Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2

Chia sẻ: Chen Linong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2 tiếp tục trình bày những nội dung về tích phân đường và mặt; tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai; tích phân mặt loại một; tích phân mặt loại hai; phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình vi phân cấp 2; hệ phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013
Ch¬ng 3. TÝ h ph©n ®êng vµ mÆt 3.1. TÝ h ph©n ®êng lo¹i 1. 3.1.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm hai biÕn sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trªn ung g AB + Ph©n ho¹ h P ung g AB bëi n ®iÓm A = C0 , C1 , C2 , ..., Cn = B. Ký hiÖu ∆i lµ ®é dµi ¸ ung C^ i−1 Ci ∀i = 1, 2, ..., n vµ ∆P = max{∆1 , ∆2 , ..., ∆n }. + Chän mét ®iÓm tïy ý Mi ∈ C^ i−1 Ci . Khi ®ã n X σP = f (Mi )∆i i=1 ®î gäi lµ tæng tÝ h ph©n ®êng lo¹i 1 ña hµm g . NÕu giíi h¹n f (x, y) trªn ung AB I = lim σP ∆P →0 tån t¹i, kh«ng ph thué vµo php ph©n ho¹ h P vµ hän ®iÓm Mi , th× I ®î gäi lµ tÝ h ph©n ®êng lo¹i 1 ña hµm f (x, y) trªn ung g AB (hay ta ßn nãi f (x, y) kh¶ tÝ h trªn ung g) AB vµ R ®î ký hiÖu lµ g tr¬n tõng khó ( ung f (x, y)ds. Ngêi ta høng minh ®î r»ng nÕu ung AB g AB x¸ ®Þnh hµm sè kh¶ vi liªn t tõng khó ) vµ hµm f (x, y) liªn t trªn g AB th× hµm sè f (x, y) kh¶ tÝ h trªn g. AB Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã ¸ tÝnh hÊt: 3.1.2. TÝnh hÊt. R R + f (x, y)ds = f (x, y)ds. g AB g BA R + g lµ ®é dµi ña 1ds = |AB| ung g. AB g AB R + NÕu ung g AB ã khèi lîng riªng g = ρ(x, y) th× mAB g. ρ(x, y)ds lµ khèi lîng ña ung AB g AB 3.1.3 C«ng thø tÝnh. a) Cung g AB ã d¹ng tæng qu¸t Trêng hîp 1: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng y = ϕ(x) x ∈ [a, b] vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zb p f (x, y)ds = f (x, ϕ(x)) 1 + ϕ′2 (x)dx. (3.1) g AB a 73
Trêng hîp 2: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng x = φ(y) y ∈ [c, d] vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zd p f (x, y)ds = f (φ(y), y) 1 + φ′2 (y)dy. (3.2) g AB c Chøng minh: Ta høng minh ho trêng hîp 1, trêng hîp 2 lµ t¬ng tù. Theo ®Þnh nghÜa, gi¶ sö Ci (xi , yi ), ∆xi = xi − xi−1 , ∆yi = yi − yi−1 ∀i = 1, 2, ..., n. Khi ∆xi ®ñ nhá, ta ã s p ∆yi ∆i ≈ Ci−1 Ci = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 = ∆xi 1 − . ∆xi Theo «ng thø sè gia giíi néi ∆yi ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 = = ϕ′ (ξi ) xi−1 ≤ ξi ≤ xi ∀i = 1, 2, ..., n. ∆xi ∆xi Khi ®ã n X n X p σP = f (Mi )∆i ≈ f (ξi , ϕ(ξi )) 1 − ϕ′2 (ξi )∆xi . i=1 i=1 §Æt ∆x = max{∆x1 , ..., ∆xn }. Khi ®ã Z n X p Z p b f (x, y)ds = lim f (ξi , ϕ(ξi )) 1 − ϕ (ξi )∆xi = f (x, ϕ(x)) 1 + ϕ′2 (x)dx. ′2 ∆x →0 i=1 a g AB R VÝ d 3.1. TÝnh tÝ h ph©n y 2ds, trong ®ã A(2, 0), B(0, 1). AB Bµi gi¶i. + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB ã d¹ng x y =1− . 2 + Theo «ng thø tÝnh (3.1) Z Z2 Z2 r √ Z2 √ 2 x p x 1 5 x 2 5 y ds = (1 − )2 1 + y ′2 dx = (1 − )2 1 + dx = (1 − ) dx = . 2 2 4 2 2 3 g AB 0 0 0 b) Cung g AB ã d¹ng tham sè trong mÆt ph¼ng Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng tham sè   x = x(t) g AB α ≤ t ≤ β. (3.3)  y = y(t) 74
y x O πa 2πa 3πa H×nh 1: H×nh vÏ ña vÝ d 3.2 g . B»ng ¸ h yt′ vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung AB thay yx′ = x′t vµo «ng thø (3.2), ta ã Z Zβ p f (x, y)ds = f x(t), y(t) t + yt dt. x′2 ′2 g AB α R VÝ d 3.2. TÝnh tÝ h ph©n g y 2ds, trong ®ã AB lµ mét nhÞp ña ung y loide g AB   x = a(t − sin t) g AB a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π.  y = a(1 − cos t) Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.3), ta ã Z Z2π 2 2 p ′2 y ds = a2 1 − cos t xt + yt′2 dt g AB 0 Z2π 2 √ √ = a2 1 − cos t a 2 1 − cos tdt 0 √ Z2π p = 2a3 (1 − cos t)5 dt 0 Z2π t = 8a3 sin5 dt 2 0 256a3 = . 15 ) Cung g AB ã d¹ng tham sè trong kh«ng gian R3 . 75
Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng tham sè    x = x(t)    g AB y = y(t) α ≤ t ≤ β. (3.4)      x = z(t) vµ hµm sè f (x, y, z) liªn t trªn ung g. AB B»ng ¸ h hiÓu t¬ng tù nh trong trêng hîp ung g AB trong mÆt ph¼ng, ta ã Z Zβ p ′2 f (x, y, z)ds = f x(t), y(t), z(t) xt + yt′2 + zt′2 dt. g AB α R VÝ d 3.3. TÝnh I= g (x2 + y 2 + z 2 )ds, trong ®ã AB lµ ®o¹n xo¾n ã ph¬ng tr×nh tham sè g AB      x = a cos t,   g y = a sin t, AB      z = at, a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π. Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.4), ta ã f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = a2 (1 = t2 ) vµ p √ x′2 t + y ′2 t + zt ′2 = a 2. Do ®ã, Z2π √ I= a2 (1 + t2 )a 2dt 0 √ Z 2π = a 2 (1 + t2 )dt 3 0 √ 4 = 2 2a3 (1 + π 2 ). 3 d) Cung g AB ®î ho díi d¹ng täa ®é ù bëi ph¬ng tr×nh r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 . 76
Khi ®ã, Z Zϕ2 q f (x, y)ds = f r cos ϕ, r sin ϕ r 2 + rϕ′2 dϕ. (3.5) g AB ϕ1 VÝ d 3.4. TÝnh ®é dµi ®o¹n ong x¸ ®Þnh bëi   x2 + y 2 = cz, g OA   y = tan z , x c víi O(0, 0, 0), A(2, 2, 4). Bµi gi¶i. §Æt g ã d¹ng: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, khi ®ã ph¬ng tr×nh ®o¹n ong OA z r 2 = cz, tan ϕ = tan . c Tõ 0 ≤ z ≤ 4, suy ra r»ng 0 ≤ ϕ ≤ ϕ4 . Do ®ã,    √   x = c ϕ cos ϕ,   OA y = c√ϕ sin ϕ, g      z = cϕ, víi 0 ≤ ϕ ≤ 4 . c Theo «ng thø (3.4) vµ tÝnh hÊt ña tÝ h ph©n ®êng lo¹i 1, ®é dµi ung g ®î tÝnh bëi OA Z g = |AB| ds g AB 4 Zc q = ϕ + yϕ + zϕ dϕ x′2 ′2 ′2 0 4 Zc 1 √ = c √ + ϕ dϕ 2 ϕ 0 √ 8 = 2 c(1 + ). 3c e) Täa ®é träng t©m ña d©y ung. Cho ung g AB ã khèi lîng riªng x¸ ®Þnh bëi hµm sè f (x, y). Khi ®ã, täa ®é träng t©m G ña ung g AB ®î ho bëi «ng thø :   R  1 xG =  m xf (x, y)ds, g AB (3.6)   1 R  yG = m yf (x, y)ds, g AB trong ®ã, m lµ khèi lîng ña ung g. AB 77
VÝ d 3.5. X¸ ®Þnh täa ®é träng t©m ña mét nhÞp ña ung y loide ®ång hÊt   x = a(t − sin t) g AB a > 0, 0 ≤ t ≤ π.  y = a(1 − cos t) Bµi gi¶i. Cung g AB lµ ®ång hÊt hay ta ã thÓ gi¶ thiÕt r»ng f (x, y) = c (h»ng sè). Theo «ng thø (3.6), täa ®é träng t©m g ®î tÝnh bëi G ña ung AB   R R   x = 1 xf (x, y)ds = c xds = 4a ,  G m m 3 g AB g AB   1 R c R 4a  yG = m yf (x, y)ds = m yds = 3 . g AB g AB 3.2. TÝ h ph©n ®êng lo¹i 2. 3.2.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm v t¬ F~ = (P, Q, R) x¸ ®Þnh trªn ung g. AB Ngêi ta ßn viÕt F díi d¹ng F~ = P~i + Q~j + R~k hay F (x, y, z) = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k. Php ph©n ho¹ h g (P ) ung AB bëi ¸ ®iÓm A0 = A, A1 , ..., An = B. −−−−→ Chän Mi (xi , yi , zi ) ∈ A^ g i−1 Ai ⊂ AB víi mçi i = 1, 2, ..., n. Gi¶ sö r»ng Ai−1 Ai = (∆xi , ∆yi , ∆zi ). Khi ®ã, n X −−−−→ In = F~ (Mi )Ai−1 Ai i=1 ®î gäi lµ tæng tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 ña hµm v t¬ F~ trªn ung g AB x¸ ®Þnh bëi ph©n ho¹ h (P ). NÕu khi n→∞ sao ho max ∆xi : i = 1, 2, ..., n → 0, max ∆yi : i = 1, 2, ..., n → 0, max ∆zi : i = 1, 2, ..., n → 0, tæng tÝ h ph©n In dÇn tíi mét giíi h¹n x¸ ®Þnh I, kh«ng ph thué vµo php ph©n ho¹ h (P ) vµ php hän ®iÓm Mi , th× I ®î gäi lµ tÝ h ph©n ®î lo¹i 2 ña hµm v t¬ F~ trªn ung g AB vµ ký hiÖu Z I= P dx + Qdy + Rdz. g AB Theo ¸ h viÕt truyÒn thèng, ngêi ta ßn viÕt díi d¹ng Z P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. g AB 78
Trong trêng hîp ®Æ biÖt khi ung g AB lµ ®êng ong kÝn, tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 trªn ung g AB ®î viÕt I P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. g AB 3.2.2. NhËn xt. Khi ung g AB trong mÆt ph¼ng täa ®é (Oxy), hµm v t¬ F~ = (P, Q), tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 ña hµm F~ trªn ung g AB ®î ký hiÖu bëi Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy. g AB §Æ biÖt khi ung g AB lµ mét ®o¹n [a, b] nµo ®ã trªn R, hµm f : [a, b] → R, tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 ña hµm f trªn g AB trë thµnh tÝ h ph©n x¸ ®Þnh. 3.2.3. TÝ h hÊt ¬ hä ña tÝ h ph©n ®î lo¹i 2. §Ó tÝnh «ng sinh ra tõ mét ®iÓm M huyÓn ®éng dä theo ung g AB tõ ®iÓm A tíi ®iÓm B díi t¸ dng ña mét lù F~ = F~ (M), ta thù hiÖn php ph©n ho¹ h (P ) nh trong ®Þnh nghÜa trªn. Php hia ung g AB min tíi mø ta ã thÓ oi ung A^ i−1 Ai nh ®o¹n th¼ng, lù t¸ dng vµo hÊt ®iÓm trªn trªn ung A^ i−1 Ai kh«ng ®æi vµ b»ng F~ (Mi ). Khi ®ã, «ng sinh ra trªn ung −−−−→ A^ i−1 Ai xÊp xØ víi tÝ h v« híng F~ (Mi )Ai−1 Ai . VËy In x¸ ®Þnh bëi ®Þnh nghÜa trªn xÊp xØ víi «ng sinh ra trªn ung g. AB Do ®ã, gi¸ trÞ ña tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 lim In hÝnh lµ «ng s¶n n→∞ sinh khi hÊt ®iÓm M huyÓn ®éng dä theo quü ®¹o g AB tõ ®iÓm A tíi ®iÓm B . 3.2.4. C¸ h tÝnh tÝ h ph©n ®î lo¹i 2. Cho ung g tr¬n vµ x¸ ®Þnh bëi ph¬ng tr×nh tham sè AB      x = x(t),   y = y(t), (3.7)      z = z(t), t : a → b, A x(a), y(a), z(a) , B x(b), y(b), z(b) . C¸ hµm sè g . Khi ®ã P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) liªn t trªn AB Z Zb P dx + Qdy + Rdz = P x′t + Qyt′ + Rzt′ dt. g AB a Chøng minh. Gi¶ sö ph©n ho¹ h (P ) trong ®Þnh nghÜa ®î x¸ ®Þnh bëi t0 = a < t1 < t2 < ... < tn = b. 79
Gäi xi = x(ti ), yi = y(ti ), zi = z(ti ), vµ Ai (xi , yi , zi ). Theo ®Þnh lý Lagrange, tån t¹i τi ∈ (ti−1 , ti ) sao ho      ∆xi = x(ti ) − x(ti−1 ) = x′ (τi )∆ti ,    ∆yi = y(ti ) − y(ti−1 ) = y ′(τi )∆ti ,     ∆zi = z(ti ) − z(ti−1 ) = z ′ (τi )∆ti , trong ®ã ∆ti = ti − ti−1 . Khi ®ã, ®iÓm Mi x(τi ), y(τi ), z(τi ) ∈ A ^ i−1 Ai vµ n X −−−−→ In = F~ (Mi )Ai−1 Ai i=1 n X = P x(τi ), y(τi ), z(τi ) x′ (τi ) + Q x(τi ), y(τi ), z(τi ) y ′ (τi ) + R x(τi ), y(τi ), z(τi ) z ′ (τi ) ∆ti . i=1 VÕ ph¶i lµ tæng tÝ h ph©n ña hµm sè P x(t), y(t), z(t) x′ (t) + Q x(t), y(t), z(t) y ′(t) + R x(t), y(t), z(t) z ′ (t) trªn ®o¹n [a, b]. §Æt ∆P = max{∆ti : i = 1, 2, ..., n}. Cho ∆ti → 0, ta ã Z Zb P dx + Qdy + Rdz = P x′t + Qyt′ + Rzt′ dt. g AB a R VÝ d 3.6. TÝnh I = (ydx + zdy + xdz), trong ®ã g : {x = a cos t, y = a sin t, z = a > 0, AB g AB bt, t : 0 → 2π}. Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.7), ta ã Z2π I= a sin t(−a sin t) + bt(a cos t) + a cos t.b dt 0 Z2π = − a2 sin2 t + ab(1 + t) cos t dt 0 Z2π Z2π a2 =− (1 − cos 2t)dt + ab (1 + t) cos tdt 2 0 0 = − πa2 . 3.2.5. Chó ý. Cho ung g ⊂ (Oxy) tr¬n vµ x¸ ®Þnh bëi ph¬ng tr×nh tham sè AB   x = x(t), (3.8)  y = y(t), t : a → b. 80
y y2 = x √ B 2 1 x O 2 −1 A H×nh 2: H×nh vÏ ña vÝ d 3.7 C¸ hµm sè g . Khi ®ã P = P (x, y), Q = Q(x, y) liªn t trªn AB Z Zb P dx + Qdy = P x′t + Qyt′ dt. g AB a VÝ d 3.7. TÝnh Z x2 dx + xydy, g AB √ g : x = y 2 , A(1, −1), B(2, 2). trong ®ã AB Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.8), nÕu ung g : x = ϕ(y), y ∈ [a, b], AB tÝ h ph©n ®êng lo¹i 2 ®î x¸ ®Þnh 81
bëi Z Zb P dx + Qdy = P (ϕ(y), y)ϕ′y + Q(ϕ(y), y) dy g AB a √ Z2 = (y 42y + y 3 )dy −1 √ Z2 = (2y 5 + y 3 )dy −1 1 6 1 4
2 √ = ( y + y )
3 4 −1 37 = . 12 VÝ d 3.8. TÝnh I y 2dx − x2 dy, (E) x2 y2 trong ®ã a > 0, b > 0, (E) : a2 + b2 = 1. Bµi gi¶i. Ta huyÓn ®êng elip (E) vÒ d¹ng tham sè. §Æt x = a cos t, y = b sin t víi t : 0 → 2π. Theo «ng thø (3.8), ta ã I Z2π 2 2 y dx − x dy = b2 sin2 t(−a sin t) − a2 cos2 t(b cos t) dt (E) 0 Z2π = −ab (b sin3 t + a cos3 t)dt 0 Z2π ab =− b(3 sin t − sin 3t) + a(3 cos t + cos 3t) dt 4 0 ab 1 1
2π
=− b(−3 cos t + cos 3t) + a(3 sin t + sin 3t)
4 3 3 0 = 0. 3.2.6. C«ng thø Green. 82
y C (D) D B A x O a b H×nh 3: H×nh vÏ ña Trêng hîp 1. Cho miÒn D trong mÆt ph¼ng R2 lµ mét miÒn liªn th«ng, bÞ hÆn vµ biªn ∂D lµ mét hay nhiÒu ®êng ong kÝn tr¬n tõng khó . C¸ hµm sè P (x, y), Q(x, y) vµ ¸ ®¹o hµm riªng ña hóng liªn t trªn D ∪ ∂D . C«ng thø Green ®î ph¸t biÓu nh sau: ZZ I ∂Q ∂P − dxdy = P dx + Qdy. ∂x ∂y D ∂D Chøng minh. Ta xt ¸ trêng hîp ña D nh sau: Trêng hîp 1. D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)}. Theo ®Þnh lý Fubini, ta ã ZZ Zb yZ2 (x) ∂P ∂P − dxdy = − dx dy ∂y ∂y D a y1 (x) Zb = P (x, y1(x)) − P (x, y2 (x)) dx a Z Z = P (x, y)dx + P (x, y)dx g AB g CD Z Z Z Z = P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx g AB ¯ BC g CD ¯ DA I = P (x, y)dx. (3.9) ∂D 83
y (D2 ) (D5 ) (D4 ) (D1 ) . (D6 ) (D3 ) x O H×nh 4: H×nh vÏ ña Trêng hîp 1. B»ng ¸ h lµm t¬ng tù, ta òng ã ZZ I ∂Q dxdy = Q(x, y)dy. (3.10) ∂x D ∂D Tõ (3.9) vµ (3.10) ko theo «ng thø Green ®î høng minh. Trêng hîp 2. MiÒn (D) lµ miÒn ®a liªn. + Ta hia miÒn (D) thµnh ¸ miÒn nhá (D1 ), (D2 ), ...(Dn ) bëi ¸ ®êng th¼ng song song víi tr Oy + Theo trêng hîp 1, «ng thø Green ®óng víi ¸ miÒn nhá (Di ) víi i = 1, 2, ..., n hay ZZ I ∂Q ∂P − dxdy = P dx + Qdy ∀i = 1, 2, .., n. ∂x ∂y Di ∂Di + Tæng ¸ tÝ h ph©n ®êng ña P (x, y)dx + Q(x, y)dy trªn ïng mét d©y ung theo hai hiÒu ngî nhau b»ng kh«ng. Do ®ã, ZZ ZZ ZZ ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P − dxdy = − dxdy + ... + − dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D D1 Dn I I = P dx + Qdy + ... + P dx + Qdy ∂D1 ∂Dn I = P dx + Qdy. ∂D 84
VÝ d 3.9. Dïng «ng thø Green ®Ó tÝnh tÝ h ph©n ®êng sau I K= (xy + ex sin x + x + y)dx + (xy − e−y + x − sin y)dy, ∂C trong ®ã (C) : x2 + y 2 ≤ 2x. Bµi gi¶i. §Æt P (x, y) = xy + ex sin x + x + y, Q(x, y) = xy − e−y + x − sin y . Khi ®ã, ∂Q ∂P − = (y + 1) − (x + 1) = y − x. ∂x ∂y Theo «ng thø Green, ta ã ZZ K= (y − x)dxdy (C) π Z2 2Z cos ϕ = dϕ (sin ϕ − cos ϕ)r 2 dr − π2 0 π Z 2 = (sin ϕ − cos ϕ) cos3 ϕdϕ − π2 = −π. 3.2.7. §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t¬ng ®¬ng. Cho ¸ hµm sè P (x, y), Q(x, y) vµ ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trªn miÒn ®¬n liªn D ⊂ R2 (miÒn kh«ng ã lç thñng nµo). Khi ®ã, ¸ mªnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng: ∂Q ∂P (i) ∂x = ∂y ∀(x, y) ∈ D . H (ii) P dx + Qdy = 0 ∀D1 ⊂ D . ∂D1 R (iii) P dx + Qdy hØ ph thué vµo 2 ®iÓm g ⊂ D. A, B , víi mäi AB g AB (iv) Tån t¹i u(x, y) x¸ ®Þnh trªn D sao ho du = P dx + Qdy. Chøng minh. (i) ⇒ (ii) Gi¶ sö D1 ⊂ D , Theo «ng thø Green, D lµ miÒn ®¬n liªn vµ gi¶ thiÕt (i), ta ã I ZZ ∂Q ∂P P dx + Qdy = − dxdy = 0. ∂x ∂y ∂D1 D1 85