intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hoàng Mạng Dũng

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
44
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 3: Ma trận và định thức" cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, khái niệm ma trận, phép toán ma trận, ma trận của một hệ véc tơ, định nghĩa định thức, một số ví dụ về định thức,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hoàng Mạng Dũng

  1. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1 MA TRẬN 3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ Một bảng số có m hàng n cột hàng trăm năm nay  a11 a12 ... a1n  Các ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các a a22 ... a2 n  công trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính A   21  Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa       ra vào năm 1801 a amn   m1 am 2 ... Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester được gọi là một ma trận cỡ m  n (Synvét) đưa ra năm 1850 aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát các phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858) Ma trận A được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến phần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức) tính qua các ma trận. Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem A là ma trận thực trận để nghiên cứu các dạng toàn phương 10/07/2017 1 10/07/2017 2 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứng Ma trận A cỡ m  n có thể được viết tắt dạng đều bằng nhau m  m ' A   aij   mn  aij   bij   n  n ' mn m 'n '  Khi m  n ta nói A là ma trận vuông cấp n aij  bij , i  1, m ; j  1, n Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m  n được ký hiệuMm  n Ví dụ 3.2 3 x 3 y   x  4 x  y  6 3z 3w   z  w  1 2w  3  Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n     3 x  x  4 2 x  4 x  2  0 1  3 y  x  y  6 2 y  x  6 y  4 Ví dụ 3.1   là một ma trận cỡ 23        3 2 5  3 z  z  w  1 2 z  w  1 z  1 3w  2w  3  w  3  w  3 10/07/2017 3 10/07/2017 4 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z và w thỏa mãn 3.1.2.1. Phép cộng ma trận x y   x 6  4 x  y  aij   b   cij  , cij  aij  bij ; i  1, m ; j  1, n 3   3  mn  ij  mn mn  z w  1 2w  z  w Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được Ví dụ 3.3  2  3 0   0 8 5   2 5 5     3 x 3 y   x  4 x  y  6 9 4  1  3 1 7 6 5 6 3z 3w   z  w  1 2w  3      3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận 3 x  x  4 2 x  4 x  2 k  aij    kaij  3 y  x  y  6 2 y  x  6 y  4 mn mn       Ví dụ 3.4 1 1 2  1 0  1 4  1 2 0 3 z  z  w  1 2 z  w  1 z  1    3w  2w  3  w  3  w  3 2  3  8 10 3 2  4 5 10/07/2017 5 10/07/2017 6 1
  2. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực Tính chất 3.1 k, h với mọi ma trận cỡ m  n Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ m  n 5) k ( A  B)  kA  kB 1) A  ( B  C )  ( A  B)  C 6) (k  h) A  kA  hA 2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký 7) k (hA)  (kh) A hiệu 0 thỏa mãn 8) 1A  A A0  0 A  A Với 8 tính chất này tập M m  n là một không gian véc tơ  3) A  ( A)  0 , trong đó  A   a ij mn Ký hiệu Eij là ma trận cỡ m  n có các phần tử đều bằng 0 ngoại trừ phần tử ở hàng i cột j bằng 1 A B  B  A 4) Hệ các ma trận E ij  i  1, m ; j  1, n là một cơ sở của Mm  n 10/07/2017 7 10/07/2017 8 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.6 3.1.2.3 Phép nhân ma trận Tích hai ma trận A   aij  và B  bij  Ma trận cỡ 2  3 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến   m p   pn tính các ma trận Eij là ma trận cỡ m  n được ký hiệu và định nghĩa bởi AB  cij  mn  a11 a12 a13   a111 0 0 0 0  0 a12 0 10  0 0 0 0a130 1  a   a11     a12      a13    p  21 a22 a23   0 0 0 0 0 0  0 00 00  0 0 0 0 0 0 0  cij   aik bkj víi mäi i  1, m ; j  1, n k 1  00 00 00  0 0 00  0 0 0 0 0 0 0   a21    a22    a23    Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận A bằng số hàng  a211 00 00  0 a022 10  0 0 0 0a230 1  của ma trận B Phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của ma trận tích AB bằng tổng  a11E11  a12 E12  a13 E13  a21E21  a22 E22  a23E23 của tích các phần tử hàng thứ i của ma trận A với các phần tử tương ứng cột thứ j của ma trận B 10/07/2017 9 10/07/2017 10 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC j Ví dụ 3.7  1 3     b1 j   1  2 3   9 15     b2 j     1 0          1 2 5   7 17 i  cij   ai1 ai 2 aip     2 4            2  2 8 4       bpj   3 1 4 2   3 12 6      Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích  1 3  x  3z y  3w  các phần tử hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng cột  1 0   x y    x y  thứ j của B    z w    2 4   2 x  4 z 2 y  4 w 10/07/2017 11 10/07/2017 12 2
  3. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn, xét Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số  1 0 0  0 1 2 0  0 cột của A bằng số hàng của B 2 3 0  0 3 0 0  0     Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA A 0 0 0  0 B  0 0 0  0 nếu số cột của B không bằng số hàng của A               Khi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0  BA. Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB  BA  1 2 0  0 3 6 0  0 11 4 0  0  3 0 0  0 Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán     AB   0 0 0  0   BA   0 0 0  0                0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  10/07/2017 13 10/07/2017 14 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.2 5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để trí khác đều bằng 0 các phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức: 1) A(BC)  (AB)C tính kết hợp 2) A(B  C)  AB  AC tính phân phối bên trái phép nhân ma trận với phép cộng 3) (B  C)A  BA  CA tính phân phối bên phải phép nhân Khi đó với mọi ma trận A cỡ m  n ta có ma trận với phép cộng I m A  A  AI n 4) Với mọi k  , k(AB)  (kA)B  A(kB) Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n 10/07/2017 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0 là một số khác 0. a a a  Xét ma trận A cỡ 2  3 A   11 12 13  Ta có thể tìm được hai ma trận khác 0 có tích là ma trận 0  a21 a22 a23  Chẳng hạn 1 0 0  1 2 0  0  2 6 0  0 a a a13   a a a  AI3   11 12 0 1 0    11 12 13   A 2 4 0  0  1 3 0  0  a21 a22 a23     a21 a22 a23      0 0 1  A  0 0 0  0 B0 0 0  0             1 0  a11 a12 a13   a11 a12 a13    I2 A     A  0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  0 1   a21 a22 a23   a21 a22 a23  A, B  0 nhưng AB  0 10/07/2017 17 10/07/2017 18 3
  4. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2.4 Đa thức ma trận 3.1.2.5 Ma trận chuyển vị Giả sử p(t)  a0  a1t    ak t k là một đa thức bậc k Cho ma trận A cỡ m  n, nếu ta đổi các hàng của ma trận A Với mọi ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức của ma thành các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận A như sau: trận mới cỡ n  m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A, ký hiệu A t p( A)  a0 I  a1 A    ak Ak Ví dụ 3.8 At   cij  , cij  a ji ; i  1, n j  1, m nm 1 2  Cho ma trận A    và đa thức p(t )  5  4t  2t 3 Ví dụ 3.9  4 3  4 1  4 2 5 1 0  1 2  3 1 2   13 52  A   2 0   At    p( A)  5      4  4 3  2  4 3  104 117   1 0 9 0 1         5 9  10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.3 3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ  aij    3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ 1) ( A  B)  A  B t t t          Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B  {e1, … , en} 2) (kA) t  kA t       {v1, … , vm} là một hệ véc tơ của V có tọa độ trong cơ sở B:    aij  n 3) ( AB) t  B t A t v j   aij ei , j  1,..., m A At i 1 Nếu A  At thì A được gọi là ma trận đối xứng (A là ma trận Khi đó ma trận A   aij  nm vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất) có các cột là tọa độ của các véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở B A   At thì A được gọi là phản đối xứng (A là ma trận vuông có gọi là ma trận của hệ véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở B. các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các Ngược lại, với ma trận A cỡ n  m cho trước thì ta có hệ m véc tơ phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0) mà toạ độ của nó trong cơ sở B là các cột của A 10/07/2017 21 10/07/2017 22 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nói riêng, nếu u  x1e1  ...  xnen 3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở Giả sử B  {e1, … , en}, B  {e 1, … , e n} là hai cơ sở của V ta ký hiệu  x1   u  B  ( x1,..., xn ) u B     Ma trận của hệ véc tơ B  trong cơ sở B được gọi là ma trận  xn  chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B  Ví dụ 3.10 n Xét hệ véc tơ v1  (4,1,3, 2), v2  (1,2, 3,2), v3  ( x, y, z, t ) Nghĩa là nếu e ' j   tij ei , j  1,..., n thì T  tij    B B' i 1 là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B   4 1 x n n n  n  n  n  Có ma trận trong cơ sở chính tắc  1 2 y u  V : u   xi ei   x ' j e ' j   x ' j   tij ei      tij x ' j  ei       i 1 j 1 j 1  i 1  i 1  j 1   3 3 z  Ta có công thức đổi tọa độ  2 2 t     xi n1  tij  nn  x ' j  n1 u B  tij  B ' u B ' B 10/07/2017 23 10/07/2017 24 4
  5. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nếu A, A  lần lượt là ma trận của {v1, … , vn} trong cơ sở B và B e1  (1, 0), e2  (0, 1) B’ e1  (1,1), e2  (4,3)} B  thì 1 4  B A  tij  A ' Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B  là T    B' 1 3  Ví dụ 3.11  x  1 4   4 y  3x  do đó  y   1 3  x  y   u  B '  (4 y  3x, x  y) Hai hệ véc tơ B e1, e2, B ’  e’1, e’2      với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) và e1  (1,1) , e2  (4,3)  u  B '  (4 y  3x, x  y)   e1 B '  (3,1);  e2 B '  (4, 1) là hai cơ sở của không gian véc tơ 2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2)  3 4  Ma trận chuyển từ cơ sở B  sang cơ sở B là T '    u  ( x, y)  xe1  ye2  (4 y  3x)e '1  ( x  y)e '2  1 1  4 y  3x   3 4   x   u B  ( x, y);  u B '  (4 y  3x, x  y) do đó  x  y    1 1  y       10/07/2017 25 10/07/2017 26 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ 3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp cấp lên các cột hoặc các hàng để đưa ma trận về dạng hình bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận. Ví dụ về tính theo cột: Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của A là hạng của ma trận A ký hiệu r(A) Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của Ví dụ 3.12 một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS  1 3 4 2  3c1  c2  c2  1 0 0 0 (xem Định lý 2.16). A   2 1 1 4  4c1  c3  c3  2 7 7 0  Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các    1 2 1 2  2c1  c4  c4  1 5 5 0  phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của hệ không thay đổi: c1  c1  1 0 0 0 1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ  2 7 0 0 c2  c2 2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0   Vậy r(A)  2 c2  c3  c3 3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ  1 5 0 0  khác của hệ 10/07/2017 27 10/07/2017 28 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  1 2 1 1 1  c1  c4 1 1 1 1 2  c1  c1 Ví dụ về biến đổi sơ cấp theo hàng:  a 1 1 1 1 cc2  c5  1 1 1 a 1 c1c  cc2  c B  3  c1   1 3  c23 1 a 0 1 1  c4  c2  0 1 1 1 a  c21c cc4  c4 1 2  c5  c3   1 5  c5 Ví dụ 3.12  2 1 1   2 1 1 1 2   1 3 4 2  2h1  h2  h2 1 3 4 2  1 0 0 0 0 c1  c1 1 0 0 0  0 1 0 2 a1 3  1 0  A   2 1 1 4  h1  h3  h3 c2  c3 0 7 7 0  2 0 0     c3  c2   0 1 1 1 a  ( a  3) c2  ( a  1) c3  2c4  c4  01 1 0 0   1 2 1 2  0 5 5 0  (3  2 a ) c2  3c3  2c5  c5   2 1 1 3 2    2 1 1 2  2a 2  2a  5 1 3 4 2  1 0 0 0 0 h2  h3  h3 0 7 7 0  1 2 7   Vậy r(A)  2 0 0 0 4 nÕu a  1   Vậy r ( B)   0 0 0 0  0 1 1 0 0 3 nÕu a  1  2 1 1 2  2a 0   10/07/2017 29 10/07/2017 30 5
  6. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2 ĐỊNH THỨC  Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các  Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéo công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi) thứ nhất trừ tích đường chéo thứ hai (Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan) ... a11 a12  Cauchy (Cô-si) (Pháp) là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm  a11a22  a12 a21 định thức một cách hệ thống a21 a22  Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức  Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát được xét trong còn được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận chương này như: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng...  Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầu  Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ như mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời sau  Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của khái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại tích phân nhiều lớp  Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình  Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc tuyến tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến  Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra tính thuần nhất vào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính 10/07/2017 31 10/07/2017 32 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC Khi giải hệ phương trình tuyến tính  ax  by  c   a ' x  b' y  c ' ta tính các định thức a b c b a c D  ab'ba ' Dx   cb'bc ' Dy   ac'ca' a ' b' c ' b' a' c'  a11 a12  Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2: A  a11 a12 a 21 a 22  A  a11a 22  a12 a 21 Đó là định thức của ma trận vuông cấp n a 21 a 22 10/07/2017 33 10/07/2017 34 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.14 2 5 x 3 y 4  2. y.6  5.4.z  x.3.1  x. y.z  5.3.6  2.4.1 z 1 6  12 y  20 z  3x  xyz  90  8  3x  12 y  20 z  xyz  98 10/07/2017 35 10/07/2017 36 6
  7. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.15 Tương tự Tính định thức a11 a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 D 'n  a31 a32 a33  a11... ann a 22 a 23 ... a 2 n     Dn  a 33 ... a 3n an1 an 2 an3 ... ann   Ví dụ 3.16 a nn 2 a b c 0 7 d e  2  (7)  (1)  3  42 0 0 1 f Dn  a11...ann 0 0 0 3 10/07/2017 37 10/07/2017 38 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận A  [ aij ]nn của hệ véc tơ {v1, … , vn} a11 a12 ... a1n 1 a1n trong cơ sở B của không gian véc tơ V cũng được gọi là định thức của hệ véc tơ {v1, … , vn} và ký hiệu DB{v1, … , vn}. Vậy a21 a22 ... a2 n 1 D "'n      (1) n ( n 1) 2 an1...ak ,n k ...a1n DB v1,..., vn   det A   Ví dụ 3.19 Hệ véc tơ v1  (2,4,1), v2  (3,6, 2), v3  (1,5,2) an1 có ma trận trong cơ sở chính tắc B cùa 3 là Ví dụ 3.18 4 2 x 32  2 3 1 3 y 0  (1) 2 xyz   xyz A  4 6 5  Vậy DB v1, v2 , v3  det A  49   z 0 0 1 2 2  10/07/2017 39 10/07/2017 40 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng 3.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC Ma trận C  cij  có hàng thứ k là tổ hợp tuyến tính của 1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu   nn aij nÕu i  k , m hàng thứ k của A   aij  và B  bij  Đổi chỗ nn   nn  cij  aij  bij nÕu i  k A   aij  , A '   a 'ij  , a 'ij  akj nÕu i  m hai hàng Nghĩa là nn nn  m và k  ckj   akj   bkj ; víi mäi j  1,..., n. amj nÕu i  k cho nhau thì det A '   det A thì det C   det A   det B Ví dụ 3.21 a b c a " b" c" Ví dụ 3.20 a b c a b c a b c a' b' c'   a' b' c' a' b' c'   a' b' c'   a' b' c' a " b" c" a b c  a1   a2  b1   b2  c1   c2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 10/07/2017 41 10/07/2017 42 7
  8. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì 5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó định thức bằng 0 det At  det A Ví dụ 3.22 a b c a b c a b c Ví dụ 3.23 a b c a a ' a" a' b' c '  k a ' b ' c '  k a ' b ' c ' a' b' c '  b b ' b" ka kb kc a b c a b c a " b" c" c c ' c" 4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì định thức không thay đổi 6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng a b c a b c a b c a b c minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4) a' b' c'  a' b' c'  a' b' c'   a' b' c' suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột a "  a   a ' b "  b   b ' c "  c   c ' a " b" c" a b c a' b' c' khác thì định thức không thay đổi 10/07/2017 43 10/07/2017 44 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7) Định thức của mọi hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính của không 3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC gian véc tơ n chiều đều bằng 0 Nếu hệ véc tơ v1,..., vn  phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của 3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột các véc tơ còn lại. Chẳng hạn vn  1v1  2v2    n 1vn 1 Cho ma trận A  [ aij ]nn  det A  DB v1,..., vn 1, vn   DB v1,..., vn 1,1v1   2v2     n 1vn 1 Tách cột cuối thành tổng của n  1 định thức ta được Ký hiệu Mij là định thức của ma trận cấp n  1 có được bằng cách xoá hàng i cột j của ma trận A det A  DB v1,..., vn 1,1v1    DB v1,..., vn 1, n 1vn 1  0    0  0 a11 a12 ... a1 j a1n 8) Định thức của một tích bằng tích các định thức      det AB  det A det B ai1 ai 2 ... aij ain Hàng i Aij  (1)i  j M ij      an1 an 2 ... anj ann được gọi là phần bù đại số của aij Cột j 10/07/2017 45 10/07/2017 46 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i det A  a1 j A1 j  ...  anj Anj det A  ai1 Ai1  ...  ain Ain a11 a12 ... a1 j a1n a11 a12 ... a1 j a1n Nhận xét 3.5           Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theo 1 j a hàng thứ i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) cho ai1 ai 2 ... aij ain  a1 j ( 1) i1 ai 2 ... aij ain phép tính định thức cấp n theo tổng các số hạng dạng aijAij. Nếu           ở hàng thứ i hoặc cột j có số hạng aij  0 thì aijAij  0. Vì vậy để an1 an 2 ... anj ann an1 an 2 ... anj ann tính định thức ta thức hiện các bước sau: a11 a12 ... a1 j a1n Chọn hàng i hoặc cột j có nhiều phần tử bằng 0 hoặc dễ triệt tiêu      n j a Thực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng  ...  anj ( 1) i1 ai 2 ... aij ain (hoặc cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng hoặc cột này chỉ có một      phần tử khác 0 an1 an 2 ... anj ann Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu 10/07/2017 47 10/07/2017 48 8
  9. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  c1  c3  c3 Ví dụ 3.26 1 2 3 4 1 2 2 2 3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 2 c1  c4  c4 1 0 1 2 1 0 0 0 Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận D  3 1 1 0 3 1 4 6 vuông cùng cấp B sao cho AB  BA  I 1 2 0 5 1 2 1 7 Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa Khai triển theo hàng thứ 2 ta được trên nếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này là ma trận     2 2 2 nghịch đảo của A, ký hiệu A1     D  (1) 21  1  1 4 6 Điều kiện cần và đủ để ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo là     2 1 7     det A  0 det A det A1  det AA1  det I  1  det A  0 Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có 1 Ma trận nghịch đảo A1 của ma trận A có dạng A1  Bt 2 0 0 det A 3 5 1 5 B   Aij  D   1 3 5  2  (2)(3)  6(9  5)  24 nn được gọi là ma trận phụ hợp của A 3 9 1 9 2 3 9 Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A  [aij]nn 10/07/2017 49 10/07/2017 50 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC a11 a12   a1n Khai triển theo hàng thứ k det A nÕu i  k ai1 Ak1  ...  ain Akn    ABt  (det A) I ak1 ak 2   akn 0 nÕu i  k Hàng k  1  1       ak1 Ak1  ...  akn Akn  det A  A Bt   I  A1  Bt  det A  det A Hàng i ai1 ai 2   ain a b  Ma trận A    vuông cấp 2 với định thức A  ad - bc  0 có an1 an 2   ann c d  a11 a12   a1n Khai triển theo hàng thứ k ma trận nghịch đảo là t ai1 ai 2   ain 1  d c  1  d b  Hàng k A1         ai1 Ak1  ...  ain Akn  0 ad  bc  b a  ad  bc  c a  Ví dụ 3.31 Hàng i ai1 ai 2   ain 5 7  1 1  9 7  A  có ma trận nghịch đảo A  24  3 5  an1 an 2   ann 3 9    10/07/2017 51 10/07/2017 52 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1 2 3 2 5 1 Ví dụ 3.32   Ví dụ 3.33 A  2 5 3 có det A  1 A  7 3 2  có det A  56     1 0 8  4 1 3  5 3 2 3 2 5 1 3 3 2 7 2 7 3 A11  (1)11  40 A12  (1)1 2  13 A13  (1)  5 A11  (1)11  7, A12  (1)1 2  13, A13  (1)13  5 0 8 1 8 1 0 1 3 4 3 4 1 2 3 1 3 1 2 5 1 2 1 23 2 5 A21  (1) 2 1  16 A22  (1) 2  2 5 A23  (1) 2 3 2 A21  (1) 21  14, A22  (1) 2 2  2, A23  (1)  18 0 8 1 8 1 0 1 3 4 3 4 1 2 3 1 3 1 2 5 1 2 1 33 2 5 A31  (1) 31  9 A32  (1) 3 2  3 A33  (1) 33 1 A31  (1)31  7, A32  (1)32  3, A33  (1)  29 2 3 2 5 3 2 7 2 7 3 5 3 t t  40 13 5  40 16 9   40 16 9   7 13 5   7 14 7  2     13 5 3    13 5 3 1  1  A1  18     13 2 3  1 16 5 A1  14 2 1       56   56    9 3 1   5 2 1   5 2 1  7 3 29   5 18 29  10/07/2017 53 10/07/2017 54 9
  10. CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan Ví dụ 3.34  1 2 3 Tìm A1 với A   2 5 3 Để tìm ma trận nghịch đảo A1 ta thực hiện các bước sau:   1 0 8 1 2 31 0 0 h1h1 1 2 3 1 0 0 1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A|I 2 5 30 1 0 2 h1  h2 h2 0 1 3 2 1 0 2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng 1 0 80 0 1  h1  h3 h3 0 2 5 1 0 1 của A | I để đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị h1  h1 1 2 3 1 0 0 h1  h1 1 2 3 1 0 0 h2  h2 0 1 3 2 1 0 h2  h2 0 1 3 2 1 0 3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A1 2 h2  h3  h3 0 0 1 5 2 1  h3  h3 0 0 1 5 2 1 A I  ..........  I A1 3 h3  h1  h1 1 2 0 14 6 3 2 h2  h1  h1 1 0 0 40 16 9 3 h3  h2  h2 0 1 0 13 5 3 h2  h2 0 1 0 13 5 3 h3  h3 0 0 1 5 2 1 h3  h3 0 0 1 5 2 1 10/07/2017 55 10/07/2017 56 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC Định lý 3.12 Giả sử A  [ aij ] là một ma trận cỡ m  n. Nếu có định thức con Định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu cấp p khác 0 và mọi định thức con cấp p  1 bao quanh nó đều định thức DB{v1, ... , vn}  0 thì hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính bằng 0 thì r(A)  p Ngược lại, giả sử hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính, ta chứng Hệ quả 3.13 Giả sử A là một ma trận cỡ m  n thì minh DB{v1, ... , vn}  0 r ( A )  r (At )  min(m , n) Vậy hệ {v1, ... , vn} trong không gian véc tơ n chiều là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi DB{v1, ... , vn}  0 Ví dụ 3.35 B'  2 1 2 3  2 1 2 2 1 3 Ta cũng chứng minh được nếu T  tij  là ma trận chuyển từ cơ A   2 9 4 7  2 9 4  2 9 7 0 B 1   sở B sang B ' thì ma trận chuyển từ cơ sở B ' sang B là T  4 3 1 1 4 3 1 4 3 1 B'  t 'ij   T 1 B 2 1 T  tij   20 Vậy r ( A)  2 B B' 2 9 10/07/2017 57 10/07/2017 58 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.36 2 1 0 4 Ví dụ 3.37  a1 11 113 111 1 1   4 2 1 7   1 a 11 1 3 1 1  1 1 1 1 B  Tìm hạng của ma trận A  A   A    3 1 1 4   11 11 a11 111 3 1   1 4 3 4   1 1 1 a      A  (a  3)(a  1) 3  1 1  11 11 1 3 2 1 1 0  0 nhưng 1  Khi a  3, a  1 thì r ( A)  4; 4 2 2 1 2 1 0  Khi a 1  r(A) 1 Bao định thức này bởi định thức cấp 3 4 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 0 0 3 1 1  Khi a  3, 1 3 1  1 3 1  1 4 0  16 Định thức cấp 4 duy nhất | B |  0 1 1 3 1 1 3 1 0 4 Vậy r(B)  3  r ( A)  3 BÀI TẬP 10/07/2017 59 10/07/2017 60 10
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2