Bài giảng Toán cao cấp A1-C1: Phần 1 - Huỳnh Hữu Dinh

Chia sẻ: Năm Tháng Tĩnh Lặng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:116

Thêm vào BST

Báo xấu

431
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A1-C1 có cấu trúc gồm 6 chương và được chia thành 2 phần. Trong đó phần 1 sau đây sẽ cung cấp cho người học 3 chương đầu tiên với các nội dung kiến thức về giới hạn hàm số, hàm số liên tục; phép tính vi phân hàm một biến; tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1-C1: Phần 1 - Huỳnh Hữu Dinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 (BẬC CAO ĐẲNG) TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 2
Mục lục 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7 1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 2.1 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 TÍCH PHÂN 65 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.8 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 87 3.8.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . 88 3.9 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 94 3.11 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.11.1 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.12 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 101 3
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3.12.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.12.3 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13 Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.13.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 109 4 Ma trận và định thức 117 4.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.1 Các khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . 127 4.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.1 Hoán vị và nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông . . . . . 130 4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . 136 4.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B . . . . 149 4.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 152 4.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . 171 5.1.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2 Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4 Phương pháp phân rã LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.4.1 Phương pháp Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.4.2 Phương pháp Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . 190 5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195 6 Không gian vector 205 6.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . 207 6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 210 6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector . . . . . . . . . . 216 6.5 Tọa độ của vector. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . 222 6.6 Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Trang 4
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . 229 6.6.2 Không gian con nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.7 Không gian vector Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Trang 5
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 6
Chương 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.1. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f (x) xác định trong tập D. Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) tại điểm a, ký hiệu lim f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao x→a cho |f (x) − L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa điều kiện |x − a| < δ. Ví dụ 1.1. Chứng tỏ rằng lim (2x + 1) = 3. x→1 Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |(2x + 1) − 3| < ϵ được thỏa mãn thì ϵ |(2x + 1) − 3| < ϵ ⇔ |x − 1| < 2 Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = 2ϵ thì với mọi x thỏa |x − 1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ. Do đó lim (2x + 1) = 3. x→1 Nhận xét 1.1. Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không nhất thiết phải xác định tại điểm x = a. Khi tính giới hạn ta chỉ xét các giá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a. x2 − 4 Ví dụ 1.2. Chứng tỏ rằng lim = 4. x→2 x − 2 7
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Hàm số đã cho không xác định tại x = 2. Ta cần phải chứng minh rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸= 2 x2 − 4 thì | − 4| < ϵ. x−2 Khi x ̸= 2 ta được
2
x − 4
x − 2 − 4
< ϵ ⇔ |x + 2 − 4| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵ Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ thì với mọi x thỏa x2 − 4 x2 − 4 |x − 2| < δ, x ̸= 2 ta được | − 4| < ϵ. Do đó lim = 4. x−2 x→2 x − 2 Định nghĩa 1.2. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến ra vô cùng) Ta nói giá trị L là giới hạn của hàm số ( y = f (x) khi ) x tiến ra cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim f (x) = L lim f (x) = L x→+∞ x→−∞ nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số N > 0 sao cho với mọi x thỏa x > N (x < −N ) thì ta có bất đẳng thức |f (x) − L| < ϵ. 2x Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng lim = 2. x→+∞ x − 1 2x Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | − 2| < ϵ được thỏa x−1 mãn thì