Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, cách tính tích phân kép; tọa độ cực, ứng dụng hình học, ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh
- Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến
Chương 3: Tích phân kép
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
- Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép
0.2 – Tọa độ cực
0.3 – Ứng dụng hình học
0.4 – Ứng dụng cơ học
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f f ( x, y )
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
Tìm thể tích vật thể.
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
Tìm thể tích vật thể.
1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, ..., Dn.
Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn .
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi ) S Di
n
3) Thể tích của vật thể: V f ( M i ) S Di Vn
i 1
4) V limVn
n
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa tích phân kép
Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.
Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)
n
I f ( x, y )dxdy lim f ( M i ) S Di
D n i 1
Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân kép
1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì
khả tích trên miền này.
2) S D 1dxdy
D
3) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy
D D
4) f ( x, y ) g ( x, y ) dxdy f ( x, y )dxdy g ( x, y )dxdy
D D D
5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy
D D1 D2
6) ( x, y ) D, f ( x, y ) g ( x, y ) fdxdy gdxdy
D D
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2 2
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x , y ) 16 x 2 y
giới hạn dưới bởi hình vuông: R [0,2] [0,2]
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R.
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.
- 4
V Vn f ( M i ) S Di
i 1
S Di 1,i 1,...,4.
V f (1,1) f (1, 2) f (2,1) f (2, 2)
V 13 7 10 4 34.
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tính (Định lý Fubini) Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
y=y2(x)
y=y1(x)
a b
1) Giả sử D xác định bởi:
b y2 ( x )
a x b
I f ( x, y )dxdy dx f ( x, y )dy
y1 ( x) y y2 ( x) D a y1 ( x )
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini) x=x1(y)
d
x=x2(y)
c
) Giả sử D xác định bởi:
d x2 ( y )
c y d I f ( x, y )dxdy dy f ( x, y )dx
D c x1 ( y )
x1 ( y ) x x2 ( y )
- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu e) 0 x 2
2
0 y 2
2
2 2
nh thể tích của vật thể. V 16 x 2 y
R
2 2
dxdy dx 16 x 2
2 y 2 dy
0 0
2 2 3 2
2 y 2 16
(16 x ) y 2 dx 32 2 x dx 48
0 3 0 0 3
- Ví dụ
Tính tích phân kép I xydxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
D
y 2 x 2 , y x.
2 x 1
2
x y 2 x
1 2 x 2
I xy dxdy dx xy dy
D 2 x
2
2 2 x
1 y
x dx
2 2 x
1 (2 x 2 ) 2 x2
x x dx
2 2 2
- Ví dụ
Tính tích phân kép I ( x y )dxdy , trong đó D là tam giác OAB, với
D
O (0,0), A(1,1), B (2, 0).
0 x 2
0 y ?
A Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2
D1 D2 I
D D1 D2
B
1 x 2 2 x
I dx ( x y )dy dx ( x y )dy
0 0 1 0
Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
