Chương 5: phương trình vi phân
Bài 0: Mở đầu về PTVP
Bài 1: Phương trình vi phân cấp 1
Bài 2: Phương trình vi phân cấp 2
Bài 3: Ứng dụng của PTVP trong kỹ thuật và kinh tế
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 161 / 194
Bài 0. Mở đầu về PTVP
0.1. Mở đầu về PTVP
Các quy luật nói chung đều được viết theo ngôn ngữ Toán học. Môn Đại
số đủ để giải quyết các bài toán tĩnh, tuy nhiên hầu hết các hiện tượng tự
nhiên lại liên quan tới sự biến đổi và thường được mô tả bởi các phương
trình có liên quan đến sự thay đổi về lượng.
Do đạo hàm dy
dx =f′(x)là suất biến đổi của đại lượng y=f(x)theo biến
độc lập x, nên các phương trình có chứa đạo hàm thường được sử dụng để
mô tả các hiện tượng thay đổi. Phương trình chứa một hàm chưa biết và
một hay nhiều đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân.
Chẳng hạn phương trình vi phân
dy
dx =y2+x2
liên quan tới cả hàm chưa biết y(x)và đạo hàm của nó dy
dx .
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 162 / 194
Nghiên cứu các phương trình vi phân nhằm 3 mục tiêu cơ bản:
1Khám phá được PTVP mô tả một hiện tượng tự nhiên nào đấy.
2Tìm được nghiệm thích hợp của PTVP đó, hoặc là nghiệm chính xác
hoặc là nghiệm gần đúng.
3Giải thích về nghiệm tìm được.
Chú ý rằng, giải PTVP nghĩa là ta cần tìm một hàm chưa biết y=y(x)
thỏa mãn phương trình.
0.2. PTVP và một số mô hình Toán học
Mô hình thứ nhất
Quy luật giảm nhiệt của Newton được phát biểu như sau: Suất biến đổi đối
với thời gian của nhiệt độ T(t)của một vật thể tỷ lệ với hiệu số giữa Tvà
nhiệt độ Acủa môi trường xung quanh. Nghĩa là
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 163 / 194
dT
dt =−k(T−A)(1)
trong đó k>0 là một hằng số. Từ (1) ta nhận thấy nếu T>A, thì dT
dt <0
do đó nhiệt độ là một hàm giảm theo thời gian tvà vật thể nguội đi. Ngược
lại, nếu T<A, thì dT
dt >0 do đó nhiệt độ là một hàm tăng theo thời gian
tvà vật thể nóng lên.
Mô hình thứ hai
Quy luật Torricelli phát biểu rằng suất biến đổi theo thời gian của khối
lượng nước Vtrong một bể chứa tỷ lệ với căn bậc hai của độ sâu ycủa
nước trong bể. Nghĩa là
dV
dt =−k√y(2)
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 164 / 194
với klà một hằng số. Nếu bể chứa là một hình trụ tròn xoay với diện tích
đáy là Athì
V=Ay ⇒dV
dt =Ady
dt .
Khi đó phương trình (2) có dạng
dV
dt =−h√y(3)
trong đó h=k
Alà một hằng số.
Mô hình thứ ba
Suất biến đổi theo thời gian của dân số P(t)trong nhiều trường hợp đơn
giản với tỷ lệ sinh, tử không đổi thường tỷ lệ với dân số. Nghĩa là
dP
dt =kP (4)
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 165 / 194