mà lim (−x2 ) = lim x2 = 0 x→0 x→0 Do đó: 1 lim x2 sin =0 x→0 x Đ nh lí 1.2.6. N u f (x) là hàm b ch n và g(x) th a mãn limx→a g(x) = 0 thì lim f (x).g(x) = 0 x→a Ví d 1.2.3. Tính gi i h n sau √ √ lim (sin x + 1 − sin x) x→+∞ L i gi i: √ √ √ √ √ √ x+1+ x x+1− x lim (sin x + 1 − sin x) = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ x+1+ x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2( x + 1 + x) Ta có √ √ x+1+ x cos ≤ 1∀x ∈ R 2 1 lim sin √ √ =0 x→+∞ 2( x + 1 + x) 10
Vy √ √ lim (sin x + 1 − sin x) = 0 x→+∞ Các d ng vô đ nh c a hàm s 0 f (x) D ng 0: Tính lim v i f (x), g(x) → 0 khi x → x0 x→x0 g(x) Ví d 1.2.4. Tính các gi i h n sau (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 1. lim x→0 x √ x − 2x − 1 2. lim 2 x→1 x − 12x + 11 ∞ f (x) D ng ∞: Tính lim v i f (x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 g(x) Ví d 1.2.5. Tính các gi i h n sau √ x+ x+ x 1. lim √ x→+∞ x+1 √ x6 − 3x 2. lim x→−∞ 2x2 + 1 D ng 0.∞: Tính lim f (x).g(x) v i f (x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Ví d 1.2.6. Tính các gi i h n sau x 1. lim (x3 − 1) x→1+ x2 −1 x−1 2. lim (x + 2) x→+∞ x3 + x D ng ∞ − ∞: Tính lim [f (x) − g(x)] v i f (x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Ví d 1.2.7. Tính các gi i h n sau √ √ 1. lim ( x + 1 − x) x→+∞ 2. lim ( x2 + 1 − x) x→+∞ 11
D ng 1∞ Công th c hay dùng: 1 1 lim (1 + x) x = e; lim (1 + )x = e x→0 x→±∞ x M r ng: N u ta có limx→a α(x) = 0 thì 1 lim (1 + α(x)) α(x) = e x→a Ví d 1.2.8. Tính gi i h n sau lim (1 + sin πx)cot πx x→1 D ng vô đ nh ch a hàm lư ng giác Chú ý: sin x lim =1 x→0 x M r ng: N u ta có limx→a α(x) = 0 thì sin α(x) lim =1 x→a α(x) Ví d 1.2.9. Tính gi i h n sau sin mx lim x→π sin nx Các công th c gi i h n quan tr ng khác loga (1 + x) 1. lim = loga e (0 < a = 1) x→0 x ln(1 + x) lim =1 x→0 x ax − 1 2. lim = ln a x→0 x ex − 1 lim =1 x→0 x (1 + x)α − 1 3. lim =α (α ∈ R) x→0 x M r ng: N u ta có limx→a α(x) = 0 thì loga (1 + α(x)) 1. lim = loga e (0 < a = 1) x→a α(x) 12
ln(1 + α(x)) lim =1 x→a α(x) aα(x) − 1 2. lim = ln a x→a α(x) eα(x) − 1 lim =1 x→a α(x) (1 + α(x))β − 1 3. lim =β (β ∈ R) x→a α(x) 1.3 HÀM S LIÊN T C 1.3.1 Đ nh nghĩa hàm s liên t c Đ nh nghĩa 1.3.1. Cho hàm s f (x) xác đ nh trong(a; b) và x0 ∈ (a; b). f (x) g i là liên t c t i x0 n u lim f (x) = f (x0 ) x→x0 N u f (x) không liên t c t i x0 thì nói f (x) gián đo n t i x0 . Tính liên t c m t phía 1. f (x) g i là liên t c trái t i x0 n u lim f (x) = f (x0 ) x→x− 0 2. f (x) g i là liên t c ph i t i x0 n u lim f (x) = f (x0 ) x→x+ 0 Đ nh lí 1.3.1. f (x) liên t c t i x0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) x→x− 0 x→x+ 0 13
Ví d 1.3.1. Tìm a đ hàm s sau liên t c t i x = 0.   1 − cos x  2 , x=0 f (x) = x  a,  x=0 Đ nh lí 1.3.2. M i hàm sơ c p liên t c trong mi n xác đ nh c a nó. 14
CHƯƠNG 2 Đ O HÀM 2.1 Đ O HÀM 2.1.1 KHÁI NI M Đ O HÀM A. Đ o hàm c a hàm s t i m t đi m Đ nh nghĩa 2.1.1. Xét hàm s f (x) xác đ nh trên (a; b) ch a x0 . Cho x0 s gia ∆x và ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) đư c g i là s gia c a hàm s ng v i s gia đ i s ∆x t i đi m x0 . ∆y f (x0 +∆x)−f (x0 ) N ut s ∆x = ∆x có gi i h n h u h n khi ∆x → 0 thì gi i h n đó đư c g i là đ o hàm c a hàm s y = f (x) t i x = x0 . Kí hi u: f (x0 ) ∆y f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x Đ nh nghĩa 2.1.2. f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim n u gi i h n này t n t i h u h n. x→x0 x − x0 Đ o hàm m t phía ∆y Đ nh nghĩa 2.1.3. + Đ o hàm bên ph i c a f t i x0 : f+ (x0 ) = lim ∆x n u ∆x→0+ gi i h n đó t n t i h u h n. ∆y + Đ o hàm bên trái c a f t i x0 : f− (x0 ) = lim n u gi i h n đó t n t i h u ∆x→0− ∆x h n. Đ nh lí 2.1.1. Hàm s f (x) có đ o hàm t i x0 khi và ch khi t n t i f+ (x0 ), f− (x0 ) và f+ (x0 ) = f− (x0 ) . 15
Quy t c tính đ o hàm b ng đ nh nghĩa 1. Cách 1 B1 Cho x0 s gia ∆x B2 Tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y B3 Tính gi i h n t s ∆x khi ∆x → 0 2. Cách 2 f (x)−f (x0 ) • Tính limx→x0 x−x0 • N u gi i h n trên b ng s h u h n k thì k t lu n f (x0 ) = k , ngư c l i k t lu n hàm s không có đ o hàm t i x0 . Ví d 2.1.1. Tính đ o hàm c a hàm s sau t i đi m x = 0   1 − cos x  , x=0 f (x) = x  0,  x=0 Ví d 2.1.2. Tính đ o hàm c a hàm s y = |x| t i x = 0 (n u có) L i gi i Cho x = 0 s gia ∆x ∆y |0 + ∆x| − |0| |∆x| = = ∆x ∆x ∆x ∆y |∆x| ∆x lim = lim = lim = 1 = f+ (0) ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆y |∆x| −∆x lim = lim = lim = −1 = f− (0) ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x Vì f+ (0) = f− (0) nên hàm s y = |x| không có đ o hàm t i x = 0 Đ nh lí 2.1.2. N u hàm s f (x) có đ o hàm t i đi m x0 thì nó liên t c t i đi m đó Chú ý 2.1.3. Đi u ngư c l i c a đ nh lí 2 là sai. Ví d : hàm s y = |x| liên t c t i x = 0 nhưng không có đ o hàm t i x = 0. 16
2.1.2 Đ O HÀM C A CÁC HÀM SƠ C P CƠ B N Công th c tính đ o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n 1.(C) = 0 2.(xα ) = αxα−1 , (x) = 1 1 1 3.(ax ) = ax ln a; (ex ) = ex 4.(loga x) = , (ln x) = x x ln a 3.(sinx) = cosx 6.(cosx) = −sinx 1 1 7.(tanx) = 8.(cotx) = − 2 cos2 x sin x 1 1 9.(arcsinx) = √ 10.(arccosx) = − √ 1 − x2 1 − x2 1 1 11.(arctanx) = 12.(arccotx) = − 1 + x2 1 + x2 2.1.3 CÁC QUY T C TÍNH Đ O HÀM A. Đ o hàm c a t ng, hi u, tích, thương các hàm s Đ nh lí 2.1.4. N u các hàm s u = u(x) và v = v(x) có đ o hàm t i đi m x0 thì: 1. (u + v) (x0 ) = u (x0 ) + v (x0 ); 2. (ku) (x0 ) = ku (x0 ) (k là h ng s b t kỳ); 3. (uv) (x0 ) = u (x0 )v(x0 ) + u(x0 )v (x0 ); u (x0 )v(x0 ) − u(x0 )v (x0 ) 4. ( u ) (x0 ) = v (v(x0 ) = 0). v 2 (x0 ) B. Đ o hàm c a hàm h p Đ nh lí 2.1.5. N u hàm s u = u(x) có đ o hàm t i x0 và hàm s y = f (u) có đ o hàm t i đi m tương ng u0 = u(x0 ) thì hàm h p y = f [u(x)] có đ o hàm t i x0 đư c tính theo công th c: y (x0 ) = f (u0 ).u (x0 ) ho c yx = yu .ux 17
Ví d 2.1.3. Tính đ o hàm c a hàm s y = 2sin 2x L i gi i: y = 2sin 2x (ln 2)(sin 2x) = (ln 2)2sin 2x .2. cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1 cos 2x 2.2 VI PHÂN 2.2.1 KHÁI NI M VI PHÂN VÀ LIÊN H Đ O HÀM A. Khái ni m hàm kh vi và vi phân Đ nh nghĩa 2.2.1. Hàm f (x) đư c g i là hàm kh vi t i đi m x0 n u t n t i s th c k sao cho: ∆f (x0 ) = k∆x + o(∆x) Tích k∆x g i là vi phân c a hàm s f (x) t i đi m x0 và đư c kí hi u là df (x0 ) df (x0 ) = k∆x Ví d 2.2.1. Ch ng minh hàm s f (x) = x3 kh vi t i đi m x b t kỳ. B. Liên h gi a vi phân và đ o hàm Đ nh lí 2.2.1. Hàm s f (x) kh vi t i đi m x0 ⇔ ∃f (x0 ). Khi đó, df (x0 ) = f (x0 ).∆x. Bi u th c vi phân 1. Khi f (x) = x thì dx = ∆x 2. N u f (x) có đ o hàm t i x thì bi u th c vi phân c a f (x) là: df (x) = f (x)dx Ví d 2.2.2. 1. y = ln(3x2 − 2x3 ). Tìm dy 18
2. y = arctan x2 . Tìm dy L i gi i: (3x2 −2x3 ) 6x(1−x) 1. dy = (ln(3x2 − 2x3 )) dx = 3x2 −2x3 dx = 3x2 −2x3 dx (x2 ) 2x 2. dy = (arctan x2 ) dx = 1+x4 dx = 1+x4 dx 2.2.2 CÁC QUY T C TÍNH VI PHÂN A. Vi phân c a t ng, hi u, tích, thương các hàm s Đ nh lí 2.2.2. N u các hàm s u = u(x) và v = v(x) kh vi t i đi m x thì t i đi m đó ta có: 1. d(u ± v) = du ± dv ; 2. d(ku) = kdu (k là h ng s ); 3. d(uv) = vdu + udv ; vdu − udv 4. d( u ) = v (v(x) = 0). v2 B. Tính b t bi n c a bi u th c vi phân Đ nh lí 2.2.3. Cho hàm s y = f (x) là hàm s kh vi theo bi n x, x = ϕ(t) là hàm s kh vi theo bi n t. Khi đó, dy = yt .dt = yx dx. 2.3 Đ O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO 2.3.1 Đ O HÀM C P CAO Đ nh nghĩa 2.3.1. Đ o hàm c p n c a hàm s y = f (x) là đ o hàm c a đ o hàm c p n − 1 c a hàm s đó. f (n) (x) = [f (n−1) (x)] 19