TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
(DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ)
Chương 1
Ma trận và định thức
BÀI TẬP
Bài 1.1 Thực hiện các phép tính trên ma trận
a)
2 4
−4 7
0 1
−2 1 −6−1
5 4 7 10
b) 1a
0 1n
c)
1 1 1 1
1 1 −1−1
1−1 1 −1
1−1−1 1
2
d)
474
825
9−3 1
5
6
4
e) cos α−sin α
sin αcos αn
f) Cho A=
1 2 3
−101
2−1 1
B=
1−1
5 3
1 0
.
1. Tính (2A+A2)B.
2. B(2A+A2)có thực hiện được không, tại sao?
Bài 1.2 Tính x1, x2, x3, x4từ phương trình
x1x2
x3x43−2
5−4=−1 2
−5 6
Bài 1.3 Tính các định thức sau:
i
1.
3−132
5−323
7−514
1−3−5 0
,
2.
9 2 7 11
7 4 5 9
5 1 4 7
4 2 3 3
,
3.
1a a2
1b b2
1c c2
,
4.
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
.
5.
1001 1002 1003 1004
1002 1003 1001 1002
1001 1001 1001 999
1001 1000 998 999
.
Bài 1.4 Tính các định thức sau:
1.
123··· n
−1 0 3 ··· n
−1−2 0 ··· n
···
−1−2−3··· 0
.2.
3 2 2 ··· 2
2 3 2 ··· 2
2 2 3 ··· 2
···
2 2 2 ··· 3
.
Bài 1.5 Chứng minh rằng:
1.
x+y xy x2+y2
y+z yz y2+z2
z+x zx z2+x2
= (x−y)(y−z)(z−x)(xy +yz +zx),
2.
b1+c1c1+a1a1+b1
b2+c2c2+a2a2+b2
b3+c3c3+a3a3+b3
= 2
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
,
3.
a1+b1x a1x+b1c1
a2+b2x a2x+b2c2
a3+b3x a3x+b3c3
= (1 −x2)
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
,
4.
1 cos αsin α
1 cos βsin β
1 cos γsin γ
= 4 sin α−β
2sin β−γ
2sin γ−α
2,
5. Nếu các số có ba chữ số a1a2a3, b1b2b3, c1c2c3cùng chia hết cho 13 thì
định thức
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
cũng chia hết cho 13.
Bài 1.6 Tính hạng của các ma trận:
1.
121−1 0
2−1 1 3 4
2−1 2 1 −2
2−3 1 2 −2
−4 1 −3 1 8
,2.
25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
.
Bài 1.7 Tính hạng của ma trận tuỳ theo giá trị của λ:
1. A=
5−4 3 1
9λ6 3
4 1 3 2
, 2. A=
1λ−1 2
2−1λ5
1 10 −6 1
.
Bài 1.8 Tìm giá trị của mđể các ma trận sau có hạng nhỏ nhất, lớn nhất:
1. A=
3 4 2
6 8 4
9 12 m
,2. A=
1 2 1 1
2 3 2 6
1−m2−1 0 m+ 3
1 1 1 5
.
Bài 1.9 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
1. A=1 2
3 5,
2. A=
016
2−3 1
3−5 1
,
3. A=
211
0−1 1
001
,
4. A=
1 3 −5 7
0 1 2 −3
0 0 1 2
0 0 0 1
,
5. A=
1 1 1 1
1 1 −1−1
1−1 1 −1
1−1−1 1
.
Bài 1.10 Xác định giá trị của αđể ma trận Akhả nghịch, tìm ma trận
nghịch đảo của A, với:
1. A=1 sin α
sin α1,2. A=
1 cos α0
4 cos α1 0
0 0 1
.
Bài 1.11 Giải các phương trình ma trận sau:
1. X3−2
5−4=−1 2
−5 6,
2.
3 1 1
2 1 2
1 2 3
X=
6 2 −1
6 1 1
8−1 4
,
3. X
2−3 5
−1 4 −2
3−1 1
=6 14 −2
10 −19 17 ,
4. A.X.B =Ctrong đó
A=1 2
0 1;B=1 2
1 1;C=3 6
−8 3.
ĐÁP SỐ
Bài 1.1
a)
16 18 16 38
43 24 73 74
5 4 7 10
b)
4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
c)
78
72
31
d) 1na
0 1
e) cos nα −sin nα
sin nα cos nα
f)
36 2
−16 −8
22 −6
Bài 1.2 x1x3
x2x4=3−2
5−4
Bài 1.3