1
HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
KHOA CƠ BẢN - BỘ MÔN TOÁN
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN I
CHỦ ĐỀ 1: KHÔNG GIAN VÉC TƠ ℝ𝒏
Bài 1.1. Trong không gian
4,
cho các véc tơ:
2,1,3,0 ; 1, 2,0, 1 ; 1,2, 1,4 ; 4, 5,1,3 A B C D
.
Tính
2 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 2 , .A B A B A B C B D A B C
Bài 1.2 . Trong không gian
4
cho hệ véc tơ:
1 2 3
1,3,0, 1 ; 1,2, 1,2 ; 3,1,1,2A A A
.
Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau:
a)
1 2 3
2; 1; 3;
b)
.
Bài 1.3. Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ
X
qua hệ véc tơ
1 2 3
,,A A A
, trong các trường
hợp sau:
a)
1 2 3
3, 2 ; 0, 1 ; 2,1 ; 1,4A A A X
.
b)
1 2 3
1,0,2 ; 2, 1,0 ; 1,1,3 ; 3,1, 1A A A X
.
c)
1 2 3
1, 1,0 ; 2,3, 1 ; 0,5, 1 ; 2,1,5A A A X
.
Bài 1.4. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc
tơ sau:
a)
1 2 3
3, 2 ; 1,4 ; 2, 1 .A A A
b)
1 2 3
1, 1,2 ; 3,0,1 ; 2, 1,4 .A A A
c)
1 2 3
0, 2,1 ; 2,1, 3 ; 6, 1, 7 .A A A
Bài 1.5. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?
a)
12
2, 5 ; 1,4AA
, không gian
2.
b)
1 2 3
0, 1,1 ; 2,1, 1 ; 4, 1,1A A A
, không gian
3.
c)
1 2 3
1, 1,2 ; 0,2,3 ; 1,3, 1A A A
, không gian
3.
2
Bài 1.6. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn
lại qua cơ sở của hệ véc tơ:
a)
1 2 3 4
1, 3 ; 5,2 ; 1,0 ; 2,1 .A A A A
b)
1 2 3 4
2,1, 1 ; 1,0,2 ; 0,1,3 ; 1, 2, 4 .A A A A
Bài 1.7. Cho hệ véc tơ
1 2 3 4
1,1,2 ; 1,2,0 ; 1,0,0 ; 3,4,4 .S A A A A
Chứng
minh hệ
1 1 2 3
,,S A A A
là một cơ sở của
S
. Hãy chỉ ra một cơ sở
2
S
của
S
khác
1.S
Bài 1.8. Cho ví dụ một cơ sở (khác cơ sở chính tắc) của không gian véc tơ
3
và tìm tọa
độ của véc tơ
2, 1,3X
qua cơ sở đó.
Bài 1.9. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:
12345
1 2 1 3 3
2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 0 ,
1 1 2 2 1
A A A A A
trong đó
j
A
là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
a) Chứng minh rằng, hệ
2 4 5
,,B A A A
là một hệ độc lập tuyến tính.
b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ
B
và nêu ý nghĩa kinh tế của
biểu diễn tuyến tính đó.
c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60,
20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
Bài 1.10*. Trong không gian
3,
cho hai hệ véc tơ:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,,
,,
,,
A x x x
S B y y y
C z z z

và
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
, , ,
, , ,
, , ,
A x x x x
S B y y y y
C z z z z


Chứng minh rằng, nếu hệ
S
độc lập tuyến tính thì hệ
S
cũng độc lập tuyến tính và nếu
hệ
S
phụ thuộc tuyến tính thì hệ
S
cũng phụ thuộc tuyến tính.
Bài 1.11*. Cho
,AB
là các véc tơ trong không gian
n
. Sử dụng định nghĩa chứng minh
rằng:
a) Các hệ véc tơ
,AB
và
,A B A B
cùng độc lập tuyến tính hoặc cùng phụ thuộc
tuyến tính.
b)
, , , .h A B h A B A B
3
Bài 1.12*. Trong không gian
n
, cho hệ véc tơ
, , ,S A B C X
. Chứng minh rằng nếu
S
độc lập tuyến tính thì hệ
,,A X B X C X
cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có
đúng không?
Bài 1.13*. Cho các vec tơ
,, n
A B C
. Chứng minh rằng:
a) Nếu hệ véc tơ
,AB
phụ thuộc tuyến tính và
C
biểu thị tuyến tính qua
,AB
thì:
, , ,h A B h A B C
.
b) Nếu hệ véc tơ
,AB
độc lập tuyến tính và
2 3 0n
A B C
thì các véc tơ
,,A B C
đều
khác véc tơ
0.
n
c) Nếu
,h A B h A
thì
B
được biểu thị tuyến tính qua
.A
Bài 1.14*. Cho các véc tơ
, , , n
A B C D
, biết rằng
n
A B C D O
và hệ
,,A B C
độc
lập tuyến tính. Chứng minh rằng các hệ con
, , ; , ,A C D B C D
đều là cơ sở của
, , ,A B C D
Bài 1.15*. Cho
, 1,3
i
Fi
là các vec tơ trong không gian
3
có các thành phần thứ
i
tương ứng bằng
1,
i
các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ
, 1,3
i
Fi
là một cơ
sở của
3
và tìm biểu diễn tuyến tính của vec tơ bất kì
3
X
qua cơ sở đó.
4
CHỦ ĐỀ 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
Bài 2.1. Cho hai ma trận:
2 1 3 1 3 4
1 0 2 2 1 2
;.AB


a) Tính
2 3 3 5; ; ; .A B A B A B A B
b) Tìm các ma trận X,Y biết rằng:
3 2 2 3 5;.A X B A B Y Y A B
Bài 2.2. Cho các ma trận:
2 1 1 1 1
2 1 3 3 1 2 3 0
1 0 2 2 3 1 2 4
; ; .A B C



a) Tính
22; ( ); .
T
AC C B A B C
b) Tìm ma trận X biết rằng:
12
20
T
x
X A B
Bài 2.3. Cho ví dụ về các ma trận
,AB
thỏa mãn:
a) Tồn tại
AB
nhưng không tồn tại
.BA
b) Tồn tại
AB
, tồn tại
BA
nhưng
AB BA
.
c) Tồn tại
AB
, tồn tại
BA
và
.AB BA
Bài 2.4. Tính định thức của các ma trận sau:
a)
32
15 ;



b)
1 0 3
2 2 1
2 4 1
;





c)
3 2 1 1
2 0 1 1
1 1 2 3
1 1 3 1







Bài 2.5. Sử dụng các tính chất của định thức, hãy giải thích tại sao các định thức sau có
giá trị bằng 0?
a)
1 3 0
1 5 0
1 3 0
;
b)
2 1 1
0 0 0
3 5 4
;
c)
2 3 1
1 0 1
3 5 2
;
d)
1 3 1
1 0 2
1 3 3
;
e)
2 1 1 1
0 3 2 1
2 1 1 1
3 5 4 2
.
5
Bài 2.6. Giải các phương trình sau:
a)
11
0
13 ;
x
x

b)
12 21
3 1 1 13
5 1 1
x
x

.
Bài 2.7. Tìm
để mỗi ma trận sau không suy biến:
a)
32
5;



b)
13
02
3 1 2
.




Bài 2.8. Cho các ma trận:
2 1 1
1 3 0
2 1 2
A




;
2 1 1
0 1 3
B


;
11
21
03
.C





Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch
đảo:
a)
.AX C
b)
.
T
XA C B
Bài 2.9. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a)
1 2 3
0 3 1 5 3 1 1 2 0, , ; , , ; , ,A A A
.
b)
1 2 3
0 1 2 3 3 2 3 0 5 3 4 3, , , ; , , , ; , , ,A A A
.
c)
1 2 3 4
2 1 3 0 0 3 1 1 2 1 1 0 2 2 0 4 1 1 4 2, , , , ; , , , , ; , , , , ; , , , ,A A A A
.
d)
1 2 3 4 5
3 5 1 7 1 3 3 5 3 2 5 1 2 3 0 4 5 4 7 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A
.
Bài 2.10. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị
tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với mỗi hệ véc tơ sau:
a)
1 2 3
2 1 4 3 6 5 9 3 7, , ; , , ; , , .A A A
b)
1 2 3 4 5
1 2 1 0 1 2 1 4 1 1 4 3 1 5 1, , ; , , ; , , ; , , ; , , .A A A A A
c)
1 2 3
2 1 0 2 1 2 1 3 1 4 3 5, , , ; , , , ; , , , .A A A
d)
1 2 3 4 5
2 7 1 4 3 2 0 1 5 1 1 5 3 8 2 3 3 1 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A
.