1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
TS PHÙNG DUY QUANG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH
KINH TẾ
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2016
2
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1.1. Tính các định thức sau
a)
2010
b)
128
75
c)
31
69
d)
1382
531
324
e)
142
423
501
f)
593
132
302
g)
132
311
324
h)
123
112
235
Bài 1.2. Tính các định thức sau
a)
6434
1323
3412
2301
b)
4562
1543
1322
2301
c)
50814
31034
20213
45321
04312
d)
25534
11342
21123
10312
13201
Bài 1.3. Chứng minh rằng định thức : D =
071
781
982
chia hết cho 17.
Bài 1.4. Chứng minh rằng định thức D =
564
521
092
chia hết cho 19.
Bài 1.5. Chứng minh các đồng nhất thức sau:
3
a)
22222
11111
cybxaba
cybxaba
cbyaxba
=
222
111
cba
cba
cba
b)
))()((
1
1
1
bcacab
abc
cab
bca
c)
))()()((
111
333
bcacabcba
cba
cba
d)
2
2
2
1
1
1
1
1
1
cc
bb
aa
abc
cab
bca
Bài 1.6. Trong các định thức cấp n, xác định dấu của
a) Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
b) Tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ
Bài 1.7. Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a) Đổi dấu tất cả các phần tử của nó
b) Viết các cột theo thứ tự ngược lại
Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp 3 chỉ nhận các phần tử là
a) 0 và 1 b) 1 và -1
Bài 1.9. Giải phương trình sau
18329
2223
4321
223
2
xxx
= 0
Bài 1.10. 1) Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng:
a) A =
240
321
; B =
14
32
10
b) A =
110
121
201
; B =
0123
1212
2201
4
2) Tính
a)
n
xcosxsin
xsinxcos
b)
n
30
14
c)
100
a00
1a0
01a
Bài 1.11. Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa là AB = BA, biết:
a) A =
43
21
b) A =
11
11
Bài 1.12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
a)
43
21
b)
dc
ba
c)
132
313
201
d)
501
123
312
e)
1241
2131
3224
0312
f)
1000
3200
6420
3101
Bài 1.13. Giải các phương trình A
X = B, biết:
a) A =
43
32
; B =
87
65
b) A =
34
45
; B =
32
21
c) A =
93
31
; B =
21
34
d)
10...00
21...00
.......
1n2n...10
n1n...21
B;
10...00
11...00
.......
11...10
11...11
A
Bài 1.14. a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện:
02010
2
EAA
. Tìm ma trận
nghịch đảo A
-1
của A (nếu tồn tại) (E là ma trận đơn vị).
5
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có
.1n)A(r
Tìm r(
A
)
Bài 1.15. Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
752
242
130
312
; B =
0412
3221
4102
1321
; C =
2424
1533
1212
0321
;
D =
10268
4442
2113
3221
1312
; E =
13431
23213
40321
; F =
7642
81061
3102
4321
Bài 1.16. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
16101
5m12
21m1
Bài 1.17. a) Chứng minh rằng, ma trận
dc
ba
A
thoả mãn:
0bcadX)da(X
2
b) Giả sử A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên lớn hơn 2. Chứng minh rằng A
k
= 0
khi và chỉ khi A
2
= 0.
Bài 1.18. a) Giả sử A
k
= 0 (k là số nguyên lớn hơn 2). Chứng minh rằng
(E – A)
-1
= E + A + A
2
+ … + A
k -1
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các
phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng
1n)A(r
Bài 1.19. a) Cho A là ma trận vuông cấp n có A
-1
= 3A. Tính det(A
2009
– A)
b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E.
Bài 1.20. Tính các định thức cấp n sau