Bài tập môn Toán cao cấp 3 - Hệ Đại học chính quy

BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I





 0

 

  y

11.



2 1

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly  2 1. yx dy x

 2 xy dx



12.

 



  y

  y

 1 y y



2 2 y dx

 0

 x dy

x 2

13. 14.

  1

 



 

15.

dy dx

x  x



1    1   x 2 1   2  1 1 x

2  1   y



   1

x 2

 1 2



y    1 1  x y

   1

 y dy

xy 2

     2 



 2 x y





 0

16. 17. y 18. 

y  1

x   y x

 y  0  



  x



1 2 y    2 y



2 e dx e dy   1

 



19.

2 2 x









 1  



2 x y





   1

20.

 y

 x



x n 

y 





 

 0  y 1  x 1

10.

xy   cos 2 y cos cos e  x y

 

sin  y  y sin  x sin  1

1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 21.

2 y dx

31.

y x

   y

22.



xdy ydx    x 

 0





 x

  0

 

23.

xy  3 y x

y x

 cos ln  

  



34.



sin

 



24.

, với

 1

x y

y

y x y

 



 e

25.

y x   1 ln

 2   1





 0

26.

   y





 ln



x      y

 0   0

  x

   y 



cos



cos





y x

x   6  2 xyy  

y 2

 0



y 2  dx  dy 4  2 y  y dy

)

 0

x 2

2 x xy ) 2







(





2 x dy )

 0

y   x  22  y 0 2 (  y y   2 y dx

 27.   28.   xyy 2 29.  (3 30. 

Ngô Mạnh Tưởng

- Bài tập Phương trình vi phân

  xy   y yy dx 2 xy x 2    32.    y 1 x 2  33.  y dx x x dy dx  y y  35.      x 1 36.  4   37.  38. 2 2 x y   y 2 39. 2   xyy x y 3 2 40. 



xy 

51. 52.

thỏa mãn điều

1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. 42.   (1

   y 2  y x )

2 2 )

tan

2 sin    y 2   x y cos y kiện y(0)=0.

xy 2



thỏa mãn

arcsin



  y

53.





 0

 1 x

y điều kiện y(0) =0.  y y x sin

2 arctan  2 xy xe     1 cos    3



 1





xdy

 0

43.   y 44.  x 1 45.  sin y 46.   y 47.  2

  y dx



y y (

 1)



54.  55.  56. 

 



48.

 1

  1

2 x

3 2 x

cot y  1

57.

   y

49. 2

y    0

58.

y 3 2    x y  1 2xy y 1 2 x    y y



1  



  x

x  3

1   x y



 50. 2 1 x

 



tan

69.

x cos  2









  sin

x 2 cos

 



70.  x e 71.  x

dy 2( 1)    2 x y y x  0

xdy





y  1 2  

1.4 Giải các phương trình Becnuli 2 ln 59.    y x xy y 3 2 60.     1 x ay 3 y y 61.   2 2 y dx 2x y 62. 63. 

ydx

xdy





72.

thỏa mãn

  y

64.



(coi x = x(y))



2 x y



y x 2 y   . 

 



65.

2 x y

  y x  xy dx x  y

2 cos  0y điều kiện   2 xy  xy

3 sin



 ' 2

y x 2 x 22   x 2

66. 67. 68.

2 2 x cos 4 y  y x ( là tham số) y

  xyy y  e  x 2    1

xy y   1

73. 2 74.  75.  y x

1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần

x 2 1





ydy

 . 0

sin

cos







1 y

x y

y 2 x

y x

  

   82.

2 2 x y dy



cos



sin







76. 77.  78.

 0

y x

x 2 y

x y

1 x



2 x ln  3  . 0



e ydy 2

   cos

   sin

sin





cos



83.

 x y

 1

1 2 y 

x    2 2

 x dy

2 y dx  cos

 0  x y

 1





x y

79. e 80.  81. 

 x y  y sin x  dx

 y dx  3 xy dx  3  2 y dx  x dy sin   2  x y dx







thỏa mãn

x y

  

  

   

 84.    điều kiện y(0) = 2.

Ngô Mạnh Tưởng

- Bài tập Phương trình vi phân

cos  3 x dy



cos 2

 y dx



 0

85. 

3  21





 92.



2 sin 2







y 







2 2 y

x sin

xy  1 cos 2sin

   2 x

   





ydx

xdy



(thừa

x y 



 a x x dx

93. 



 x e

cos

 0



sin



 cos



sin

 0

 86.   87.  88. 

    y dx sin   y dx

 y dy  y dy

cos

sin



cos



94. 

 y dy



 y dx

 số tích phân) x   y y sin .(thừa số tích phân)

89.

23 (1 ln )  x

y dx





x y

  

số 2

cos

xdy

sin 2

để là vi phân

hằng   x dx ay



2 sin 2

   y x

   90.



cos 2



    x dy

2 2 x 

sin 2

xdy

cos

trình   x dx ay



ln 





95. Tìm   1 toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải phân phương   với a  y 1 tìm được.

  1 cos 2sin

x sin

 91.  

  

1 'y

1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. 97.

y .

  1 e y .y 2 

3' 



2   y x   y

, coi x là hàm, y là biến.  y

cos

98. 99.

e  1











104.

22  y



 . 1



sin 2 y y



1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100. .  y 3 101. 

 xy 2



 '

3 '

105.





102.



xy  2 y x y  y   y

 1 2  y ln



112.

2   2  

103. Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 106. 107.





113.





 1

 y 1 x

1 2 x



 y y

2 y y





114.

yy x

khi khi

y  y

y y

 . 0  . 0



x x   1 0





115. 116.

 1 x y    thoả mãn các điều  y y 1 4 kiện ban đầu:  2 0 ,   0,  1  2 2  y

a) b) 108.  1 109.





  y y



110.

   1y   1

 y  2  2 











  y e y    y  1y y  2 1    y 2    y xy y   1x



 y



111.

dạng

thuần



  ay

117. 118. 2 119.  120.

 1 2  x y 2  sin

nhất,



y y

121.

  y

Ngô Mạnh Tưởng

- Bài tập Phương trình vi phân

  y cos y  y y  y



 y

 x

124.

 xy 2y 

  y   yy



 yy

122. 123.

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125.

, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần

2 x y

cos

 

 y nhất tương ứng là y1 = x2





biết một nghiệm riêng của phương

126. Giải phương trình



  y

2 x

cot gx x



trình vi phân thuần nhất tương ứng

y 1

sin x x





biết một nghiệm

 



 1

y 1

1 x

x 2





 0y2

nếu biết một nghiệm của nó có

127. Giải phương trình vi phân: 128. Giải phương trình vi phân 

  y1

dạng đa thức.











 biết nó có hai

129. Giải phương trình vi phân 



 1

 1 x





nghiệm riêng



y 1

4 2

130. Xác định hằng số  sao cho

là nghiệm riêng của phương trình vi

 2 2x e

phân   y 4











cot

 131. Giải phương trình

biết một nghiệm riêng của phương



trình vi phân thuần nhất tương ứng

y 1

x sin x x

 

2 x y

  ' y

132. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương

trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x

 



133. Giải phương trình

 '

 

  x

134. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của

' y x 

1 

e

y 1

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 2





  , biết một nghiệm riêng có dạng '

135. Giải phương trình



 1

x  ,

là hằng số.

 xy   4 2 x y 0  . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

 x y





136. Tìm nghiệm riêng của phương trình  y 0,



e

  ' 2 1

thỏa mãn

  1



 ' 2





  , biết nó có hai nghiệm

  , biết một nghiệm riêng của nó là  1



    2 2 x x y x  y  0



riêng là

 x

  1 y 137. Giải phương trình   y 1

y 21,

 



138. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương

2 2

x 

x trình vi phân thuần nhất tương ứng là







 ' 8

 , biết một nghiệm riêng có

1 2  1 y  1 1  y 2

 1



dạng

139. Giải phương trình  ,ax e 

 

Ngô Mạnh Tưởng

- Bài tập Phương trình vi phân

' 

  

140. Tìm nghiệm riêng của phương trình

thỏa mãn

2 2

x 



22,



2000

x

  3

 ' 1005



cos

 



' 2 

141. Giải phương trình

2 x x y phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là

x

2 2 1  , biết một nghiệm riêng của nó là 1y , biết một nghiệm riêng của 1y





 ' 2

 , biết một nghiệm riêng của

142. Giải phương trình  1

2

x

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là

, biết một nghiệm riêng của

143. Giải phương trình

 

' 



2  x

2 

x x

x

1y 1  1 x phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y

144. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương trình

 

y   '

2 x

vi phân thuần nhất tương ứng là



y 1

xe 2 x xe x

145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân  

biết rằng nó có hai nghiệm riêng

 1 x 2 ,





  4 12 xy    3 2 x x y



 y 1

y 2

6 xy 2 1

 1

 4 2

 1

y y

 . 0

160. 









161.

 2sin ln



 4





 .   y 12 y 0 13      2   y y y 18 9   4 y  .   y   6

    5

  7

 x 2   x  y  8 y   8 x  4

1 2 x    1

 x y

 4cos ln 1





3  y  y 4

y  x cos

y y



  . y 0   4  . 0 x 2

  y   y  x

1 x  162.  1  x 2  x y

163.





2  y 2sin

y y



 cos



164.

 x 3







2 x e y



  4  2 y  x xy



165.

x 3 2  e . 4cos  x .  nx sin x x sin sin 2

3  y    y 2   3 y     y 2   n y    y

y y

e  e

2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146.  y 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155.



 y   y

có nghiệm riêng

156.

 



2 x e





   sin  1x  e   x  y





166. 167.

e

 0

y x

 1x  cos

168. y 169. 2

   y

170.

0x 

x  2 4

 

171.

 x e   y cos x sin  x   29 sin   y y 5 x 1 sin  

 2 x e

py  0,

 giới nội q  q











  y

cos

172.

158.







xy  y  y





157. Với những giá trị nào của p và q thì tất cả các nghiệm của phương trình. y     p p q  thì tất cả các nghiệm của ? ,   là phương trình   y 0 những hàm tuần hoàn của x  2 x y

 y 2







159.

xe x  xy 2  y     y x tan y     y y 5 2  

173. 174. 175. 176.

x y )

2(1





e 2  0 x cos x x sin 3 2)