TOÁN CAO CẤP 2
(GIẢI TÍCH HÀM BIẾN THỰC)
PHẠM TRÍ NGUYỄN
GIẢNG VIÊN KHOA KHTN
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 1 / 194
Mục lục
1Chương I: Phép tính vi phân, tích phân của hàm một biến và ứng dụng
2Chương II: Chuỗi số, chuỗi hàm
3Chương III: Hàm số nhiều biến số
4Chương IV: Tích phân bội, tích phân đường
5Chương V: Phương trình vi phân
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 2 / 194
Chương 1: phép tính vi phân, tích phân của hàm một
biến và ứng dụng
Bài 0: Giới hạn của hàm số
Bài 1: Hàm số liên tục và hàm số ngược
Bài 2: Đạo hàm, vi phân và ứng dụng
Bài 3: Khai triển Taylor - Maclaurin
Bài 4: Một số ứng dụng của tích phân xác định
Bài 5: Tích phân suy rộng
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 3 / 194
Bài 0. Giới hạn của hàm số
0.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho Dlà một tập con của Rvà f:D→R,x7→ f(x)là hàm số xác định
trên D.
Định nghĩa 1: (Ngôn ngữ ε−δ) Ta nói rằng số Alà giới hạn của f(x)khi
xtiến tới x0, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi x∈Dmà
|x−x0|< δ thì |f(x)−A|< ε.
Ký hiệu: lim
x→x0
f(x) = A, hoặc f(x)→Akhi x→x0.
Định nghĩa 2: (Ngôn ngữ dãy) Ta nói rằng số Alà giới hạn của f(x)khi
xtiến tới x0, nếu với mọi dãy số {xn} ⊂ Dmà xn→x0khi n→ ∞ thì
f(xn)→Akhi n→ ∞.
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 4 / 194
Chú ý: Định nghĩa 1 ⇔Định nghĩa 2
Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa trên, chứng minh rằng
lim
x→1
x2−1
x−1=2.
Ví dụ 2: Sử dụng định nghĩa trên, chứng minh rằng
lim
x→x0sin x= sin x0.
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 5 / 194