1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỌC KỲ 1, NĂM HỌC 2022 - 2023
Tên học phần: Giải tích 1
Mã học phần: PHY1107 Số tín chỉ: 3 Đề số: 1
Dành cho sinh viên lớp học phần (ghi mã lớp học phần ): PHY1107 1-9
Thời gian làm bài : 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Tính giới hạn:
a.
2
n
lim n n n
b.
3
1
sin x
x 0
sinx tanx
lim 1 1 sinx
Bài làm
a.
2 2 2 2
2
2 2
n n n
n n n . n n n
n n n
lim n n n lim lim
n n n n n n

2
n n
n 1 1
lim lim .
2
1
n n n 1 1 n

b.
3
3
x 0
sinx tanx
1ln 1 1 sinx
lim
sin x sin x
x 0
sinx tanx
I lim 1 e .
1 sinx
Khi
x 0,
ta có:
3 3
sin x x
2
3
1
sinx x. x
sinx sinx cosx 1
sinx tanx sinx tanx 1
2
cosx
ln 1 x .
1 sinx 1 sinx 1 sinx cosx 1 sinx 1 2
3
1/2
3 3
x 0 x 0
sinx tanx 1
ln 1 x1
1 sinx 2
lim lim I e .
sin x x 2
Study Hus
2
Câu 2. Tính giới hạn sau nhờ tích phân xác định:
2
n
ni 1
i 3
lim 1 3. .
n n

Bài làm
Ta có:
2 2
n n
i 1 i 1
i 3 3 3
1 3. . 1 .i .
n n n n
Xét hàm số
2
f x 1 x
trên đoạn [0,3]. Chia đoạn [0,3] thành n đoạn bằng nhau và bằng
3
x
n
.
Trên mỗi đoạn nhỏ
3 3
. i 1 ; .i
n n
ta chọn điểm i
3
x .i
n
với
i 1,n.
23
n n 2 3
i
n n
i 1 i 1 0
3
i 3 1
lim 1 3. . lim f x . x 1 x dx 1 x 21.
n n 3 0

Câu 3. Đường cong Astroid có phương trình tham số như sau:
3
3
x acos t
y asin t
với
0 t 2 , a 0.
Tính diện tích của mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong đó quanh trục Ox.
Bài làm
Diện tích của mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong đó quanh trục Ox;
2 2
3 2 3 2
0 0
2 2
2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2
0 0
2 2
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
S xy yx dt acos t.3asin t.cost asin t. 3acos t.sint dt
2 2
1 3
S 3a sin t.cos t 3a sin t.cos t dt a sin t.cos t sin t cos t dt
2 2
3 3 3
S a sin t.cos tdt a sin 2tdt a 1 co
2 8 16
2
2 2
0
2
3 sin 4t 3
s4t dt a 1 a .
16 4 80
Study Hus
3
Câu 4.
a. Khai triển hàm
5
2x
f x e
theo công thức Maclaurin đến số hạng chứa x10.
b. Khai triển hàm
2
g x cosx
theo công thức Maclaurin đến số hạng chứa x8.
c. Cho hàm
5
100 2x 2
h x x e cosx
. Sử dụng kết quả của phần a và b viết khai triển Maclaurin
hàm h(x), từ đó tính đạo hàm h(109)(0).
Bài làm
a. Khai triển Maclaurin của hàm ex đến số hạng chứa x2:
2
x 2 2 2
x x 1
e 1 o x 1 x x o x
1! 2! 2
Khai triển Maclaurin của hàm
5
2x
f x e
đến số hạng chứa x10:
52
2x 5 5 10 5 10 10
1
f x e 1 2x 2x o x 1 2x 2x o x
2
b. Khai triển Maclaurin của hàm cosx đến số hạng chứa x4:
2 4
4 2 4 4
x x 1 1
cosx 1 o x 1 x x o x
2! 4! 2 24
Khai triển Maclaurin của hàm
2
g x cosx
đến số hạng chứa x8:
2 4
2 2 2 8 4 8 8
1 1 1 1
g x cosx 1 x x o x 1 x x o x
2 24 2 24
c. Khai triển Maclaurin của hàm
5
100 2x 2
h x x e cosx
từ kết quả câu a và b:
100 5 10 10 4 8 8
100 4 8 5 9 13 10 14 18 18
100 4 5 8 9 10 13 14 18 18
1 1
h x x . 1 2x 2x o x . 1 x x o x
2 24
1 1 1 1
h x x . 1 x x 2x x x 2x x x o x
2 24 12 12
1 1 1 1
h x x . 1 x 2x x x 2x x x x o x
2 24 12 12
Study Hus
4
100 104 105 108 109 110 113 114 118 118
1 1 1 1
h x x x 2x x x 2x x x x o x .
2 24 12 12
109
h 0 1 109! 109!.
Câu 5. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:
a.
c
dx
x x a x b

(với c > a > b > 0) b.
1
sin x
dx
x a x

(với a > 0)
Bài làm
a. Khi
x

, ta có:
3/2
3/2
1 1
x x a x b x.x.x x .
x
x x a x b
Xét 2 hàm số
1
f x
x x a x b
và
3/2
1
g x 0 x c;
x
và khả tích trên
c;

, ta có:
x
f x
lim 1
g x

nên
1
f x dx

và
1
g x dx

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Mà
3/2
1 1
1
g x dx dx
x
 
hội tụ do 3
1
2
nên tích phân suy rộng đã cho cũng hội tụ.
b. Khi
x

, ta có:
sin x 1
và
3/2
x a x x.x x .
3/2
sin x 1
f x g x .
x
x a x
Xét 2 hàm số
sin x
f x
x a x
và
3/ 2
1
g x 0
x
x 1;
và khả tích trên
1;

,
ta có:
f x g x
nên
1
f x dx

và
1
g x dx

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Mà
3/2
1 1
1
g x dx dx
x
 
hội tụ do 3
1
2
nên tích phân suy rộng đã cho cũng hội tụ.
Study Hus