TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN - TIN HỌC
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
(Tài liệu dành cho sinh viên Khoa Toán - Tin học)
Nguyễn Thành Nhân
Thành Phố Hồ Chí Minh, Năm 2025
Mục lục
Giới thiệu môn học 4
1 Không gian Rn6
1.1 ChuẩnEuclid ......................... 6
1.2 Tậpmởvàtậpđóng ..................... 8
1.3 Sự hội tụ trong không gian Rn................ 12
BàitậpChương1.......................... 15
2 Giới hạn của hàm nhiều biến 17
2.1 Định nghĩa và định lý giới hạn qua dãy . . . . . . . . . . . 17
2.2 Nguyên lý kẹp để tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . 24
BàitậpChương2.......................... 27
3 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 30
3.1 Sự khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Đạo hàm riêng bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Định nghĩa sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Điều kiện cần cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4 Điều kiện đủ cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Một số định lý về sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Đạo hàm của tổng, tích, thương . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Đạo hàm riêng bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Định nghĩa đạo hàm riêng bậc cao . . . . . . . . . 40
3.3.2 Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . 42
BàitậpChương3.......................... 45
1
Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến
4 Cực trị của hàm nhiều biến 50
4.1 Cực trị địa phương không điều kiện . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 Định nghĩa và định lý điều kiện cần . . . . . . . . . 50
4.1.2 Ý tưởng xây dựng định lý điều kiện đủ . . . . . . . 51
4.1.3 Một số kết quả về dạng toàn phương . . . . . . . . 54
4.1.4 Định lý điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Cực trị địa phương có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Định nghĩa và định lý điều kiện cần . . . . . . . . . 59
4.2.2 Định lý điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Bài toán cực trị toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . 63
BàitậpChương4.......................... 66
5 Tích phân bội 68
5.1 Định nghĩa tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng . . . . . . . . . 68
5.1.2 Tích phân trên miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội . . . . . . . . . . 73
5.2.1 Định nghĩa tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 Phương pháp tính tích phân bội cơ bản . . . . . . . 75
5.3 Đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.1 Phép đổi biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 80
BàitậpChương5.......................... 81
6 Tích phân đường 86
6.1 Đường cong trong Rn..................... 86
6.1.1 Địnhnghĩa ...................... 86
6.1.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.1 Địnhnghĩa ...................... 88
6.2.2 Tínhchất ....................... 89
6.3 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.2 Tích phân trên đường cong kín . . . . . . . . . . . 91
6.3.3 Định lý bốn mệnh đề tương đương . . . . . . . . . 94
BàitậpChương6.......................... 96
2
Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến
7 Tích phân mặt 99
7.1 Mặt cong trong R3...................... 99
7.1.1 Địnhnghĩa ...................... 99
7.1.2 Mặt tiếp tuyến và pháp tuyến . . . . . . . . . . . . 100
7.1.3 Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2.1 Địnhnghĩa ...................... 102
7.2.2 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.1 Mặt cong định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . 103
7.3.3 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.4 Định lý Gauss - Ostrogradski . . . . . . . . . . . . 105
7.3.5 Định lý Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
BàitậpChương7.......................... 106
Một số đề thi tham khảo 107
Đềthinăm2017 .......................... 107
Đềthinăm2018 .......................... 109
Đềthinăm2019 .......................... 111
Đềthinăm2020 .......................... 113
Đềthinăm2021 .......................... 115
Đềthinăm2022 .......................... 117
Đềthinăm2023 .......................... 119
Tài liệu tham khảo 123
3
Giới thiệu môn học
Học phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắt
buộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinh
viên đã học xong các học phần Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một
biến. Nội dung của học phần là sự nối tiếp các kiến thức sinh viên đã được
hướng dẫn trong học phần Giải tích hàm một biến, với mục tiêu cho sinh
viên ngành Toán tiếp cận một số kiến thức nền tảng về phép tính vi phân
và phép tính tích phân cho các hàm nhiều biến.
Trong quá trình xây dựng và chứng minh các kết quả đối với hàm nhiều
biến, một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm một biến sẽ được
kế thừa và áp dụng thường xuyên. Do đó, để học tốt học phần này, sinh
viên cần nắm vững các kiến thức về giải tích hàm một biến, bao gồm: các
phương pháp tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một biến, khảo sát
tính liên tục và sự khả vi của hàm một biến, các định lý giá trị trung bình
(Định lý Lagrange), công thức khai triển Taylor, phương pháp tìm cực trị
của hàm một biến, định nghĩa tích phân Riemann cho hàm một biến và
các phương pháp tính tích phân của hàm một biến.
Nội dung bài giảng này được thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán -
Tin học, bao gồm 7 chương.
Chương 1 giới thiệu một số định nghĩa cơ bản trong không gian Rn
bao gồm chuẩn, tích vô hướng và một số khái niệm tôpô cơ bản trong
Rn. Bên cạnh đó, chương này còn trình bày định nghĩa về sự hội tụ
trong không gian Rn, làm cơ sở cho các kiến thức về giới hạn và sự
khả vi cho hàm nhiều biến ở các chương sau.
Chương 2 định nghĩa về giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.
Trọng tâm của chương này hướng đến các phương pháp để tính giới
hạn bằng cách sử dụng định lý giới hạn qua dãy và nguyên lý kẹp, từ
đó khảo sát sự liên tục của hàm nhiều biến. Các phương pháp này sẽ
4