Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 5: Chuỗi số - chuỗi lũy thừa
lượt xem 11
download
Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức: Chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi đan dấu, chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor - Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 5: Chuỗi số - chuỗi lũy thừa
- CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1. CHUỖI SỐ DƯƠNG 2. CHUỖI ĐAN DẤU 3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1. CHUỖI LŨY THỪA 2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) un là chuỗi số n 1 Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S lim Sn n Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng un lim Sn S n 1 n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 n ... 2 1 un n 2 4 8 16 2 2 22 23 24 2n ... un 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi n 2 5 2 7 Tính u5? u5 n 1 4n 1 4.5 1 19 (2n 1)!! Tính u6 n 1 (n 1)! (2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 u6 (6 1)! CuuDuongThanCong.com 7! 1.2.3.4.5.6.7 https://fb.com/tailieudientucntt 48
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân qn n 0 Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi n, q 1 Sn 1 q q 2 ... q n 1 qn ,q 1 1 q Rõ ràng khi q=1, Sn=n thìchuỗi là phân kỳ 1 Khi |q|1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi cấp số nhân q n hội tụ khi và chỉ khi |q|
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1 1 Ví dụ: Tính tổng của chuỗi n n n 0 3 5 Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có 1 1n 1 3 n ( ) n 03 n 0 3 1 1 2 3 1 1n 1 5 n ( ) n 0 5 n 0 5 1 1 4 5 1 1 3 5 1 Vậy: n n n 0 3 5 2 4 4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1 Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2 n 1 4n 1 Tổng riêng: Sn u1 u2 ... un 1 1 1 1 Ta có: un 2 ( ) 4n 1 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2Sn ... 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 2Sn 1 2n 1 Tổng của chuỗi: 1 1 S 2 lim Sn n 1 4n 1 n 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ln(1 ) n 1 n Tổng riêng: n 1 n Sn ln(1 ) ln(1 k ) ln k k 1 k k 1 Sn (ln2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln(n 1) ln n) Sn ln(n 1) Ta có: S n lim Sn lim ln(n n 1) Vậy chuỗi đã cho phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi un hội tụ thì un→0 n 1 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh 1. lim un 0 n 2. lim un n Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht n n , v? lim un lim 1 0 n 1n 1 n n n 1 ( 1)n n ( 1)n n , v? lim 1 0 n 1 n n n n n n , v? lim un lim 1 0 n 1 ( 1) n CuuDuongThanCong.com n n ( 1)n n https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ un v? un n 1 n p Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ un Q v? vn P n 1 n 1 Các chuỗi sau hội tụ với tổng un vn Q P, un = Q n 1 n 1 Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Chuỗi số un , un 0 với tất cả các số hạng n 1 không âm thì gọi là chuỗi không âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2. Tiêu chuẩn so sánh 3. Tiêu chuẩn Cauchy 4. Tiêu chuẩn d’Alembert CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). Khi ấy, chuỗi f (n ) HT khi và chỉ khi tp f ( x )dx HT n 1 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 n 1n 1 * Khi α0: Xét hàm f ( x ) CuuDuongThanCong.com x tiêu chuẩn tích phân https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1 Vìtích phân dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên 1 x 1 Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Chuỗi n 1n 1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi n 2 n(ln n ) 1 Xét hàm f ( x ) trên [2,+∞), ta có x(ln x ) f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác khi 1 dx d (ln x ) 1 2 x (ln x ) 2 (ln x ) 1 khi >1 ( 1)(ln2) 1 Vậy chuỗi HT khi β>1 và PK khi β≤1 n 2 n(ln n ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho 2 chuỗi số không âm un v? vn thỏa n 1 n 1 p : un vn n p Khi ấy: 1. un HT v n HT n 1 n 1 2. v n PK un PK n 1 n 1 Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n n 13 1 Ta so sánh 2n 2n un n n vn, n 3 1 3 n n Vì 2 2 n 2 n q ,q là chuỗi hội tụ n 13 n 1 3 n 1 3 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho 2 chuỗi số không âm un v? vn thỏa un n 1 n 1 lim K n vn Khi ấy: 1. Nếu K=∞ thì un HT v n HT n 1 n 1 2. Nếu 0
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: n Hội tụ khi |q|1 1n n Phân kỳ khi α≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n 2 2n 2 3 n 1 n n 1 Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ Khi n→∞ thì un n 2 2n 2 1 3 vn n n 1 n Tức là lim un 1 (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) n vn Mà 1 vn là chuỗi phân kỳ n 1 n 1n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n 1 1 n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 n 1n n n 1 1 n 1 Khi n→∞ thì un 2 2 .e vn n n n 1 Mà chuỗi vn 2 .e hội tụ n 1 n 1n Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2n 1 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ln n 1n 1 n 1 Ta có : 1 2n 1 1 3 un ln ln 2(1 n 1 n 1 n 1 2(n 1) 1 3 ln2 1 3 un ln2 ln(1 ) ln(1 ) n 1 2(n 1) n 1 n 1 2(n 1) Do 13 1 3 3 n : ln(1+ ) . n 1 2(n 1) n 1 2(n 1) 2(n 1)2 Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi ln2 PK v? 1 ln(1 3 ) HT n 2n 1 n 2n 2 2(n 1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh
70 p | 468 | 85
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh
58 p | 239 | 60
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh
63 p | 276 | 58
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 6 - TS. Đặng Văn Vinh
73 p | 237 | 56
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh
45 p | 239 | 54
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh
39 p | 169 | 45
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)
66 p | 230 | 37
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (P1)
70 p | 161 | 24
-
Bài giảng Giải tích 3 - ThS. Phan Văn Danh
62 p | 104 | 9
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân
107 p | 54 | 8
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 3: Tích phân đường
55 p | 78 | 8
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 4: Tích phân mặt
69 p | 70 | 7
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 2: Tích phân bội
166 p | 63 | 6
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 1
75 p | 44 | 5
-
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2
72 p | 24 | 5
-
Đề cương bài giảng Giải tích (Dùng cho hệ cao đẳng) - PGS.TS Tô Văn Ban
181 p | 13 | 4
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 0 - Trần Ngọc Diễm
16 p | 41 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn