Chương 3: hàm số nhiều biến số
Bài 1: Hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục
Bài 2: Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến số
Bài 3: Cực trị của hàm nhiều biến số
Bài 4: Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trong các bài toán
kinh tế và kỹ thuật
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 91 / 194
Bài 1. Hàm nhiều biến (2 biến), giới hạn và tính liên tục
1.1. Hàm 2 biến
Định nghĩa 1: Cho D⊂R2,D=∅. Ánh xạ
f:D→R
(x,y)7→ z=f(x,y)
được gọi là hàm 2 biến số.
⋄Tập Dgọi là tập xác định của z=f(x,y).
⋄xvà ylà các biến độc lập với nhau, hàm zphụ thuộc vào hai biến x,y.
Ví dụ 1: Cho các hàm số sau, tìm TXĐ
1.f(x,y) = √x+y+1
x−12.f(x,y) = xln(y2−x)
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 92 / 194
Định nghĩa 2: Cho hàm z=f(x;y)có TXĐ là D. Ta gọi đồ thị của
z=f(x;y)là tập tất cả các điểm (x,y,z)trong R3sao cho z=f(x,y)
với (x,y)∈D.
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị các hàm số sau
1.z=6−3x−2y(mặt phẳng)
2.z=p9−x2−y2(nửa trên mặt cầu)
3.z=1−x2−y2(mặt paraboloid)
1.2. Giới hạn và tính liên tục
Định nghĩa 3: Giả sử f(x;y)xác định trong lân cận Dcủa điểm M0(x0,y0)
(có thể trừ ra điểm M0). Ta nói hàm f(x,y)có giới hạn là Lkhi điểm M(x,y)
tiến tới điểm M0(x0,y0)và viết
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 93 / 194
lim
M→M0
f(M) = Lhoặc lim
x→x0
y→y0
f(x,y) = L
nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu (x,y)∈Dvà
p(x−x0)2+ (y−y0)2< δ thì |f(x,y)−L|< ε.
Tính chất: Các tính chất về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự như
đối với hàm một biến.
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau
1.lim
x→0
y→2
(x2+y2)2.lim
x→0
y→0
1
x2+y2
3.lim
x→0
y→0
3x2y
x2+y24.lim
x→0
y→0
x2−y2
x2+y2
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 94 / 194
Định nghĩa 4: Hàm số f(x;y)được gọi là liên tục tại điểm M0(x0,y0)nếu
lim
x→x0
y→y0
f(x,y) = f(x0,y0)
Ta nói hàm số f(x;y)là liên tục trên tập Dnếu nó liên tục tại mọi điểm
M(x,y)∈D.
Ví dụ 4: Xác định xem hàm số dưới đây là liên tục hay gián đoạn trên TXĐ
của nó?
f(x,y) =
xy
x2+y2,nếu (x,y)= (0,0)
0,nếu (x,y)=(0,0)
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 95 / 194