BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN
Nguyễn Thanh Tùng
GIÁO TRÌNH
GIẢI TÍCH HÀM
(Lưu hành nội bộ)
Năm 2022
Nguyễn Thanh Tùng
GIÁO TRÌNH
GIẢI TÍCH HÀM
(Tài liệu dùng cho hệ đào tạo trình độ đại học)
Năm 2022
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích hàm là một ngành quan trọng của Toán học hiện đại, trong đó đối tượng
của không gian không nhất thiết phải là các phần tử như số và vector mà có thể
là các ánh xạ. Không gian đang xét là các không gian vector được trang bị một
cấu trúc topo tương hợp (xác định một metric) với các phép toán trên không gian
vector đó, gọi là không gian định chuẩn. Các kết quả và phương pháp của Giải tích
hàm thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương
pháp tính, lý thuyết biểu diễn, ...
Trong bài giảng này, Chương 1 sẽ trình bày các kiến thức cơ bản cần dùng.
Chương 2 sẽ tập trung trình bày các nội dung nền tảng trong không gian định
chuẩn, đây là một lớp không gian vừa là không gian vector, vừa có một cấu trúc
metric (do đó cũng là một không gian topo). Bởi vậy, nó có đầy đủ những tính
chất topo và metric như: tính đóng, mở, compact và sự hội tụ,... Không những
thế, chính do sự tương hợp của metric với phép toán tuyến tính mà ta còn thu
được nhiều tính chất thú vị hơn. Đặc biệt là khảo sát các tính chất của các toán
tử tuyến tính liên tục.
Chương 3 trình bày một trong những nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm như
là định lý thác triển Hahn-Banach, đây là một trong số ít những định lý của toán
học có nhiều ứng dụng và biến thể khác nhau. Ngoài ra với các định lý, mà ngày
nay được xem là kinh điển, như định lý ánh xạ mở của Banach, định lý đồ thị
đóng, nguyên lý chặn đều, ... Nói chung vẫn đang được tìm hiểu và phát triển, với
các ứng dụng trực tiếp trong các bài toán tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm của một
phương trình suy rộng, tính chính quy metric,...
Sau cùng ở Chương 4, thông qua khái niệm tích vô hướng ta khảo sát một lớp
các không gian có khá nhiều tính chất đẹp, gọi là không gian Hilbert. Không những
thế, mặc dù rất trừu tượng, không gian Hilbert còn cho ta cái nhìn trực gian, liên
tưởng đến không gian ba chiều thông thường trong hình học cổ điển. Từ đó thể
hiện rõ tính mở rộng và tổng quát của không gian định chuẩn, nói riêng là không
gian Hilbert.
Để có thể tiếp thu một cách thuận lợi nhất các kiến thức về Giải tích hàm, đòi
hỏi người học phải có nền tảng về không gian vector, các kiến thức đại cương của
Topo cũng như Lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue. Do đó, trước khi bắt đầu
học, người học cần phải ôn tập lại các kiến thức nêu trên. Dĩ nhiên, để tiếp cận
với các kiến thức trừu tượng chưa bao giờ là một điều đơn giản. Tuy nhiên các kết
quả thu được sẽ mang lại rất nhiều ý nghĩa, vì thông qua khảo sát một trường hợp
chung, tổng quát ta có thể giải quyết cho nhiều lớp bài toán khác (có cùng bản
chất).
i
Nói chung, những nội dung cơ bản trong Giải tích hàm là nền tảng của giải tích
toán học hiện đại. Nói riêng, đối với sinh viên có ý định học tiếp lên các bậc học
cao hơn thì Giải tích hàm là một trong những nấc thang đầu cần bước qua, làm
cơ sở nền tảng để có thể hiểu sâu hơn và tiếp cận với các nghiên cứu mới.
Trong quá trình biên soạn bài giảng, người soạn đã cố gắng sưu tầm và sắp xếp
các nội dung theo một trình tự nhất định, theo hướng phù hợp với số đông sinh
viên, đặc biệt vẫn dành riêng một phần mở rộng cho các sinh viên có mong muốn
tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng, các hướng vẫn được tiếp tục nghiên cứu. Sau cùng,
mặc dù tác giả đã cố gắng để hoàn thiện và tránh những sai sót, nhưng chắc chắn
bài giảng vẫn rất cần có những lời đóng góp và sửa chữa, người soạn rất hoan
nghênh và luôn sẵn sàng lắng nghe.
Ngày 06 tháng 06 năm 2019
Nguyễn Thanh Tùng
ii
Mục lục
DANH MỤC KÝ HIỆU v
1 SƠ LƯỢC VỀ KHÔNG GIAN METRIC 1
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Một số khái niệm topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 7
2.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Vector độc lập tuyến tính, không gian con . . . . . . . . . . 9
2.2 Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Hai bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Không gian Lebesgue Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Tính tách được của không gian Lebesgue Lp. . . . . . . . . 26
2.5 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Khái niệm toán tử tuyến tính và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.3 Toán tử nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.4 Không gian các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.5 Toán tử trên không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.6 Toán tử song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Ánh xạ khả vi và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.1 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.2 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . 54
3 CÁC NGUYÊN LÝ CỦA GIẢI TÍCH HÀM 65
3.1 Định lý thác triển Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Tiên đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3 Định lý tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.4 Hai biến thể khác của định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . 73
3.1.5 Dưới vi phân của một hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Định lý ánh xạ mở và nguyên lý chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
iii