Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân hai mặt" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2, công thức Gauss, công thức Stokes,.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 4: Tích phân mặt
- CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S
thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và
diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trên
mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ývà lập tổng
n
Sn f (Mk ) Sk
k 1
Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của
mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu
hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)
trên mặt S, kí hiệu là
n
f ( x, y , z )ds lim f (Mk ) Sk
max( d Sk ) 0 k 1
S
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Tính chất :
Diện tích mặt S được tính bởi S ds
S
( f g )ds fds gds
S S S
Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên
nhau là S1 và S2 thì
fds fds fds
S S1 S2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Cách tính:
f ( x, y , z )ds f ( x, y , z( x, y )) 1 zx2 zy2dxdy
S Dxy
Trong đó :
Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0)
Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để
được z=z(x,y)
Biểu thức 1 zx2 zy2dxdy ds được gọi là vi
phân của mặt S
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt
nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z
Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1
x
zx
x2 y2
Pt mặt S (z dương) z x2 y2 →
y
zy
2 2
x y
Suy ra: ds 2dxdy Vậy:
I1 (x y z )ds (x y x2 y 2 ) 2dxdy
S Dxy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Đổi tp sang tọa độ cực:
2 1
I1 d cos sin r rdr
0 0
2
I1
3
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z
trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,
x+2y+3z=6
C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2
cũng được chia làm 4 tp
Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 →
ds=dydz, chiếu xuống mp
x=0 ta được Dyz: ΔOBC
B
O
I21 fds (2y 3z )dydz
A
( x 0) OBC
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa
độ còn lại
I22 fds (x 3z )dxdz
( y 0) OAC
B
O
I23 fds (x 2y )dxdy
( z 0) OAB
A
Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta
chiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt :
2 1 4 1 14
z 2 y x ds 1 dxdy dxdy
3 3 9 9 3
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
14
Do đó: I24 fds 6. dxdy
( x 2 y 3 z 6) OAB 3
I2 I21 I22 I23 I24
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trên
mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu
x2+y2+z2=2
Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì
cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ
là 1 đường tròn x2+y2=1
Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta
sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách
khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1
Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x 1 y2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận
x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp
cũng là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần
mặt S với x>0 rồi nhân đôi.
y
xy
x 1 y2 1 y2
xz 0
1
ds dydz
1 y2
Vậy:
1 1
1 2z
I3 2 dy dz
2
1 1 1 y
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid
y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0
Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của
paraboloid là Dxz : x2+z2≤1
Pt mặt S: 2 2 yx 2x
y 1 x y
yz 2z
Vậy: S4 ds 1 4x 2 4z 2dxdz
S4 Dxz
2 1
2
S4 d r 1 4r dr 125 1
0 0 6
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Vecto Gradient: Cho mặt cong S có pt là F(x,y,z)=0.
Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto
F (M ) Fx (M ), Fx (M ), Fx (M )
Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu các đạo hàm
riêng F’x, F’y, F’z liên tục và không đồng thời bằng 0
trên S tức là vecto gradient của F liên tục và khác 0
Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thì ta đặt
F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 ( x, y ) D
Lúc đó, mặt S trơn nếu các đạo hàm riêng z’x, z’y
liên tục trên D
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng
hay là mặt 2 phía nếu tại điểm M bất kỳ của S xác
định được vecto pháp đơn vị n(M ) sao cho hàm
vecto n(M ) liên tục trên S
Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định
hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp
dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta
đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu
Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng
được với pháp vecto đơn vị là
F
n
| F|
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Pháp vecto đơn vị trên còn có thể viết bằng cách
khác: n (cos ,cos ,cos )
Trong đó α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3
trục Ox, Oy, Oz với pháp vecto
Để xác định pháp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0,
ta sẽ làm theo 3 bước sau:
1. Tính F (Fx , Fy , Fz )
2. Xác định 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc là nhọn hay
là tù để suy ra 1 trong 3 tọa độ của pháp vecto là
dương hay âm
3. Xác định dấu của pháp vecto
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía
trên mặt phẳng x+2y+4z=8
Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0)
2 → F (1,2,4)
n Hướng của mặt S là phía trên
tức là vecto pháp cùng hướng
với nửa dương trục Oz, nên:
4
g (Oz, n ) → cosγ>0
2
8
Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa
1
n (1,2,4) độ thứ 3 là dương.
21
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu
x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto của S
Pt mặt S là
F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0)
F (2x,2y ,2z )
Cho S là phía trên tức là pháp
vecto cùng hướng với nửa
dương trục Oz, suy ra góc γ≤π/2
nên cosγ>0
Vì mặt S chỉ tính với z dương
nên ta chọn dấu “+” để tọa độ
( x, y , z )
n thứ 3 của pháp vecto dương
R
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
( x, y , z )
n
R
Khi đó, 2 góc α, β là nhọn
hay tù sẽ phụ thuộc vào
x, y là dương, hay âm
Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0
→ α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2
Với y≥0: cosβ≥0 → β≤π/2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥π/2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 3: Tính pháp vecto của mặt S là phía ngoài
mặt trụ x2+y2=1
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0)
F ( x, y ,0)
Rõ ràng, S là mặt trụ song song
với trục Oz nên pháp vecto
vuông góc với trục Oz tức là
γ=π/2 → cosγ=0
Pháp vecto hướng ra phía
ngoài, ta sẽ so với nửa dương
n ( x, y ,0) trục Oy, thì β≤π/2 → cosβ≥0
Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của
vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của
mặt trụ z=x2
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0)
F (2x,0, 1)
Mặt S là phía dưới tức là
pháp vecto ngược với hướng
nửa dương trục Oz, tức là
γ>π/2 → cosγ
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
