TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
———————– Học phần: Đại số tuyến tính
ĐỀ THI Mã học phần: 801401
Học kì: 1...................................................................... Năm học: 2021-2022................................
Trình độ đào tạo: Đại học ........................................... Hình thức đào tạo: Chính quy ..................
Họ tên sinh viên:........................................................ Mã số sinh viên:......................................
Chú ý: Đề thi có 25 câu, 3 trang. Sinh viên phải trình bày lời giải chi tiết cho từng câu.
Các ma trận sau đây được sử dụng chung cho các câu từ Câu 1 đến Câu 3.
A=
1−2 1
3−4 2
2 1 −3
;B=
1 3
2−4
3 2
;C=4−2 5
3 7 2 .
Câu 1 (0,25 điểm).Tính 7B−kCT, với k∈R.
Câu 2 (0,25 điểm).Tính ABC.
Câu 3 (0,5 điểm).Tìm ma trận Xthỏa mãn XA =C.
Các ma trận sau đây được dùng chung cho các câu từ Câu 4 đến Câu 6.
D=
1 2 −1 3
2−3 1 −4
2 4 −2 7
−321−3
;E=
(2a+b)2ab 4a2+b2
(2b+c)2bc 4b2+c2
(2c+a)2ca 4c2+a2
;F=
1 3 x
3−2 1
x−1 1
.
Câu 4 (0,25 điểm).Tính det D.
Câu 5 (0,25 điểm).Tính det E, với a, b, c ∈R.
Câu 6 (0,5 điểm).Tìm tất cả các giá trị của xsao cho det F= 22.
Câu 7 (0,25 điểm).Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
x+ 3y−2z−t= 4
2x+ 3y+ 2z+ 4t= 2
x+y+ 2z+ 3t= 0
.
Câu 8 (0,5 điểm).Tìm tất cả các giá trị của các tham số a, b để hệ phương trình tuyến tính sau có
nghiệm:
x1−2x2+ 3x3= 2
2x1−3x2+ax3=−1
3x1−5x2+ 4x3=b
.
Câu 9 (0,25 điểm).Cho hệ phương trình tuyến tính:
−2x+ 2z−t=−1
2x−y−2z+t= 0
x−y−z=−1
2x−2y+t= 1
.
Chứng minh rằng hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Gọi (a, b, c, d)là nghiệm duy nhất của hệ. Tính
a−b−c.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1/3
Câu 10 (0,25 điểm).Chứng minh rằng H={(a, b, c, d) : a−2b= 0; b−c+ 2d= 0} ⊂ R4là một
không gian con của không gian véctơ R4.
Câu 11 (0,5 điểm).Trong không gian véctơ M(2 ×2,R), cho tập hợp
W= a+ 2b−b−c
a−2c2c+d:a, b, c, d ∈R.
Chứng minh rằng Wlà một không gian con của không gian véctơ M(2 ×2,R). Tìm một cơ sở và
số chiều của W.
Dữ liệu sau đây được dùng chung cho các câu từ Câu 12 đến Câu 14.
Trong không gian R2[x], cho các đa thức:
p1=−1+2x2;p2= 1 −2x+x2;p3=−2 + x+x2;
q1= 1 + 2x+x2;q2= 2 −x+ 2x2;q3= 2 + x−3x2.
Câu 12 (0,25 điểm).Chứng minh rằng P= (p1, p2, p3)và Q= (q1, q2, q3)là các cơ sở của không
gian véctơ R2[x].
Câu 13 (0,5 điểm).Tìm ma trận chuyển từ cơ sở Psang cơ sở Q(được cho trong Câu 12).
Câu 14 (0,5 điểm).Cho đa thức q∈R2[x]có tọa độ đối với cơ sở Plà (1,−2,1). Tính tọa độ của q
đối với cơ sở Q. (Sinh viên có thể dùng kết quả của Câu 13 để làm câu này.)
Câu 15 (0,5 điểm).Cho ánh xạ f:M(2 ×2,R)→R3xác định bởi
fa b
c d= (a+b−c, c + 2d, a +b+ 2d).
Chứng minh rằng flà một ánh xạ tuyến tính. Tìm một cơ sở và số chiều của Kerf.
Câu 16 (0,5 điểm).Cho ánh xạ f:R4→R3[x]xác định bởi
f(a, b, c, d)=(a+ 2b)−(b+c)x+ (a−2c)x2+ (2c+d)x3.
Chứng minh rằng flà một ánh xạ tuyến tính. Tìm một cơ sở và số chiều của Imf.
Câu 17 (0,5 điểm).Trong R3[x], cho các véctơ
u1= 1 + x+x2, u2= 1 + x+x3, u3= 1 + x2+x3, u4=x+x2+x3;
trong không gian M(2 ×2,R), cho các véctơ
v1=1−2
2−1, v2=2−1
2−2, v3=−1 1
0−1, v4=1 2
1 2.
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f:R3[x]→M(2 ×2,R)thỏa mãn
f(ui) = vi,1≤i≤4. Tính ảnh của x3qua f.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 2/3
Câu 18 (0,5 điểm).Cho ánh xạ tuyến tính f:R3[x]→R3[x]xác định bởi
f(a+bx +cx2+dx3)=(a+ 2b)+(b−c)x+ (a−2c)x2+ (2c+d)x3.
Tìm ma trận của fđối với cơ sở
1,1 + x, 1 + x+x2,1 + x+x2+x3.
Tìm r(f). Đồng cấu fcó phải là đẳng cấu không?
Các ma trận sau đây được dùng chung cho các câu từ Câu 19 đến Câu 22.
A=
2 2 −2
−2−3 4
−2−4 5
;B=
121
2−2−2
−365
;C=
222
2−1−4
2−4−1
.
Câu 19 (0,25 điểm).Chứng minh rằng u=
1
−2
−2
là một véctơ riêng của A. Tính A2021u.
Câu 20 (0,25 điểm).Chứng minh rằng λ= 1 là một giá trị riêng của A. Tìm một cơ sở của không
gian riêng của Aứng giá trị riêng λ= 1.
Câu 21 (0,5 điểm).Tìm tất cả các giá trị riêng thực và các véctơ riêng tương ứng của ma trận B.
Câu 22 (1,0 điểm).Tìm ma trận trực giao Qvà ma trận chéo Dsao cho D=QTCQ.
Câu 23 (0,25 điểm).Trong không gian véctơ thực 3-chiều Vvới một cơ sở đã chọn, cho dạng song
tuyến tính fcó biểu thức tọa độ xác định bởi:
f(u, v) = x1y1+ 5x2y2−x3y3−x1y2−x2y1−6x2y3−6x3y2+ 2x1y3+ 2x3y1.
Chứng tỏ rằng flà một dạng song tuyến tính đối xứng. Xác định dạng toàn phương Htương ứng
với dạng song tuyến tính đối xứng f.
Câu 24 (0,25 điểm).Trong không gian R3, với cơ sở đã chọn, cho dạng toàn phương Hcó biểu thức
tọa độ như sau:
H(u) = x2
1+ 5x2
2+ 6x2
3+ 4x1x2−8x2x3−2x1x3.
Xác định ma trận của dạng toàn phương H. Chứng tỏ rằng Hlà dạng toàn phương xác định dương.
Câu 25 (0,5 điểm).Trong không gian véctơ thực R3, cho cơ sở B= ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)) và
cho dạng toàn phương Hcó biểu thức tọa độ đối với cơ sở Blà
H(u) = x2
1+ 5x2
2−x2
3−2x1x2−12x2x3+ 4x1x3.
Tìm cơ sở Ccủa R3sao cho biểu thức tọa độ của Hđối với Ccó dạng chính tắc.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3/3