TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
———————– Học phần: Đại số tuyến tính
ĐỀ THI SỐ 1 Mã học phần: 801401 (DTO1201)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Học kì 1 Năm học: 2020-2021
Trình độ đào tạo: Đại học Hình thức đào tạo: Chính quy
Họ tên sinh viên:........................................................ Mã số sinh viên:.......................................
Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
Câu 1. (1,0 điểm) Cho f:V→Wlà một ánh xạ K-tuyến tính, S={v1, . . . , vk}là một tập phụ
thuộc tuyến tính trong V. Chứng minh rằng f(S) = {f(v1), . . . , f(vk)}là tập phụ thuộc tuyến trong
W.
Câu 2. (2,0 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính
x1−2x2+ 3x3= 2
2x1−3x2+ax3=−1
3x1−5x2+ 4x3=b
.(1)
a) Giải hệ (1) khi a= 1 và b= 1;
b) Tìm avà bđể hệ (1) có nghiệm.
Câu 3. (2,0 điểm) Cho H={(a, b, c, d) : a−2b= 0; b−c+ 2d= 0} ⊂ R4.
a) Chứng minh rằng Hlà một không gian con của không gian véctơ R4;
b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của Hđối với tích vô hướng thông thường trong R4.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho ánh xạ f:R3[x]→R3[x]xác định bởi
f(a+bx +cx2+dx3)=(a+ 2b)+(b−c)x+ (a−2c)x2+ (2c+d)x3.
a) Chứng minh rằng flà ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận của fđối với cơ sở
1,1 + x, 1 + x+x2,1 + x+x2+x3.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho ma trận A=
222
2−1−4
2−4−1
.
Tìm ma trận trực giao Qvà ma trận chéo Dsao cho D=QTAQ.
Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian véctơ thực 3-chiều Vvới một cơ sở đã chọn B= (u1, u2, u3),
cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ như sau:
H(u) = x2
1+ 5x2
2−x2
3−2x1x2−12x2x3+ 4x1x3.
Tìm cơ sở Ccủa Vđể biểu thức tọa độ của Hđối với Ccó dạng chính tắc.
HẾT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
———————– Học phần: Đại số tuyến tính
ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 1 Mã học phần: 801401 (DTO1201)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Học kì 1 Năm học: 2020-2021
Trình độ đào tạo: Đại học Hình thức đào tạo: Chính quy
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1Sphụ thuộc tuyến tính suy ra tồn tại αi6= 0 sao cho α1v1+···+αivi+···+
αkvk= 0.0,5
Suy ra 0 = α1f(v1) + ··· +αif(vi) + ··· +αkf(vk)suy ra f(S)pttt. 0,5
Tổng điểm câu 1 1,0
2a Khi a= 1 và b= 1, ma trận đầy đủ của hệ là A∗=
1−2 3 2
2−3 1 −1
3−5 4 1
0,25
A∗∼
1 0 −7−8
0 1 −5−5
0 0 0 0
0,5
Nghiệm của hệ là (7x3−8,5x3−5, x3), x3∈R0,25
bA∗=
1−2 3 2
2−3a−1
3−5 4 b
∼
1 0 −9+2a−8
0 1 −6 + a−5
0 0 1 −a−1 + b
0,75
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi a6= 1 hoặc a= 1 và b= 1. 0,25
Tổng điểm câu 2 2,0
3a Chứng minh Hkhác rỗng. 0,25
Chứng minh Hbảo toàn các phép toán
(hoặc có thể chứng minh bằng cách khác). 0,75
b Chứng minh được hệ véc tơ ((2,1,1,0) ,(−4,−2,0,1)) là một cơ sở của H
(hoặc một cơ sở khác) 0,5
Tìm được cơ sở trực chuẩn
(2/√6,1/√6,1/√6,0),(−2/√39,−1/√39,5/√39,1/√39)
(hoặc một cơ sở trực chuẩn khác) của H.
0,5
Tổng điểm câu 3 2,0
4a Chứng minh được ftương thích với phép cộng. 0,5
Chứng minh được ftương thích với phép nhân. 0,5
f(1) = 1 + x2có tọa độ là (1,−1,1,0)
f(1 + x) = 3 + x+x2có tọa độ là (2,0,1,0)
f(1 + x+x2)=3−x2+ 2x3có tọa độ là (3,1,−3,2)
f(1 + x+x2+x3) = 3 −x2+ 3x3có tọa độ là (4,1,−4,3)
0,75
Suy ra ma trận của flà:
1 2 3 4
−1 0 1 1
1 1 −3−4
0 0 2 3
.0,25
Tổng điểm câu 4 2,0
5Đa thức đặc trưng của Alà PA(x) = −(x+ 6)(x−3)2suy ra Acó hai giá trị
riêng λ=−6và λ= 3.1.0
Với λ= 3, không gian riêng E3có một cơ sở ((2,0,1),(2,1,0)) 0,25
1
Trực chuẩn hóa: {e1= (2/√5,0,1/√5); e2= (2/3√5,5/3√5,−4/3√5)}
là một cơ sở trực chuẩn của E3
0,25
Với λ=−6,{e3= (1/3,−2/3,−2/3)}là một cơ sở trực chuẩn của E−60,25
D=
3 0 0
0 3 0
0 0 −6
;Q=
2/√5 2/3√5 1/3
0 5/3√5−2/3
1/√5−4/3√5−2/3
.
0,25
Tổng điểm câu 5 2,0
6H(u) = (x1−x2+ 2x3)2+ 4(x2−x3)2−9x2
30,25
Đặt X1=x1−x2+ 2x3;X2=x2−x3;X3=x30,25
Dạng chính tắc của dạng toàn phương Hlà X2
1+ 4X2
2−9X2
30,25
Cơ sở C= (u1,−u1+u2, u1+u2+u3). 0,25
Tổng điểm câu 6 1,0
Ghi chú: Sinh viên có thể trình bày cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
2