![](images/graphics/blank.gif)
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh
lượt xem 54
download
![](https://tailieu.vn/static/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường loại 1, tích phân đường loại hai; định nghĩa, cách tính; công thức Green; tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh
- Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
- Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I –Tích phân đường loại 1 II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Công thức Green II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi.
- I. Tích phân đường loại một. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- An Mn A2 An M2 A1 M1 A0
- I. Tích phân đường loại một. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f f ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1 ,..., An . Độ dài tương ứng L1 , L2 ,..., Ln . Trên mỗi cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ). n Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) Li i 1 I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I f ( x, y ) dl C được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.
- I. Tích phân đường loại một -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại một 1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C. 2) L(C ) 1dl 3) fdl fdl 4) ( f g )dl fdl gdl C C C C C C 5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau: fdl fdl fdl C C1 C2 7) ( x, y ) C , f ( x, y ) g ( x, y ) fdl gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho fdl f ( M 0 ) L C
- Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 n f ( x , y ) dl lim f ( M i ) Li C n i 1 Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1: ti 1 2 2 2 2 Li ti x (t ) y (t ) dt x (t ) y (t ) t ' ' ' i ' i i ti ti ti 1 Chọn điểm trung gian M có tọa độ x(t ), y (t ) i i i n 2 2 f ( x, y )dl lim f x(t ), y (t ) x (t ) y (t ) ' ' i i i i ti C n i 1 t2 2 2 C f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) t1 x (t ) y (t ) ' ' dt
- Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t2 2 2 C f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) t1 x (t ) y (t ) ' ' dt ' 2 t2 y (t ) ' f ( x(t ), y (t )) 1 ' x (t ) dt t1 x (t ) b 2 f ( x, y )dl f ( x, y ( x)) 1 y ( x) C a ' dx Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c y d d 2 f ( x, y )dl f ( x( y ), y ) 1 x ( y ) C c ' dy
- I. Tích phân đường loại một. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian. f f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian. x x(t ) C cho bởi phương trình tham số: y y (t ), t1 t t2 z z (t ) I f ( x, y, z )dl C t2 2 2 2 C f ( x, y, z )dl f ( x(t ), y (t ), z (t )). t1 x (t ) y (t ) z (t ) ' ' ' dt
- dụ 2 x Tính I x3dl, trong đó C là cung parabol y , 0 x 3 C 2 b 2 3 3 58 ' f ( x, y ( x)) 1 y ( x) a dx x 3 ' 2 1 ( y ( x)) dx x 3 2 1 x dx 15 0 0 Ví dụ Tính I 2 xdl , trong đó C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 1 2 2 2 2 xdl 2 xdl 2 xdl 2 x 1 y ( x) C C1 C2 0 ' ' dx 2 x( y ) 1 x ( y ) 1 d 1 2 2 5 5 1 2 2 x 1 4 x dx 2 1 1 0 dy 2 0 1 6
- dụ 2 Tính I (2 x y )dl, với C là nửa trên đường tròn x 2 y 2 1 C b 2 Có thể dùng công thức I f ( x, y ( x)) 1 y ( x) a ' dx hưng việc tính toán phức tạp. iết phương trình tham số cung C. ặt x r cos t ; y r sin t 2 2 ì x y 1, nên r = 1. x cos t hương trình tham số của nửa trên cung tròn: ; 0t y sin t 2 2 2 (2 cos t sin t ) ' x (t ) y (t ) dt (2 cos2t sin t )dt 2 2 ' 0 0 3
- dụ Tính I ( x 2 y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2 y 2 2 x; x 1. C Viết phương trình tham số cung C. x r cos t Đặt y r sin t Vì x 2 y 2 2 x , nên r 2cos t Phương trình tham số của C: x 2cos t cos t 1 cos 2t ; - t y 2cos t sin t sin 2t 4 4 /4 2 2 (2 2cos 2t ) ( 2sin 2t ) (2cos 2t ) dt / 4
- Ví dụ 4 2 2 Tính I xy dl , với C là nửa bên phải đường tròn x y 16; x 0. C Viết phương trình tham số cung C. x r cos t Đặt y r sin t Vì x 2 y 2 16 , nên r4 x 4 cos t Phương trình tham số của C: ; t y 4 sin t 2 2 /2 /2 2 6 6 4 4cost 4 sin t (4sin t ) (4cos t ) dt 4 cost sin tdt 5 4 4 4 2 2 / 2 / 2
- í dụ Tính I 2 xdl , với C là giao của x 2 y 2 4 và x + z = 4 C x r cos t Đặt y r sin t z 4 r cos t Vì x 2 y 2 4, x z 4 , nên r 2 Phương trình tham số của C: x 2cos t y 2sin t ; 0 t 2 z 4 2cos t 2 I 4cos t (2sin t ) 2 (2cos t )2 (2sin t ) 2 dt 0 0
- Ví dụ 2 2 2 Tính I ( x y )dl , với C là phần đường tròn x y z 4; y x. C Viết phương trình tham số cung C. x y 2 r cos t Đặt z 2 r sin t 2 2 2 Vì x y z 4, y x , nên r 1 hương trình tham số của C: x y 2 cos t ; 0 t 2 z 2sin t 2 0 2cost 2 cos t ( 2 sin t ) 2 ( 2 sin t ) 2 (2cos t )2 dt
- Ví dụ 2 2 2 Tính I x 2 dl , với C là phần đường tròn x y z 4; x y z 0. C Viết phương trình tham số cung C phức tạp. I x 2 dl y 2 dl z 2 dl C C C 1 I x 2 y 2 z 2 dl 3C 4 I dl 3C 4 độ dài cung C (chu vi đường tròn) 3 4 16 I 4 3 3
- Ví dụ Tính I ( x z )dl , với C là đường x 3cos t , y 3sin t , z t , 0 t 4 . C x2 y2 9 Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm trên hình trụ. 4 2 2 2 I (3cos t t ) 0 x (t ) y (t ) z (t ) dt ' ' ' 4 I (3cos t t ) 10dt 8 2 10 0
- II. Tích phân đường loại hai. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- P P ( x, y ), Q Q ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ),..., An ( xn , yn ). Trên mỗi cung Ak Ak 1 lấy tuỳ ý một điểm M k ( xk , yk ). n Lập tổng Riemann: I n P( M k ) ( xk xk 1 ) Q( M k ) ( yk yk 1 ) i 1 I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I P ( x, y )dx Q( x, y )dy C được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.
- II. Tích phân đường loại hai -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại hai 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. Pdx Qdy Pdx Qdy AB BA 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau: Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy C C1 C2 Giải thích.
- Cách tính tích phân đường loại hai 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung. P( x, y )dx Q ( x, y )dy P ( x, y )dx Q( x, y )dy C C C n P( x, y ) dx lim P( xk , yk ) xk C n k 1 Chia [a,b] thành n đoạn: a t0 t1 t2 tn b ñònh lyù Lagrange xk xk xk 1 x (tk ) x (tk 1 ) x ' (tk ) tk Chọn điểm trung gian Mk x (tk ), y (tk ) n b C P ( x , y ) dx lim P x ( t k 1 k ), y ( tk ) x ( tk ) ' tk P x ( t ), y ( t ) ' (t )dt x a b b ' ' P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P x (t ), y (t ) x (t ) dt Q x (t ), y (t ) y (t )dt C a a
- Cách tính tích phân đường loại hai Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. x2 C P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P x1 ( x , y ( x )) Q ( x , y ( x )) y ' ( x) dx 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. y2 C P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P y1 ( x( y ), y ) x ' ( y ) Q( x( y ), y ) dy
![](images/graphics/blank.gif)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh
70 p |
469 |
85
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh
58 p |
241 |
60
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh
63 p |
283 |
58
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 6 - TS. Đặng Văn Vinh
73 p |
241 |
56
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh
39 p |
169 |
45
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)
66 p |
240 |
37
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (P1)
70 p |
161 |
24
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 5: Chuỗi số - chuỗi lũy thừa
78 p |
52 |
11
-
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến (Phần 3)
57 p |
117 |
8
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân
107 p |
64 |
8
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 3: Tích phân đường
55 p |
80 |
8
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 4: Tích phân mặt
69 p |
78 |
7
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 2: Tích phân bội
166 p |
63 |
6
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 0 - Trần Ngọc Diễm
16 p |
43 |
3
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Hoàng Đức Thắng
35 p |
73 |
2
-
Bài giảng Giải tích B2: Đạo hàm riêng & sự khả vi của hàm số nhiều biến
106 p |
3 |
1
-
Bài giảng Giải tích B2: Vi tích phân của hàm số nhiều biến
72 p |
1 |
0
![](images/icons/closefanbox.gif)
![](images/icons/closefanbox.gif)
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
![](https://tailieu.vn/static/b2013az/templates/version1/default/js/fancybox2/source/ajax_loader.gif)