Đề cương bài giảng Giải tích (Dùng cho hệ cao đẳng) - PGS.TS Tô Văn Ban

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:181

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề cương bài giảng Giải tích với mục tiêu giúp sinh viên nắm được các khái niệm về giới hạn dãy số, vài tính chất; Tìm giới hạn của một số dãy thông thường, dãy đơn điệu; Tìm giới hạn của một số hàm dùng các phép thay tương đương; Nắm được các tính chất của hàm liên tục, liên tục trên đoạn kín, giới nội. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng Giải tích (Dùng cho hệ cao đẳng) - PGS.TS Tô Văn Ban

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS TS TÔ VĂN BAN (Chủ biên), ThS Nguyễn Thị Thu Hương, ThS Phan Thu Hà ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Dùng cho hệ cao đẳng) Hà nội, 9-2014
BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG Thay mặt nhóm môn Chủ nhiệm Bộ môn học (Dùng cho hệ Cao đẳng, 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH (Cho Cao Tô Văn Ban Đẳng) Tô Văn Ban Nhóm môn học: Toán Cao cấp Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ thông tin Thông tin về giáo viên TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị 1 Tô Văn Ban Phó giáo sư TS 2 Nguyễn Thị Thu Hương Giảng viên ThS 3 Phan Thu Hà Giảng viên ThS Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1301, Nhà S4, 236 Hoàng Quốc Việt Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com Bài giảng1: Giới hạn – Liên tục – Đạo hàm Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến Mục: §1.1 Giới hạn của dãy số (1t) §1.2 Giới hạn của hàm số (1t) §1.3 Sự liên tục của hàm số (1t) §1.4. Đạo hàm và vi phân (1t) Bài tập Giới hạn của hàm số (1t) Tiết thứ: 1-5, Tuần thứ: 1 - Mục đích, yêu cầu:  Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa chỉ Giáo viên, bầu lớp trưởng Học phần.  Nắm được các khái niệm về giới hạn dãy số, vài tính chất;  Tìm giới hạn của một số dãy thông thường, dãy đơn điệu;  Tìm giới hạn của một số hàm dùng các phép thay tương đương;  Nắm được các tính chất của hàm liên tục, liên tục trên đoạn kín, giới nội.  Nắm được những khái niệm căn bản về đạo hàm, tính đúng đạo hàm một số hàm số - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t 1
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: Giới thiệu môn học GIẢI TÍCH (Cho CĐ - 15 phút) Giải tích toán học là bộ môn của toán học liên quan đến những vấn đề của biến đổi và chuyển động. Phương tiện chủ yếu của nó là nghiên cứu các đại lượng vô cùng bé. Nó đề cập đến chuyện những đại lượng nọ tiến đến những đại lượng kia. Hai nhánh chính của giải tích là phép tính vi phân và phép tính tích phân được liên hệ với nhau bởi định lý cơ bản của giải tích.  Ngày nay, giải tích dùng để tính toán quỹ đạo của các vệ tinh, dự báo kích cỡ quần thể, các chỉ số kinh tế, dự báo thời tiết, đo thông số tim mạch, tính toán phí bảo hiểm ...  Một số chứng minh định lý ... được lược giản. Chúng tôi chú trọng đến khía cạnh áp dụng của vấn đề. Những ví dụ, bài tập có tính ứng dụng cao trả lời cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng ra sao với các môn học tiếp, với năng lực người kỹ sư tương lai.  Chúng ta sẽ thấy rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn  Các khái niệm, định lý, tính chất ... thường được phát biểu bằng lời và kết hợp với công thức... Chính sách riêng  Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào điểm quá trình 0.5 điểm. Chữa bài tập sai không bị trừ điểm.  Không đi học hơn 4 buổi trở lên sẽ không được thi. BÀI TẬP VỀ NHÀ Chữa trên lớp các bài sau Chương 1: Giới hạn, liên tục … (tài liệu 1) 1(a,c), 2(a,c) 3(a,b), 4(b,d), 5(a,c), 6(a,b), 7(b), 8, 9(a), 10(b), 11(a,b), 12(a,b), 13, 14(a,b,c,d), 15(c,d,e), 16(b,c), 17(a,b), 18(a,b), 19(b,c), 20(a,b), 21, 22(b), 23(b,c). Chương 2: Tích phân (tài liệu 1) 1(b,c), 2(b), 3(a,b), 4(a,b), 5(b,c), 6(b,c,d), 7, 8, 9(a), 10(b,c,d,e), 11(a,b,c), 12(a,b,c), 13(a,b), 14(a), 15(b), Chương 3: Hàm nhiều biến (tài liệu 2) 2
1(a,b,c), 2(a,b), 3(c,d), 4(b,c), 5(b,c,d,e), 6(a), 7(a,b), 9, 10(a,b), 11(a,b), Chương 4: Tích phân bội – đường – mặt (tài liệu 2) 1(a,b,c,f,g), 2(a,b,c,d), 3(a,b,c), 4(a,b,c). Chương 5: Chuỗi (tài liệu 1) 1(a,b,c), 2(a,b), 3(a,b,c), 4(a,b,c), 5(a,b), 6(a,b,c,e), 7(b,c,d,e), 8(a,b,c,d). Chương 6: PTVP (tài liệu 2) 1(a,b,c,d), 2(a,b,c,d,h), 3(a,b,c,e), 4(a,b), 5(a,b,c), 6(a,b,c,d,e,g). (Khoảng trên 150 ý – Xem ở cuối tài liệu) Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb 1 Giáo trình Giải tích I Tô Văn Ban Giáo dục 2012 2 Giáo trình Giải tích II Tô Văn Ban Giáo dục 2012 3 Toán học cao cấp Nguyễn Đình Trí và Giáo dục 2007 (T2,3) … 4 Giải tích 1 Trần Bình KH và KT 2007 5 Bài tập giải tích Nguyễn Xuân Viên HVKTQS 2006 6 Bài tập Giải sẵn giải Trần Bình KH và KT 2007 tích I 7 Cho CĐ CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm tối đa Câu 1 Chương 1: Giới hạn, liên tục, đạo 1.5 đ hàm Câu 2 Chương 2: Tích phân 1.5 đ Câu 3 Chương 3: Hàm nhiều biến 2.0 đ Câu 4 Chương 4: Tích phân bội, tích 2.0 đ phân đường, tích phân mặt Câu 5 Chương 4: Chuỗi 1.5 đ Chương 6: Phương trình vi phân 1.5 đ Điểm bài thi 10đ Điểm quá trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% 10đ + điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70% Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả: Số điện thoại giáo viên: 3
Địa chỉ Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số) Cách đọc chữ cái Hy lạp Chương 1 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN § 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ (1 tiết) 1.1.1. Sự hội tụ - Phân kỳ a. Những khái niệm và kết quả mở đầu a.1. Dãy số Một ánh xạ xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị thực u :   , n    u(n)   được gọi là một dãy số. u1  u(1) : số hạng thứ nhất, …, u n  u(n) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. Ký hiệu dãy số bởi {u n , n  1,2,...} hay {u n , n  1} hay đơn giản {u n } . Dãy số cũng được viết dưới dạng khai triển: u1 ,u 2 ,...,u n ,... Cũng hay xét các dãy {u n , n  n 0 , n 0  1,...} , chẳng hạn  1   1   1   , n  1 ,  , n  3 ,  , n  1 .  n  2   n  2   n  2  1 1 1 1 1 1 1 1 Chúng lần lượt là , , ,... , , , ,..., 1, , ,... 3 4 5 5 6 7 2 3 a.2. Sự hội tụ, phân kỳ của dãy số Định nghĩa. Dãy {u n } được gọi là hội tụ đến giới hạn  (hay có giới hạn  ) nếu với mọi số   0 , tồn tại N   sao cho | u n   |  , n  N . Khi đó ta viết lim u n   hay u n   (n  ). n  Hình ảnh trực quan của điều này là: Từ chỉ số N đủ lớn trở đi, u n sẽ "rơi" vào lân cận (  ,   ) . Chú ý. Rất dễ dàng nhận được kết quả: lim u n    lim | u n   | 0 . n  n  4
a.3. Dãy bị chặn Ta nói dãy { u n } là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) nếu tập hợp {u n , n  1, 2, ...} là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới). b. Tính chất về thứ tự của giới hạn Định lý 1.1. Giả sử {u n }, {v n } là hai dãy thỏa mãn điều kiện u n  v n với n  N nào đó và tồn tại các giới hạn lim u n  u; lim v n  v . Khi đó u  v . n  n  Định lý 1.2 (Định lý kẹp). Cho {u n }, {v n }, {w n } là ba dãy. Nếu từ một chỉ số N nào đó trở đi xảy ra bất đẳng thức u n  w n  v n còn {u n } và {v n } cùng hội tụ đến giới hạn  thì {w n } cũng hội tụ đến  . n  N, u n  w n  v n ;  lim u  lim u    lim w n   .  n  n n  n n  c. Các phép toán về giới hạn Định lý 1.3. Cho {u n }, {v n } là hai dãy, , ,  là ba số thực. (a ) u n   (n  )  | u n ||  | (n  ). (b) u n  0 (n  )  | u n || 0 | (n  ).  u   (n   ) (c)  n  u n  v n     (n  ).  v n   (n   ) (d) u n   (n  )  u n    (n   ).  u n  0 (n  ) (e)   u n v n  0 (n  ). {v n } bÞchÆ n  u n   (n  ) (f )   u n v n   (n  ).  v n    (n  ) 1 1 (g) u n    0 (n  ) thì  (n   ) . un  un  (h) u n  , v n    0 (n  ) thì lim  . n  v n  d. Giới hạn vô hạn Ta nói dãy {u n } tiến đến + (hay {u n } có giới hạn + ) nếu: L  0, N   : n  N, u n  L. Khi đó ta viết lim u n   hoặc u n   (n  ) . n  Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa của ký hiệu u n   (n  ) . Ta nói dãy {u n } tiến đến  (hay {u n } có giới hạn  , {u n } nhận  làm giới hạn) nếu: L  0, N   : n  N, | u n |  L. Định lý 1.4. Cho hai dãy {u n }, {v n } . 5
N  , n  N, u n  v n  lim u n     lim v n   . n   n  Định lý 1.5. Cho hai dãy {u n }, {v n } . * u n   (n   )  (a)   u n  v n   (n  ) v n bÞchÆ n d í i  * u n   (n   )    u n  v n   (n  ) v n   (n  )  * u n   (n   )    u n  v n   (n  ) v n   (n   )  u n   (n   )  (b)   u n v n   (n   ) C  0, N  , n  N, v n  C  1 (c) u n   (n  )   0 (n   ) . un u n  0 (n  )  1 (d)    (n  ) . N, n  N, u n  0  u n Như vậy, khi gặp các giới hạn dạng như ở Định lý trên, ta coi đấy là các giới hạn thông thường, không phải là dạng vô định, không cần phải "khử dạng vô định". Ví dụ 1.1. Xét sự hội tụ của dãy n a  , (a  0) . Kết quả: lim n a  1 (a  0). (1.1) n  n Ngoài ra lim n 1 (Mạnh hơn!) n  1.1.2. Dãy đơn điệu a. Định nghĩa. Dãy {u n } được gọi là tăng (giảm) nếu với mọi n u n  u n 1 (u n  u n 1) . Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Định lý 1.6. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ. Hệ quả. Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới +  , Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới -  . Ví dụ 1.2. Chứng minh được dãy sau đây tăng và bị chặn bởi 3: n 1 1 1 1 un   k!  1  1!  2!  ... n! , n = 1, 2, . . . k 0 Vậy dãy này có giới hạn, gọi là e. Ta biết e  2.718 281 828 . n  1 (Một định nghĩa khác của số e là: e  lim 1   ). # n   n 6
§ 1.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (1 tiết) 1.2.1. Sơ lược về hàm số Các phương pháp biểu diễn hàm số Hàm số được biểu diến theo một trong 4 cách:  Bằng biểu thức  Bằng bảng số liệu  Bằng đồ thị  Bằng lời 1.2.2. Hàm số ngược a. Hàm số ngược Cho hàm số y  f (x) với tập xác định là X, tập giá trị là Y. Giả sử ánh xạ f: X  Y x  X  y  f (x)  Y là một song ánh (đơn ánh và toàn ánh). Khi đó ánh xạ ngược x  f 1(y) được gọi là hàm ngược của hàm y = f(x) đã cho. Theo thói quen, ta dùng chữ x để chỉ đối số, chữ y để chỉ hàm số. Như vậy ta sẽ ký hiệu hàm ngược của hàm y  f (x) là y  f 1 (x), x  Y . Tính chất. * Nếu hàm f(x) đồng biến (hay nghịch biến) thì hàm ngược cũng đồng biến (hay nghịch biến). * Hàm f(x) là lẻ thì hàm ngược cũng lẻ; hàm chẵn không có hàm ngược. * Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm xuất phát qua phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ví dụ 1.3.1. y  x 2 , x  0  x  y, y  0. Hàm ngược là y  x . Lưu ý rằng hàm y  x 2 , x   không có hàm ngược. #   Ví dụ 1.4. Xét hàm số y  sin x,   x  . Hàm số này đồng biến. 2 2 Vậy tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arcsinx hay đầy đủ hơn y  arcsin x,  1  x  1 . Đồ thị như Hình 2.1a. #    Ví dụ 1.5. Hàm số y  tan x, x    ;  đồng biến, nó có hàm ngược, ký hiệu là  2 2 arc tan x - hay đầy đủ hơn - y  arc tan x, x  (; ) . Đây là hàm lẻ, đồng biến, và đồ thị của nó cho ở Hình 2.1b. Lưu ý rằng   arc tan()  lim arc tan x   ; arc tan( )  lim arc tan x  . # x  2 x  2 7
(a) (b) Hình 1. 1. Hàm sinx và hàm arcsinx (a), và hàm arctan x (b) b. Một số hàm sơ cấp cơ bản Hàm lũy thừa: y  x  , x  0 (   ) . Hàm số mũ: y  ax (a  0) . Hàm số logarit: y  log a x, x  0 (0  a  1) . Hàm lượng giác: y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x . Hàm lượng giác ngược:   y  arcsin x, x [  1;1] là hàm ngược của hàm y  sinx,  x . 2 2 y  arc cos x, x  [  1; 1] là hàm ngược của hàm y  cosx, 0  x .   y  arctan x, x  (; ) là hàm ngược của hàm y  tan x,  x . 2 2 y  arc cot x, x  (; ) là hàm ngược của hàm y  cot x, 0  x  . Hàm lượng giác hyperbolic: e x  e x cosh x  : cos hyperbol; 2 e x  e x sinh x  : sin hyperbol; 2 sinh x th x  : tan hyperlol; cosh x cosh x cth x  : cotang hyperrbol. sinh x Hàm sơ cấp: Gồm các hàm sơ cấp cơ bản, các hàm tạo bởi một số hữu hạn lần các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa và hợp các hàm sơ cấp cơ bản. 1 1 Lưu ý: Một số tài liệu dùng hàm: csc x  , sec x  . sin x cos x 8
1.2.4. Một số hàm số thông dụng khác a. Hàm bước nhảy đơn vị y(x) d. Hàm dấu Hàm dấu sgn x (đọc là signum của x) (có thể viết sign x) cho bởi y ln x  x ln y Hình 1.2. Đồ thị của hàm bước nhảy đơn vị (trái) và hàm dấu (phải) 1.2.4. Giới hạn hàm số * Nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho gần số L một cách tùy ý khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a) thì ta nói rằng giới hạn của hàm f(x) khi x dần đến a bằng L, và ta viết lim f (x)  L . x a (Chính xác là   0,    0,  x : 0  x  a   thì f (x)  L  ). * Nếu trong định nghĩa trên ta chỉ xét những giá trị của x bé hơn a, ta nhận được giới hạn trái của hàm f(x) khi x dần đến a, và ta viết lim f (x)  L . x a  Ta cũng nói, giới hạn của f(x) khi x dần đến a từ bên trái là L. * Chúng ta có thể định nghĩa tương tự cho giới hạn phải lim f (x)  L . x a  Mô tả giới hạn, giới hạn một phía cho ở Hình 2.2. Hình 1.3. Giới hạn hàm số (a) 2 phía, (b) trái, (c) phải 1 Ví dụ 1.6. * lim (2x  3)  5 . * lim 0 x 1 x  x 9
2 5 2 1  x  2x  5 x x2 * lim  lim  2. x 0 2x 2  x x 0 2 1 x 1  x 1  1  x  1 1  x  1 * lim  lim x 0 2x x 0 2x  1  x  1 1  x 1 1  lim  . # x 0 2x  1  x  1 4 1.2.5. Giới hạn vô hạn + Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) (có thể trừ ra tại x 0  (a , b) ). Ta nói f(x) có giới hạn +  khi x dần đến x 0 (hoặc tại x  x 0 ) và viết lim f  x     nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho lớn một x  x0 cách tùy ý khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a). (Chính xác là A  0,    0,  x  (a, b) : 0  x  x 0   thì f  x   A). Chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa của các ký hiệu lim f  x     ; lim f  x   ; lim f (x)   ; lim f (x)   ... x  x0 x  x0 x  x0 x  Một số minh họa về giới hạn vô hạn thể hiện ở Hình 1.19 Hình 1.4. Giới hạn vô hạn 10
Định lý 1.7 (Định lý kẹp). Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên khoảng suy rộng I của  . Giả sử f (x)  g(x)  h(x),  x  I ; c I , lim f (x)  lim h(x)   . x c x c Khi đó, tồn tại giới hạn của hàm g(x) tại x = c và lim g(x)   . x c Định lý 1.8. (Các phép toán về giới hạn hàm số) Cho f (x), g(x), x  I là hai hàm số trên khoảng mở rộng I; a  I (bao đóng của I); , ,  là ba số thực. Khi đó 1. lim f (x)    lim | f (x) |  |  | . x a x a 2. lim f (x)  0  lim | f (x) |  0. x a x a  lim f (x)    lim (f (x)  g(x))      x a  x a 3.   lim  x a g(x)     xlim f (x).g(x))  .  a  lim f (x)  0 4.  x a  lim (f (x).g(x))  0. g(x) bÞchÆ n trong mét l©n cËn cña a x a  lim f (x)    x a f (x)  5.   lim  . lim  x a g(x)     0 x  a g(x)  Các giới hạn đặc biệt Khi tìm giới hạn, các giới hạn đặc biệt sau đây hay được sử dụng: sin x ln 1  x  (a) lim  1; (b) lim  1; x 0 x x 0 x x  1 (c) lim  1    e ; (d) lim (1  x)1/x  e ; x   x x 0 Ví dụ 1.7. Tìm các giới hạn sau: 1  sin 7x (i) lim . x  2x  1  sin 7x  2  1  sin 7x 1  sin 7x Ta có  1  lim  0  lim  0. lim  x  | x |  0 x  2x x  2x  sin mx sin mx nx mx m (ii) m,n  0, lim  lim . .  . x  0 sin nx x 0 mx sin nx nx n f (x) (v) lim  x a g(x) 11
§ 1.3. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ (1 tiết) 1.3.1. Định nghĩa * Cho hàm số f (x), x  (a, b) và điểm x 0  (a, b) . Hàm f(x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu lim f (x)  f (x 0 ) . x  x0 * Hàm f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó xác định tại một lân cận của x 0 , có thể trừ ra tại chính điểm này, và không liên tục tại đó. * Hàm f(x) được gọi là gián đoạn loại một tại x 0 , (lúc đó ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một của f(x)) nếu:  f(x) gián đoạn tại x 0 ;  tồn tại các giới hạn x 0 . * Nếu hàm f(x) gián đoạn tại x 0 nhưng không gián đoạn loại một tại đó thì f(x) được gọi là gián đoạn loại hai tại x 0 ; x 0 là điểm gián đoạn loại hai. * Hàm f (x), x  (a, b) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x 0  (a, b) . * Hàm f (x), x  [a, b] được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm x0  (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b, nghĩa là: Nhận xét.* Đồ thị của hàm liên tục là đường cong liền nét; khi vẽ, ta không phải nhấc bút lên khỏi giấy (phấn lên khỏi bảng). * Đặt x  x  x 0 ( x  x 0  x) , f  f (x)  f (x 0 )  f (x 0  x)  f (x 0 ) . Từ định nghĩa, ta suy ngay ra rằng, f(x) liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f  0 . (1.2) x  0 sin x Ví dụ 1.8. (i) Hàm Sa(x). Xét hàm y  . x Hình 1.5. Đồ thị hàm Sa(x)  sin x  , x  0, Hàm số Sa(x)   x liên tục, 1, x  0. 12
0, x  0 (ii) Hàm bước nhảy đơn vị y  u(x)   1, 0  x. Hình 1.6. Đồ thị hàm bước nhảy đơn vị  1 sin , x  0, (iii) f (x)   x 0, x  0. Hình 1.6. Đồ thị hàm sin (1/ x) Ví dụ 1.9. Tìm hằng số a để hàm sau đây liên tục trên toàn trục số ex , x 1 y ax  1, x 1 Giải. Dễ thấy hàm đã cho liên tục trên các khoảng {x  1} và {x  1} . Tại x  1, lim f (x)  lim (ax  1)  a  1  f (1); lim f (x)  lim e x  e . x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy hàm liên tục tại x = 1  a  1  e hay a  e  1. # 1.3.2. Các phép toán với các hàm số liên tục Định lý 1.9. Nếu f(x) và g(x) là những hàm liên tục tại x 0 (a; b) thì (a) f (x)  g(x); f (x) g(x); f (x) liên tục tại x 0 . (b) C   , Cf(x) liên tục tại x 0 . f (x) (c) Nếu g(x0)  0 thì liên tục tại x 0 . g(x) Định lý 1.10 ( Sự liên tục của hàm hợp) Cho u  u(x) là hàm liên tục trong khoảng (a, b). Giả sử tập giá trị của hàm này được chứa trong khoảng (c, d) và z  f (u) là hàm liên tục trong (c, d). Khi đó hàm hợp z  f (u(x)) liên tục trong (c, d). 13
Nói một cách ngắn gọn, hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục. Hệ quả  Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.  Hàm sơ cấp xác định trong khoảng (a, b) thì liên tục trong khoảng đó. Cũng vậy: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm x 0 , f (x) là hàm sơ cấp thì f(x) liên tục tại x 0 . 1.3.3. Các tính chất của hàm số liên tục trên đoạn kín Định lý 1.11 (Định lý về sự triệt tiêu của hàm liên tục) Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] sao cho f(a) f(b) < 0. Khi đó có điểm c trong khoảng (a, b) để f(c) = 0. Hệ quả (Định lý về các giá trị trung gian). Hàm f(x) liên tục trên đoạn đóng [a, b] sẽ nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b). Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng phương trình e x  2  x có 2 nghiệm trên khoảng (-2, 2). Giải. PT  g(x)  e x  x  2  0 * g( 2)  e 2  0, g(0)  1  0  x1  ( 2,0), g(x1 )  0 * g(0)  1  0, g(2)  e 2  4  0  x 2  (0,2), g(x 2 )  0 Định lý 1.12 (Định lý Weierstrass). Cho f(x) liên tục trên đoạn đóng giới nội [a, b]. Khi đó nó bị chặn, đạt được giá trị lớn nhất M  Max f (x) x [a, b] và giá trị nhỏ nhất m  Min f (x) . x [a, b] Định lý 1.13 (Sự liên tục của hàm ngược) Cho I là một khoảng suy rộng (chứa đầu mút hay không) và y  f (x), x  I là hàm số liên tục và đơn điệu thực sự trên I. Gọi J là tập giá trị của f. Tồn tại hàm ngược y  f 1(x), x  J liên tục, đơn điệu thực sự, biến thiên cùng chiều với f. 1.3.4. Liên tục đều Định nghĩa. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên I là một khoảng mở rộng của  . Ta nói hàm số f(x) là liên tục đều trên I nếu:   0,   0;  x  , x  I, x   x    thì f (x )  f (x )   . Nhận xét. i. Nếu ta tìm được số 0 và hai dãy {x n }, {y n } sao cho lim (x n  yn )  0 nhưng f (x n )  f (y n )  0 n  thì f(x) không liên tục đều trên I. ii. Nếu f(x) liên tục đều trên I thì liên tục trên I. ii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên I thì cũng liên tục đều trên mọi khoảng con J của nó. iii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên 2 khoảng I, J thì cũng liên tục đều trên I  J .  Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng hàm f (x)  sin liên tục trong khoảng (0; 1) nhưng x không liên tục đều trong khoảng đó. 14
Thực vậy, f(x) là hàm sơ cấp trong khoảng (0, 1) nên nó liên tục trên khoảng này. 1 1 Ta chọn 2 dãy x n  , tn  thì x n , t n  (0, 1) , x n  t n  0 , (n  ) còn 2n 2n  1 / 2 f (x n )  f (t n )  1 . Vậy f(x) liên tục không đều trong (0; 1). # Định lý 1.14 (Định lý Heine-Cantor). Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a,b] , a, b   . Khi đó f(x) liên tục đều trên [a, b]. Nói cách khác, hàm liên tục trên đoạn kín, giới nội thì liên tục đều trên đó. §1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết) 1.4.1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm (còn gọi là khả vi) tại x 0 (a, b) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn f (x)  f (x 0 ) lim . x  x0 x  x0 Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x 0 , và được kí hiệu df (x 0 ) df là f (x 0 ), hay , hay (x 0 ) . dx dx Ý nghĩa hình học f (x 0 ) bằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại M (x 0 , f (x 0 )) . Tính chất. f(x) có đạo hàm tại x  x 0 (a, b) thì f(x) liên tục tại x 0 . Lưu ý. Điều ngược lại không phải luôn đúng. Định nghĩa. Ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x 0  (a, b). Khi đó ta có một hàm mới, f (x) , xác định tại mọi điểm x  (a, b) , ký d df hiệu bởi một trong các ký hiệu f (x), (f (x)), , ... , được gọi là (hàm) dx dx đạo hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b). 1.4.2. Đạo hàm của hàm hợp df df du [ f (u(x))]  f (u(x)).u (x) hay  . . (1.3) dx du dx Dùng đạo hàm hàm hợp ta thu được công thức sau đây rất tiện lợi: (eax f (x))  eax (f (x)  af (x)) hay (eax f )  eax (f   af ) . Tổng quát (eg f )  eg (f   gf ) . (1.4) 1.4.3. Các phép toán với đạo hàm 15
Định l ý 1.15. Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên (a; b), khả vi trên (a ; b) còn C là một số thực. Khi đó: (u(x)  v(x))  u (x)  v(x) hay (u  v)  u   v ,  u(x)v(x)   u (x)v(x)  u(x)v(x) hay (u v)  u  v  u v ,  u(x)  u (x) v(x)  u(x) v(x)  u  u  v  u v    ( v(x)  0 ) hay    ,  v(x)  v 2 (x) v v2 1.4.4. Đạo hàm của hàm ngược Định lý 1.16. Giả sử hàm y  y( x ) xác định trên khoảng (a, b) và có tập giá trị là J  {y(x) : x  (a, b)} . Nếu y(x) là hàm đơn điệu thực sự, khả vi và y(x)  0 trên (a, b) thì tồn tại hàm ngược x  x(y) xác định, khả vi trên J và 1 x(y)  , yJ . (1.5) y(x) Để tìm đạo hàm hàm ngược khi biết rằng nó tồn tại, ta viết đồng nhất thức f (f 1 (x))  x hoặc f 1(f (x))  x trên tập xác định rồi đạo hàm hai vế. Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số y  arccos x . Ta có cos(arccos x)  x, x  (1, 1) . Vậy  sin(arccos x).(arccos x)  1 1  (arccos x)   sin(arccos x) 1 1   , x  (1; 1). 1  cos 2 (arccos x) 1  x2 Tương tự, để tính đạo hàm hàm số y  arcsin x , bằng cách xét x  sin(arcsin x), x  ( 1, 1) ta nhận được 1 (arcsin x)  , x  ( 1, 1). # 1  x2 16
Bảng 1.1. Đạo hàm một số hàm sơ cấp Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp (C) '  0 (C) '  0 (x  )'  x 1 (u  ) '  u 1u ' ( x ) '  1 / (2 x ) ( u ) '  (1 / 2 u )u ' (sin x) '  cos x (sin u) '  c os u. u ' (cos x) '   sin x (cos u)'   sin u. u ' 1 1 (tan x) '  (tan u) '  u' cos2 x cos2 u 1 1 (cot x)'   (cot u) '   u' sin 2 x sin 2 u (a x ) '  a x ln a (a u ) '  a u (ln a) u ' (e x ) '  e x (e u ) '  e u u ' 1 1 (log a x)'  (log a u) '  u' x ln a u ln a 1 1 (ln x) '  (ln u) '  u' x u 1 1 (arcsin x)'  (arcsin u) '  u' 1  x2 1 u2 1 1 (arccos x)'   (arc cos u) '   u' 1  x2 1 u2 1 1 (arc tan x)'  (arc tan u) '  u' 1  x2 1  u2 1 1 (arc cot x) '   (arc cot u)   u' 1  x2 1  u2 1.4.5. Đạo hàm một phía - Đạo hàm vô cùng a. Định nghĩa f (x)  f (a) * Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a; b) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim x a  xa thì hàm f(x) được gọi là khả vi (phía) phải tại a, giới hạn trên được gọi là đạo hàm (phía) phải tại a của hàm f(x), kí hiệu f   a  . * Tương tự, chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa đạo hàm trái f  (a) . * Hàm số f(x) gọi là khả vi (có đạo hàm) trên đoạn [a; b] nếu nó khả vi trong khoảng (a; b), khả vi phải tại a và khả vi trái tại b. f (x)  f (c) * Nếu lim   , ta nói f(x) có đạo hàm vô cùng tại c, và viết f (c)  . Ngoài x c x c ra, nếu hàm số liên tục tại x  c thì tiếp tuyến tương ứng song song với trục Oy. Lưu ý rằng khi ấy hàm f(x) không có đạo hàm hữu hạn tại x  c . b.Tính chất 17
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 (a; b) khi và chỉ khi f  (x 0 ), f  (x 0 ); f  (x 0 )  f  (x 0 ). Khi đó, f (x 0 )  f  (x 0 )  f  (x 0 ). Ví dụ 1.13. i. Xét hàm số y | x | . Với hàm này thì x  0 x 0 y (0)  lim  1; y (0)  lim  1 . Từ đó  y(0) x 0 x 0 x 0 x  0  x 0 ii. y  x , x  0 : lim    y (0)  . x 0 x 0  sin x  , x0 iv. Hàm số y  Sa(x)   x thể hiện dao động điều hòa. 0, x0 Hình 1.7. Đồ thị hàm Sax sin x 1 sin x  x cos x  1  sin x y(0)  lim x  lim 2  lim  lim 0. x 0 x  0 x 0 x x 0 2x x 0 2 Bài tập: Giới hạn của hàm số (1 tiết) - Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước bài “Đạo hàm và vi phân”, (TL1, tr 95 -100), “Công thức Taylor”, TL1, tr 114 – 1160. 18
Bài giảng2: Đạo hàm - Ứng dụng Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến Mục § 1.4. Đạo hàm và vi phân (1t - tiếp) § 1.5. Công thức Taylor (1t) §1.6. Quy tắc L’Hospital - 1t Bài tập: Sự liên tục của hàm một biến số (1t) Đạo hàm và vi phân (1t) Tiết thứ: 6-10, Tuần thứ: 2 - Mục đích, yêu cầu:  Nắm được định nghĩa, vi phân, dùng vi phân tính giá trị gần đúng  Hiểu và vận dụng công thức Taylor, tìm khai triển của vài hàm đơn giản đến cấp 1, cấp 2.  Nắm được cách áp dụng quy tắc L’Hospital để tìm các giới hạn vô định - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: §1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết – Tiếp) 1.4.6. Vi phân a. Định nghĩa. Cho hàm số f (x), x  (a, b) và x 0  (a, b). Nếu số gia hàm số f được viết dưới dạng f  f (x 0  x)  f (x 0 )  A. x  o( x) (x  0) (1.6) trong đó A là hằng số, không phụ thuộc vào x , o( x) là VCB bậc cao hơn của x , thì hàm f(x) được gọi là khả vi tại x 0 , A. x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại điểm x 0 ứng với số gia x của đối số x, ký hiệu là df (x 0 ) . Ví dụ 1.14. Xét hàm số y  x . Như thường lệ, dy  dx  1.x . Vậy dx  x . # Định lý 1.17. Hàm số y  f (x), x  (a, b) khả vi tại x 0  (a, b) khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm tại đó . Khi đó, df (x 0 )  f (x 0 ) x  f (x 0 ) dx. Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm x 0  (a, b) thì ta nói f(x) khả vi trong khoảng (a, b) và vi phân của f(x) tại x được tính theo công thức: df (x)  f (x)dx . (1.7) df (x) Ta nhận được f (x)  , phù hợp với ký hiệu sử dụng ở đầu bài dx này. 19