intTypePromotion=3

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

0
158
lượt xem
49
download

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường loại 1, tích phân đường loại hai; định nghĩa, cách tính; công thức Green; tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I –Tích phân đường loại 1 II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Công thức Green II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi.
  3. I. Tích phân đường loại một. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  An Mn   A2         An M2      A1 M1   A0
  4. I. Tích phân đường loại một. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1 ,..., An . Độ dài tương ứng L1 , L2 ,..., Ln . Trên mỗi cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y ) dl C được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.
  5. I. Tích phân đường loại một -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại một 1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C. 2) L(C )   1dl 3)    fdl    fdl 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C C C 5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:  fdl   fdl   fdl C C1 C2 7) ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho  fdl  f ( M 0 )  L C
  6. Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 n   f ( x , y ) dl  lim   f ( M i )  Li C n  i 1  Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1: ti 1 2 2 2 2 Li   ti  x (t )    y (t )  dt  x (t )    y (t )   t ' ' ' i ' i i ti  ti  ti 1 Chọn điểm trung gian M có tọa độ  x(t ), y (t )  i i i  n 2 2   f ( x, y )dl  lim   f  x(t ), y (t )    x (t )    y (t )  ' ' i i i i  ti  C n i 1   t2 2 2 C  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  t1  x (t )    y (t )  ' ' dt
  7. Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 t2 2 2 C  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  t1  x (t )    y (t )  ' ' dt ' 2 t2  y (t )  '   f ( x(t ), y (t ))  1   '  x (t )  dt t1  x (t )  b 2  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))  1  y ( x) C a  '  dx Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c  y  d d 2   f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )  1  x ( y ) C c '  dy
  8. I. Tích phân đường loại một. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian. f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.  x  x(t )  C cho bởi phương trình tham số:  y  y (t ), t1  t  t2  z  z (t )  I   f ( x, y, z )dl C t2 2 2 2 C  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )). t1  x (t )    y (t )    z (t )  ' ' '  dt
  9. dụ 2 x Tính I   x3dl, trong đó C là cung parabol y  , 0  x  3 C 2 b 2 3 3 58  '   f ( x, y ( x))  1  y ( x) a  dx   x 3 ' 2 1  ( y ( x)) dx   x 3 2 1  x dx  15 0 0 Ví dụ Tính I   2 xdl , trong đó C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 1 2 2 2   2 xdl   2 xdl   2 xdl   2 x  1  y ( x) C C1 C2 0  '   ' dx   2 x( y )  1  x ( y ) 1  d 1 2 2 5 5 1 2   2 x  1  4 x dx   2 1  1   0  dy  2 0 1 6
  10. dụ 2 Tính I   (2  x y )dl, với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  1 C b 2 Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))  1  y ( x) a  '  dx hưng việc tính toán phức tạp. iết phương trình tham số cung C. ặt x  r cos t ; y  r sin t 2 2 ì x  y  1, nên r = 1.  x  cos t hương trình tham số của nửa trên cung tròn:  ; 0t   y  sin t  2 2  2   (2  cos t  sin t )  ' x (t )    y (t ) dt   (2  cos2t  sin t )dt  2  2 '  0 0 3
  11. dụ Tính I   ( x 2  y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2  y 2  2 x; x  1. C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  2 x , nên r  2cos t Phương trình tham số của C:  x  2cos t  cos t  1  cos 2t    ; - t   y  2cos t  sin t  sin 2t 4 4  /4 2 2  (2  2cos 2t ) (  2sin 2t )  (2cos 2t ) dt  / 4
  12. Ví dụ 4 2 2 Tính I   xy dl , với C là nửa bên phải đường tròn x  y  16; x  0. C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  16 , nên r4  x  4  cos t   Phương trình tham số của C:  ;  t   y  4  sin t 2 2  /2  /2 2 6 6 4   4cost  4 sin t (4sin t )  (4cos t ) dt  4  cost  sin tdt  5  4 4 4 2 2  / 2  / 2
  13. í dụ Tính I   2 xdl , với C là giao của x 2  y 2  4 và x + z = 4 C  x  r cos t  Đặt  y  r sin t  z  4  r cos t  Vì x 2  y 2  4, x  z  4 , nên r  2 Phương trình tham số của C:  x  2cos t   y  2sin t ; 0  t  2  z  4  2cos t  2 I   4cos t  (2sin t ) 2  (2cos t )2  (2sin t ) 2 dt  0 0
  14. Ví dụ 2 2 2 Tính I   ( x  y )dl , với C là phần đường tròn x  y  z  4; y  x. C Viết phương trình tham số cung C.  x  y  2  r cos t Đặt   z  2  r sin t 2 2 2 Vì x  y  z  4, y  x , nên r  1 hương trình tham số của C:  x  y  2 cos t  ; 0  t  2  z  2sin t 2   0  2cost  2 cos t  ( 2 sin t ) 2  ( 2 sin t ) 2  (2cos t )2 dt
  15. Ví dụ 2 2 2 Tính I   x 2 dl , với C là phần đường tròn x  y  z  4; x  y  z  0. C Viết phương trình tham số cung C phức tạp. I   x 2 dl   y 2 dl   z 2 dl C C C 1   I   x 2  y 2  z 2 dl 3C  4 I   dl 3C 4   độ dài cung C (chu vi đường tròn) 3 4 16 I   4  3 3
  16. Ví dụ Tính I   ( x  z )dl , với C là đường x  3cos t , y  3sin t , z  t , 0  t  4 . C x2  y2  9 Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm trên hình trụ. 4 2 2 2 I   (3cos t  t ) 0  x (t )    y (t )    z (t )  dt ' ' ' 4 I   (3cos t  t ) 10dt  8 2 10 0
  17. II. Tích phân đường loại hai. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- P  P ( x, y ), Q  Q ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ),..., An ( xn , yn ). Trên mỗi cung Ak Ak 1 lấy tuỳ ý một điểm M k ( xk , yk ). n Lập tổng Riemann: I n    P( M k )  ( xk  xk 1 )  Q( M k )  ( yk  yk 1 )  i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   P ( x, y )dx  Q( x, y )dy C được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.
  18. II. Tích phân đường loại hai -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại hai 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy AB BA 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy C C1 C2 Giải thích.
  19. Cách tính tích phân đường loại hai 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.  P( x, y )dx  Q ( x, y )dy   P ( x, y )dx   Q( x, y )dy C C C n  P( x, y ) dx  lim  P( xk , yk )  xk C n k 1 Chia [a,b] thành n đoạn: a  t0  t1  t2    tn  b ñònh lyù Lagrange xk  xk  xk 1  x (tk )  x (tk 1 )  x ' (tk )  tk Chọn điểm trung gian Mk x (tk ), y (tk )   n b  C P ( x , y ) dx  lim  P x ( t k 1 k  ), y ( tk ) x ( tk  )  ' tk    P x ( t ), y ( t )  '  (t )dt x a b b ' '  P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy   P  x (t ), y (t )   x (t ) dt   Q  x (t ), y (t )   y (t )dt C a a
  20. Cách tính tích phân đường loại hai Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. x2  C P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy   P x1 (  x , y ( x ))  Q ( x , y ( x ))  y '  ( x) dx 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. y2  C P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy   P y1 ( x( y ), y )  x '  ( y )  Q( x( y ), y ) dy

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản