Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường loại 1, tích phân đường loại hai; định nghĩa, cách tính; công thức Green; tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh
- Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến
Chương 5: Tích phân đường
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
- Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I –Tích phân đường loại 1
II –Tích phân đường loại hai
II.1 – Định nghĩa, cách tính
II.2 – Công thức Green
II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi.
- I. Tích phân đường loại một.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
An
Mn
A2
An
M2
A1
M1
A0
- I. Tích phân đường loại một.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f f ( x, y ) xác định trên đường cong C.
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1 ,..., An .
Độ dài tương ứng L1 , L2 ,..., Ln .
Trên mỗi cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ).
n
Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) Li
i 1
I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi
n
I f ( x, y ) dl
C
được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.
- I. Tích phân đường loại một
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân đường loại một
1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C.
2) L(C ) 1dl 3) fdl fdl 4) ( f g )dl fdl gdl
C C C C C C
5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.
6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:
fdl fdl fdl
C C1 C2
7) ( x, y ) C , f ( x, y ) g ( x, y ) fdl gdl
C C
8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài
L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho
fdl f ( M 0 ) L
C
- Cách tính tích phân đường loại một
Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2
n
f ( x , y ) dl lim f ( M i ) Li
C n i 1
Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:
ti 1 2 2 2 2
Li
ti
x (t ) y (t ) dt x (t ) y (t ) t
' ' '
i
'
i i ti ti ti 1
Chọn điểm trung gian M có tọa độ x(t ), y (t )
i i i
n 2 2
f ( x, y )dl lim f x(t ), y (t ) x (t ) y (t )
' '
i i i i ti
C n i 1
t2 2 2
C
f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t ))
t1
x (t ) y (t )
' '
dt
- Cách tính tích phân đường loại một
Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a xb
Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1 t t2
t2 2 2
C
f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t ))
t1
x (t ) y (t )
' '
dt
' 2
t2 y (t ) '
f ( x(t ), y (t )) 1 ' x (t ) dt
t1 x (t )
b 2
f ( x, y )dl f ( x, y ( x)) 1 y ( x)
C a
'
dx
Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c y d
d 2
f ( x, y )dl f ( x( y ), y ) 1 x ( y )
C c
'
dy
- I. Tích phân đường loại một.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian.
f f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.
x x(t )
C cho bởi phương trình tham số: y y (t ), t1 t t2
z z (t )
I f ( x, y, z )dl
C
t2 2 2 2
C
f ( x, y, z )dl f ( x(t ), y (t ), z (t )).
t1
x (t ) y (t ) z (t )
' ' '
dt
- dụ
2
x
Tính I x3dl, trong đó C là cung parabol y , 0 x 3
C 2
b 2 3 3 58
'
f ( x, y ( x)) 1 y ( x)
a
dx x 3 ' 2
1 ( y ( x)) dx x 3 2
1 x dx
15
0 0
Ví dụ
Tính I 2 xdl , trong đó C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và
C
C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2).
1 2 2 2
2 xdl 2 xdl 2 xdl 2 x 1 y ( x)
C C1 C2 0
'
'
dx 2 x( y ) 1 x ( y )
1
d
1 2 2 5 5 1
2
2 x 1 4 x dx 2 1 1 0 dy 2
0 1 6
- dụ
2
Tính I (2 x y )dl, với C là nửa trên đường tròn x 2 y 2 1
C
b 2
Có thể dùng công thức I f ( x, y ( x)) 1 y ( x)
a
'
dx
hưng việc tính toán phức tạp.
iết phương trình tham số cung C.
ặt x r cos t ; y r sin t
2 2
ì x y 1, nên r = 1.
x cos t
hương trình tham số của nửa trên cung tròn: ; 0t
y sin t
2 2
2
(2 cos t sin t ) '
x (t ) y (t ) dt (2 cos2t sin t )dt 2 2
'
0 0 3
- dụ
Tính I ( x 2 y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2 y 2 2 x; x 1.
C
Viết phương trình tham số cung C.
x r cos t
Đặt
y r sin t
Vì x 2 y 2 2 x , nên r 2cos t
Phương trình tham số của C:
x 2cos t cos t 1 cos 2t
; - t
y 2cos t sin t sin 2t 4 4
/4
2 2
(2 2cos 2t ) ( 2sin 2t ) (2cos 2t ) dt
/ 4
- Ví dụ
4 2 2
Tính I xy dl , với C là nửa bên phải đường tròn x y 16; x 0.
C
Viết phương trình tham số cung C.
x r cos t
Đặt
y r sin t
Vì x 2 y 2 16 , nên r4
x 4 cos t
Phương trình tham số của C: ; t
y 4 sin t 2 2
/2 /2 2 6
6 4
4cost 4 sin t (4sin t ) (4cos t ) dt 4 cost sin tdt 5 4
4 4 2 2
/ 2 / 2
- í dụ
Tính I 2 xdl , với C là giao của x 2 y 2 4 và x + z = 4
C
x r cos t
Đặt y r sin t
z 4 r cos t
Vì x 2 y 2 4, x z 4 , nên r 2
Phương trình tham số của C:
x 2cos t
y 2sin t ; 0 t 2
z 4 2cos t
2
I 4cos t (2sin t ) 2 (2cos t )2 (2sin t ) 2 dt 0
0
- Ví dụ
2 2 2
Tính I ( x y )dl , với C là phần đường tròn x y z 4; y x.
C
Viết phương trình tham số cung C.
x y 2 r cos t
Đặt
z 2 r sin t
2 2 2
Vì x y z 4, y x , nên r 1
hương trình tham số của C:
x y 2 cos t
; 0 t 2
z 2sin t
2
0
2cost 2 cos t ( 2 sin t ) 2 ( 2 sin t ) 2 (2cos t )2 dt
- Ví dụ
2 2 2
Tính I x 2 dl , với C là phần đường tròn x y z 4; x y z 0.
C
Viết phương trình tham số cung C phức tạp.
I x 2 dl y 2 dl z 2 dl
C C C
1
I x 2 y 2 z 2 dl
3C
4
I dl
3C
4
độ dài cung C (chu vi đường tròn)
3
4 16
I 4
3 3
- Ví dụ
Tính I ( x z )dl , với C là đường x 3cos t , y 3sin t , z t , 0 t 4 .
C
x2 y2 9
Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm
trên hình trụ.
4 2 2 2
I (3cos t t )
0
x (t ) y (t ) z (t ) dt
' ' '
4
I (3cos t t ) 10dt 8 2 10
0
- II. Tích phân đường loại hai.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P P ( x, y ), Q Q ( x, y ) xác định trên đường cong C.
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm
A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ),..., An ( xn , yn ).
Trên mỗi cung Ak Ak 1 lấy tuỳ ý một điểm M k ( xk , yk ).
n
Lập tổng Riemann: I n P( M k ) ( xk xk 1 ) Q( M k ) ( yk yk 1 )
i 1
I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi
n
I P ( x, y )dx Q( x, y )dy
C
được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.
- II. Tích phân đường loại hai
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân đường loại hai
1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.
Pdx Qdy Pdx Qdy
AB BA
2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
C C1 C2
Giải thích.
- Cách tính tích phân đường loại hai
1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.
P( x, y )dx Q ( x, y )dy P ( x, y )dx Q( x, y )dy
C C C
n
P( x, y ) dx lim P( xk , yk ) xk
C n k 1
Chia [a,b] thành n đoạn: a t0 t1 t2 tn b
ñònh lyù Lagrange
xk xk xk 1 x (tk ) x (tk 1 ) x ' (tk ) tk
Chọn điểm trung gian Mk x (tk ), y (tk )
n b
C
P ( x , y ) dx lim P x ( t
k 1
k
), y ( tk ) x ( tk
) '
tk
P x ( t ), y ( t ) '
(t )dt
x
a
b b
' '
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P x (t ), y (t ) x (t ) dt Q x (t ), y (t ) y (t )dt
C a a
- Cách tính tích phân đường loại hai
Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C.
2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung.
x2
C
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P
x1
(
x , y ( x )) Q ( x , y ( x )) y '
( x) dx
3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung.
y2
C
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P
y1
( x( y ), y ) x '
( y ) Q( x( y ), y ) dy
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
