Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 4

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2) - Chương 4: Tích phân, cung cấp cho người học những kiến thức như một số kiến thức cơ bản về tích phân; tích phân suy rộng; một số ứng dụng của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 4

CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN
BÀI 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
1. Nguyên hàm Cho hàm số 𝒇 xác định trên khoảng (𝒂, 𝒃). Hàm số 𝑭 được gọi là một nguyên hàm của hàm 𝒇 trên khoảng (𝒂, 𝒃) nếu 𝑭 khả vi trên khoảng 𝒂, 𝒃 và 𝑭! (𝒙) = 𝒇(𝒙), ∀𝒙 ∈ (𝒂, 𝒃). 2. Tích phân bất định Cho hàm 𝑭 là một nguyên hàm nào đó của hàm 𝒇 trên khoảng (𝒂, 𝒃). Tích phân bất định của hàm 𝒇 trên khoảng (𝒂, 𝒃) được kí hiệu và xác định như sau: -𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 , với 𝑪 là hằng số. 3. Tích phân xác định (Định nghĩa 13.2 trang 482 sách GT)
4. Một số công thức tích phân cơ bản 𝒙 𝜶#𝟏 i) -𝒙 𝜶 𝒅𝒙 = + 𝑪 𝜶 ≠ −𝟏 ; 𝜶+ 𝟏 𝟏 1 ii) - 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃 + 𝑪, 𝒂≠ 𝟎 ; 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒂 𝒂 𝒌𝒙 iii) -𝒂 𝒌𝒙 𝒅𝒙 = + 𝑪 𝟎< 𝒂≠ 𝟏 ; 𝒌𝒍𝒏 𝒂 𝒅𝒙 𝟏 𝒙 iv) - 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒂 + 𝑪 𝒂≠0 ; 𝒂 + 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒙− 𝒂 v) - = 𝒍𝒏 + 𝑪 𝒂≠ 𝒃 . (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃) 𝒂− 𝒃 𝒙− 𝒃
4. Một số công thức tích phân cơ bản vi) -𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝑪; vii) -𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪; 𝒅𝒙 𝝅 viii) - 𝟐 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝑪, 𝒙 ≠ + 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ ; 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ix) 𝒅𝒙 - 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒕𝒙 + 𝑪, 𝒙 ≠ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ ; 𝒔𝒊𝒏 x) 𝒅𝒙 - = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝑪; 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 xi) - 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝑪.
4. Công thức Newton – Leibnitz Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 liên tục trên đoạn [𝒂, 𝒃]. Nếu 𝑭 là một nguyên hàm nào đó của 𝒇 trên khoảng (𝒂, 𝒃) và liên tục trên đoạn [𝒂, 𝒃] thì: 𝒃 - 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐅 𝒙 | 𝒃 = 𝐅 𝒃 − 𝑭 𝒂 . 𝒂 𝒂
5. Một số phương pháp tính tích phân xác định 𝒃 𝒖 𝒃 Ø Phương pháp đổi biến số:- 𝒇 𝒖 𝒙 𝒖! 𝒙 𝒅𝒙 = - 𝒇 𝒕 𝒅𝒕, với 𝒕 = 𝒖 𝒙 . 𝒂 𝒖 𝒂 𝟐 𝒅𝒙 Ví dụ 1: Tính tích phân: - . 𝟏 𝒙(𝟏 + 𝒍𝒏 𝒙) 𝟎 Ví dụ 2: Tính tích phân: - 𝒙𝒆 𝒙𝟐 𝒅𝒙. +𝟏
5. Một số phương pháp tính tích phân xác định Ø Phương pháp tích phân từng phần: Cho 𝒖, 𝒗 là các hàm số liên tục trên đoạn [𝒂, 𝒃], khả vi trên khoảng (𝒂, 𝒃). Khi đó ta có công thức: 𝒃 𝒃 - 𝒖 𝒙 𝒅𝒗 𝒙 = 𝒖 𝒙 𝒗 𝒙 | 𝒃 − - 𝒗 𝒙 𝒅𝒖 𝒙 . 𝒂 𝒂 𝒂 𝒆 Ví dụ 3: Tính tích phân: - 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 . 𝟏 𝟎 Ví dụ 4: Tính tích phân: - 𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝒅𝒙. +𝟏
BÀI 2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1. Tích phân suy rộng với cận trên vô hạn Cho 𝒇 là hàm số liên tục trên khoảng 𝒂, +∞ . #. Biểu thức 𝑰 = ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 được gọi là tích phân suy rộng với cận trên vô hạn và được định nghĩa bằng: #. 𝒃 - 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 - 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 . 𝒂 𝒃→#. 𝒂 2. Tích phân suy rộng với cận dưới vô hạn Cho 𝒇 là hàm số liên tục trên khoảng (−∞, 𝒃]. 𝒃 Biểu thức 𝑰 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 được gọi là tích phân suy rộng với cận dưới +. vô hạn và được định nghĩa bằng: 𝒃 𝒃 - 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 - 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 . +. 𝒂→+. 𝒂
Chú ý: Nếu mỗi giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì tích phân suy rộng tương ứng được gọi là hội tụ và có giá trị bằng giới hạn tương ứng. Trái lại, nếu giới hạn ở vế phải không tồn tại hoặc bằng vô hạn thì tích phân suy rộng tương ứng là phân kỳ.
#. 𝟏 +𝟐𝒙 Ví dụ 1: Tính tích phân: 𝑰=- 𝒆 𝒅𝒙 . 𝟎 𝟑 𝟏 𝒙 Ví dụ 2: Tính tích phân: 𝑰=- 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙. +. 𝟎 𝒅𝒙 Ví dụ 3: Tính tích phân: 𝑰=- . +. 𝟏− 𝒙 𝟑 #. 𝒙 Ví dụ 4: Tính tích phân: 𝑰=- 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 . 𝟎
BÀI 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Bài toán xác định hàm doanh thu và hàm chi phí của doanh nghiệp Doanh nghiệp sản xuất và kinh doanh một loại sản phẩm . Gọi 𝑸 là số sản phẩm doanh nghiệp dự định sản xuất; 𝑻𝑪 và 𝑻𝑹 tương ứng là các hàm tổng chi phí và tổng doanh thu theo sản lượng 𝑸. Giả sử 𝑻𝑪 và 𝑻𝑹 là các hàm khả vi theo 𝑸. Ta có: 𝑴𝑪 𝑸 = 𝑻𝑪! 𝑸 ; 𝑴𝑹 𝑸 = 𝑻𝑹! 𝑸 là các hàm chi phí biên và doanh thu biên tương ứng.
1. Bài toán xác định hàm doanh thu và hàm chi phí của doanh nghiệp Khi đó: § Nếu biết hàm chi phí biên 𝑴𝑪 thì hàm tổng chi phí 𝑻𝑪 được xác định như sau: 𝑸 𝑻𝑪 𝑸 = ∫ 𝑴𝑪 𝑸 𝒅𝑸 = ∫𝟎 𝑴𝑪 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑪. Hằng số 𝑪 được xác định bởi 𝑪 = 𝑻𝑪 𝟎 = 𝑭𝑪 với 𝑭𝑪 là chi phí cố định (chi phí phát sinh trước khi doanh nghiệp bắt đầu sản xuất sản phẩm). § Nếu biết hàm doanh thu biên 𝑴𝑹 thì hàm tổng doanh thu 𝑻𝑹 được xác định như sau: 𝑸 𝑻𝑹 𝑸 = ∫ 𝑴𝑹 𝑸 𝒅𝑸 = ∫𝟎 𝑴𝑹 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑪. Hằng số 𝑪 được xác định bởi 𝑪 = 𝑻𝑹 𝟎 = 𝟎.
1. Bài toán xác định hàm doanh thu và hàm chi phí của doanh nghiệp Ví dụ 1: Một hãng sản xuất một loại sản phẩm có hàm chi phí biên theo sản lượng được cho bởi hàm số 𝑴𝑪 𝑸 = 𝑸 𝟐 − 𝟐𝑸 + 𝟏𝟎𝟎, trong đó 𝑸 là sản lượng sản phẩm và đơn vị tính chi phí là 1 USD. a) Tính tổng chi phí hãng phải đầu tư khi dự định sản xuất 30 đơn vị sản phẩm, biết chi phí cố định 𝑭𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 USD. b) Nếu sản lượng sản phẩm tăng từ 30 lên 60 đơn vị thì tổng chi phí thay đổi như thế nào?
1. Bài toán xác định hàm doanh thu và hàm chi phí của doanh nghiệp Ví dụ 2: Một hãng sản xuất một loại sản phẩm có hàm doanh thu biên theo sản lượng được cho bởi hàm số 𝑴𝑹 𝑸 = 𝟔𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝑸, (đơn vị: triệu đồng). Nếu hãng sản xuất tăng sản lượng sản phẩm từ 20 lên 40 đơn vị sản phẩm thì tổng doanh thu sẽ thay đổi như thế nào?
2. Bài toán tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một dòng tiền liên tục Xét một dòng tiền phụ thuộc liên tục theo thời gian, trong khoảng từ 𝟎 đến 𝑻 hay trên đoạn 𝟎; 𝑻 . Tại mỗi thời điểm 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 , gọi 𝒇 𝒕 là hàm tốc độ thu nhập (tức thời) theo đơn vị là năm của dòng tiền. Với mức lãi suất hàng năm là 𝒊, tính lãi kép và trả lãi liên tục (số lần tính lãi trong 1 năm tăng vô hạn) thì: • Giá trị hiện tại (tính tại thời điểm 𝒕 = 𝟎) của dòng tiền trong khoảng thời gian 𝟎, 𝑻 là: 𝑻 𝑷 𝑻 = - 𝒇 𝒕 . 𝒆+𝒊𝒕 𝒅𝒕. 𝟎 • Giá trị tương lai (tính tại thời điểm 𝒕 = 𝑻) của dòng tiền trong khoảng thời gian 𝟎, 𝑻 là: 𝑻 𝑻 𝑭 𝑻 = - 𝒇 𝒕 . 𝒆𝒊 𝑻+𝒕 𝒅𝒕 = 𝒆 𝒊𝑻 - 𝒇 𝒕 𝒆+𝒊𝒕 𝒅𝒕. 𝟎 𝟎
2. Bài toán tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một dòng tiền liên tục Ví dụ 3: Một dòng tiền biến thiên liên tục theo thời gian 𝒕 (năm) với hàm tốc độ biến thiên cho bởi 𝒗 𝒕 = 𝟑𝟎𝒕 + 𝟏𝟎𝟎 (triệu đồng/năm). Tính giá trị hiện tại của dòng tiền tại thời điểm 𝒕 = 𝟎 phát sinh trong khoảng thời gian 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟓. Biết lãi suất ổn định 6%/năm, tính lãi kép và áp dụng phương thức ghép lãi liên tục. Ví dụ 4: Một dòng tiền biến thiên liên tục theo thời gian 𝒕 (năm) với hàm tốc độ biến thiên cho bởi 𝒗 𝒕 = 𝟐𝟔 − 𝟎, 𝟑𝒕 (triệu đồng/năm). Tính giá trị tương lai của dòng tiền phát sinh trong khoảng thời gian 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟕, tại thời điểm 𝑻 = 𝟕. Biết lãi suất ổn định 5%/năm, tính lãi kép và áp dụng phương thức ghép lãi liên tục.
KẾT THÚC CHƯƠNG 4