Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2) - Chương 1: Hàm số một biến số, cung cấp cho người học những kiến thức như định nghĩa hàm số; các phép toán với các hàm số một biến số; hàm sơ cấp; một số ví dụ minh hoạ về hàm số trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 1

1/3/2023 TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN II TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN II 1 Hàm số một biến số 2 Giới hạn và liên tục của hàm số một biến số 3 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số 4 Tích phân 5 Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm số nhiều biến số 1
1/3/2023 CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ Cho 𝑿, 𝒀 ⊆ ℝ. Hàm số 𝒇 từ 𝑿 vào 𝒀 là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử 𝒙 ∈ 𝑿 với một và chỉ một phần tử 𝒚 ∈ 𝒀. Kí hiệu: 𝒇: 𝑿 → 𝒀 𝒙 ↦ 𝒚 = 𝒇(𝒙) trong đó: 𝒙 là biến số, 𝒚 là hàm số, 𝑿 là miền xác định (hoặc tập xác định) của hàm số, tập hợp 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑿 là miền giá trị của hàm số. Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau: a) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏, b) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟏, c) 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (𝟐 − 𝟑𝒙) . 2
1/3/2023 1. Phép toán số học (Tự đọc) Cho hai hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒚 = 𝒈 𝒙 với miền xác định 𝑫 𝒇 và 𝑫 𝒈 khác rỗng. Nếu 𝑫 𝒇 ∩ 𝑫 𝒈 ≠ ∅ thì ta có các định nghĩa sau: • Hàm tổng (tương ứng hàm hiệu): 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒙 +𝒈 𝒙 (tương ứng 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 ) với 𝒙 ∈ 𝑫 𝒉 = 𝑫 𝒇 ∩ 𝑫 𝒈 . • Hàm tích: 𝒌 𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 với 𝒙 ∈ 𝑫 𝒌 = 𝑫 𝒇 ∩ 𝑫 𝒈 . • Hàm thương: 𝒇 𝒙 𝒑 𝒙 = 𝒗ớ𝒊 𝒙 ∈ 𝑫 𝒑 = 𝑫 𝒇 ∩ 𝑫 𝒈 \ 𝒙 ∈ 𝑫 𝒈 : 𝒈 𝒙 = 𝟎 . 𝒈 𝒙 2. Hàm hợp. (Tự đọc) Cho 𝑿, 𝒀, 𝒁 ⊆ ℝ. Cho hàm số 𝒈 từ 𝑿 vào 𝒀, hàm số 𝒇 từ 𝒀 vào 𝒁. Hàm hợp của 𝒇 với 𝒈 được ký hiệu và xác định như sau: 𝒇∘ 𝒈∶ 𝑿→ 𝒁 𝒙↦ 𝒇∘ 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 Ví dụ 2: Cho 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 và 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 . Hãy tính 𝒇 ∘ 𝒈 𝒙 và 𝒈 ∘ 𝒇 (𝒙). 3
1/3/2023 3. Hàm ngược (Tự đọc) Cho hàm số 𝒇: 𝑿 → 𝒀 𝒙 ↦ 𝒚 = 𝒇(𝒙) Hàm số 𝒇 từ 𝒀 vào 𝑿 được gọi là hàm 𝟏 ngược của hàm số 𝒇 nếu thoả mãn: 𝒇 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙, ∀𝒙 ∈ 𝑿. Ví dụ 3: 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm hằng: 𝒚 = 𝒄, ∀𝒙 ∈ ℝ, 𝒄 là hằng số. • Hàm số luỹ thừa: 𝒚 = 𝒙 𝜶 , 𝜶 là số thực tuỳ ý. 4
1/3/2023 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm số mũ: 𝒚 = 𝒂 𝒙 , ∀𝒙 ∈ ℝ, 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏. (i) 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 (ii) 𝒂 > 𝟏 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm số logarit: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 , ∀𝒙 > 𝟎, 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏. (i) 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 (ii) 𝒂 > 𝟏 5
1/3/2023 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lượng giác: (i) 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙, ∀𝒙 ∈ ℝ. (ii) 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙, ∀𝒙 ∈ ℝ. 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lượng giác: 𝝅 iii 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙, 𝒙 ≠ + 𝒌𝝅 với 𝒌 ∈ ℤ. iv 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙, 𝒙 ≠ 𝝅 + 𝒌𝝅 với 𝒌 ∈ ℤ. 𝟐 6
1/3/2023 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lượng giác ngược: (i) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙, 𝒙 ∈ −𝟏; 𝟏 (ii) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒙 ∈ −𝟏; 𝟏 1. Hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lượng giác ngược: (iii) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙, 𝒙 ∈ ℝ. (iv) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙, 𝒙 ∈ ℝ. 7
1/3/2023 2. Hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp bao gồm các hàm sơ cấp cơ bản và các hàm được tạo bởi các hàm sơ cấp cơ bản thông qua một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp. Ví dụ 5: Hàm số nào sau đây là hàm sơ cấp? 𝒂) 𝒚 = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 . 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒃) 𝒚 = 𝟐 . 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒄) 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙. 𝟐𝒙 + 𝟏 nếu 𝒙 ≤ −𝟑, d) 𝒚 = 𝒙 𝟐 −𝟐 nếu − 𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟐, 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐 nếu 𝒙 > 𝟐. 3. Hàm phi sơ cấp Hàm số không là hàm sơ cấp được gọi là hàm phi sơ cấp. Ví dụ 6: 𝟏 − 𝒙 nếu 𝒙 ≤ −𝟏, Cho hàm phi sơ cấp: 𝒚 = 𝒙𝟐 nếu 𝒙 > −𝟏. TXĐ: 𝑫 = (−∞, −𝟏] ∪ (−𝟏, +∞) = ℝ. Đồ thị hàm số 8
1/3/2023 3. Hàm phi sơ cấp Ví dụ 7: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 𝟐𝒙 + 𝟏 nếu 𝒙 ≤ −𝟑, a) 𝒚 = 𝟐 𝒙 −𝟐 nếu − 𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟐, 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐 nếu 𝒙 > 𝟐. 𝐥𝒏 𝟏 − 𝟐𝒙 nếu − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎, b) 𝒚 = 𝟏 nếu 𝒙 ≥ 𝟎. 𝒙𝟐 𝟒 Ví dụ 8: Cho biết giá điện sinh hoạt trong tháng của các hộ gia đình được tính theo phương pháp luỹ tiến như sau: Số điện sử dụng (𝒙) (kWh) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟎 𝟓𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎 𝒙 > 𝟏𝟎𝟎 Giá cho 1kWh (nghìn đồng) 1,4 1,8 2,1 a) Tính số tiền khách hàng phải trả khi sử dụng 170 kWh. b) Lập hàm số tính số tiền khách hàng phải trả theo số kWh đã sử dụng trong tháng. c) Lập hàm số tính số tiền khách hàng phải trả theo số kWh đã sử dụng trong tháng khi khách hàng phải đóng thêm thuế VAT tính trên tổng số tiền điện là 10%. d) Sử dụng hàm số ở câu (c), hãy tính giá trung bình cho 1kWh khi khách hàng sử dụng 250kWh. 9
1/3/2023 Ví dụ 9: Giá cước dịch vụ của một hãng taxi được tính theo phương pháp luỹ thoái và cho ở bảng sau: Số ki-lô-mét (𝒙) (km) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎 𝟑𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎 𝒙 > 𝟏𝟎𝟎 Giá cho 1km (nghìn đồng) 14 11 9 Nếu quãng đường đi từ 120km trở lên thì khách hàng được hoàn tiền 50 nghìn đồng. a) Lập hàm số tính số tiền khách hàng phải trả theo quãng đường đi taxi. b) Tính quãng đường khách hàng đi taxi biết khách hàng phải trả 1680 nghìn đồng. Ví dụ 10: Cho biết lương tháng của một nhân viên bán hàng được tính bằng lương cơ bản cộng với tiền thưởng là 𝒑% của doanh số bán hàng mà họ thực hiện được trong tháng đó. Với số liệu được cho ở bảng sau: Doanh số bán hàng (𝒙) (triệu đồng) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟎 𝟓𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎 𝒙 > 𝟏𝟎𝟎 Lương cơ bản (triệu đồng) 3 4 5 Phần trăm 𝒑 5 4 3 a) Lập hàm số tính lương tháng của nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng mà họ thực hiện được trong tháng. b) Nếu doanh số bán hàng trong tháng là 120 triệu đồng thì lương của nhân viên bán hàng là bao nhiêu? c) Nếu nhân viên bán hàng muốn lương trong tháng là 9,5 triệu đồng thì tháng đó doanh số bán hàng của nhân viên là bao nhiêu? 10
1/3/2023 Ví dụ 11: Trong một đại lý bán táo nhập khẩu, giá của mỗi kg táo trong một lô hàng là như nhau và phụ thuộc vào số kg táo trong lô hàng đó. Với mỗi lô hàng, nếu số kg táo không quá 40kg thì giá là 200 nghìn đồng/kg, trên 40kg và không quá 90kg thì giá là 170 nghìn đồng/kg còn trên 90kg thì giá là 150 nghìn đồng/kg. a) Lập hàm số tính số tiền khách hàng phải trả theo số lượng táo đã mua. b) Với số tiền 18 triệu đồng thì khách hàng có thể mua được bao nhiêu kg táo? KẾT THÚC CHƯƠNG 1 11