Bài tập Toán cao cấp A1: ThS. Trần Bảo Ngọc (Giải chi tiết)

Bài tập môn học

TOÁN CAO CẤP A1

(học kỳ 1 năm học 2014 - 2015)

Ths. Trần Bảo Ngọc. Bộ môn: Toán, Khoa: Khoa học, Trường Đại học Nông Lâm TP. Hồ Chí Minh.

Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn Điện thoại cơ quan: (+84) 83 7220 262. Địa chỉ cơ quan: Khu phố 6, phường Linh Trung, quận Thủ Đức, Tp. Hồ Chí Minh.

Bài tập 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

(cid:113) √ (cid:16) (cid:17) c. y = arcsin x a. y = arcsin log b. y = arcsin x 10 1 1 − x

1 tan x

1 x2

Bài tập 2. Tính các giới hạn sau √ (cid:19)x−1 1 − cos 2x c. lim x→∞ a. lim x→2 b. lim x→0 (cid:18) 2x + 3 2x + 8 2x − x2 x − 2 tan2 x

(cos x) e. (1 + ex) f. lim x→0 d. lim x→0 lim x→+∞ 5 sin5 x (ex − 1)5

i. lim x→1 h. lim x→0 g. lim x→0 1 + cos πx x2 − 2x + 1 esin 5x − 1 ln (1 + 2x) 2x − cos x x

(cid:19) (cid:19) − − cot x k. lim x→0 j. lim x→0 (cid:18) 1 x 1 ex − 1 (cid:18) 1 x

Bài tập 3. Tìm a để các hàm số sau liên tục (cid:16) (cid:17) − ; \ {0} ,   π 2 π 2 a. f (x) = tại x0 = 0. ln cos x x a arctan x = 0  x ∈ 1 x2 , √ (cid:16) (cid:17) 1 −   , x ∈ − ; \ {0} b. f (x) = tại x0 = 0. cos 2x x2 π 4 π 4  a + ln (1 + arctan x), x = 0

Bài tập 4. Tính đạo hàm

c. cấp 8 của y = e−2x(3x2 − 4) a. cấp 6 của y = sin2 x b. cấp 5 của y = 1 x2 + 5x + 2

f. của d. cấp 10 của y = e. cấp 8 y = ln (cid:26) x = sin3 t y = cos2 t 1 − x 1 + x 5x − 2 2x − 5

Bài tập 5. Tìm gần đúng các giá trị

a. y = (1, 03)5 b. y = arcsin (0, 51) c. y = sin 31o

d. y = ln (10, 21) e. y = tan 46o

Bài tập 6. Viết công thức Taylor của hàm a) f (x) = x4 − 5x3 + 5x2 + x + 2 ở lân cận x0 = 2. b) f (x) = x5 + 2x4 − x2 + x + 1 ở lân cận x0 = −1.

Bài tập 7. Viết khai triển MacLaurin đến x5 với phần dư Peano của hàm

a. y = tan x b. y = c. y = 1 (x + 1)(x − 2) 1 (2x − 3)(x + 1)

d. y = (1 − 2x)ex e. y = sin x + cos x f. y = ln 1 − x 1 + x

Bài tập 8. Tìm a) Toạ độ cực của điểm M (1;

(cid:19) √ 3 ; 2 trong hệ toạ độ cực. b) Toạ độ Đề-các của điểm M √ 3) trong hệ toạ độ Oxy. (cid:18) 2π 3

c) Phương trình theo toạ độ cực của đường tròn (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 trong hệ toạ độ Đề-các. c) Phương trình theo toạ độ Đề-các của đường cong r = 4 cos φ trong hệ toạ độ cực.

Bài tập 9. Tính các tích phân bất định, tích phân suy rộng sau

(cid:90) (cid:90) √ c. a. dx b. (cid:90) 4 sin3 xdx 1 + cos x dx (sin x + 2 cos x)2 2ex 2 + 2e2 + e2x

(cid:90) (cid:90) arcsin x − x √ d. dx e. f. x cos xdx (cid:90) sin2 xdx 3 + cos2 x 1 − x2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) i. (x2 + 2x)exdx g. x sin x cos2 xdx h. √ 3 xdx x + 1

(cid:90) (cid:90) √ j. l. dx k. (cid:90) cos2 xdx e2x ln xdx (x + 1)2 x 1 − 4x4

−∞

(cid:90) 1 (cid:90) +∞ (cid:90) +∞ m. n. o. dx 3 − x dx (x + 2)2 1 (1 + x)3 dx

2 , trục Ox, x = 0 và

2 cos x, y=0,

(cid:90) 2 (cid:90) 2 √ p. q. dx x ln x xdx x − 1

xung quanh trục Ox. Bài tập 10. Tính a) diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xe x x = 1. b) thể tích vật thể tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 và y = 0 xung quanh trục Ox. c) thể tích vật thể tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x x = 0 và x = π 2

, 0 ≤ x ≤ 2 xung x3 3 d) diện tích mặt tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = quanh trục Ox. √ (3 − x) x, 0 ≤ x ≤ 3. e) độ dài cung xác định bởi y = 1 3 Bài tập 11. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau

+∞ (cid:88)

3)n + n + 1 n2 + 1

n=1

n2( 1 a. b. c. (−1)n (2n + 1)2n (−1)nn n + 1

+∞ (cid:88)

n=1

(cid:19)n (cid:18) n d. (−1)n e. f. n + 1 n2 + 3 n3 + 2 1 n2 + 2n

+∞ (cid:88)

√

n=1

h. i. g. n − 1 n 3n2 − 2 n2 (2n)! 2n + 1 3n

+∞ (cid:88)