Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung đề cương bài giảng Giải tích cổ điển được trình bày trong 3 chương, bao gồm: Chương 1 giới thiệu về lý thuyết giới hạn, chương 2 là phép tính vi phân của hàm số một biến số và chương 3 trình bày về phép tính tích phân. Đây là tài liệu học tập hữu ích dàng cho sinh viên các khối khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu 5 Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n 6 §1. Giíi h¹n d∙y sè 6 1. TËp sè thùc 6 2. Giíi h¹n cña d·y sè 12 §2. Giíi h¹n hμm sè 23 1. Hµm sè biÕn sã thùc 23 2. Giíi h¹n cña hµm sè 31 §3. Hμm sè liªn tôc 39 1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 39 2. PhÐp to¸n trªn c¸c hµm sè liªn tôc 42 3. TÝnh chÊt cña hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n 43 4. Liªn tôc ®Òu 46 5. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm sè s¬ cÊp 47 Ch−¬ng 2. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hμm sè mét biÕn sè 49 §1. §¹o hμm 49 1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹o hµm, ®¹o hµm mét phÝa 49 2. C¸c quy t¾c lÊy ®¹o hµm 52 §2. Vi ph©n 55 1. Kh¸i niÖm vÒ vi ph©n cña hµm sè 55 2. C¸c quy t¾c lÊy vi ph©n 57 3. TÝnh bÊt biÕn cña d¹ng thøc vi ph©n 57 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao 57 3
§3. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n 59 1. C¸c ®Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh 59 2. C«ng thøc Taylo 62 §4. øng dông cña ®¹o hμm 64 1. Quy t¾c L«pitan ®Ó khö giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh 64 2. Kh¶o s¸t hµm sè 66 Ch−¬ng 3. PhÐp tÝnh tÝch ph©n 74 §1. TÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh 74 1. Kh¸i niÖm vÒ nguyªn hµm vµ tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh 74 2. C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm 76 3. TÝch ph©n c¸c biÓu thøc h÷u tû 78 4. TÝch ph©n c¸c biÓu thøc v« tû 80 5. TÝch ph©n c¸c biÓu thøc l−îng gi¸c 83 6. TÝch ph©n c¸c hµm sè siªu viÖt 84 §2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 85 1. Kh¸i niÖm vÒ tÝch ph©n x¸c ®Þnh 85 2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝch 89 3. C¸c líp hµm kh¶ tÝch 91 4. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 93 5. Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ nguyªn hµm 98 6. C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh 101 7. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 105 §.3. TÝch ph©n suy réng 110 1. TÝch ph©n suy réng víi cËn v« tËn 110 2. TÝch ph©n cña hµm sè kh«ng bÞ chÆn 117 4
Lêi nãi ®Çu Gi¶i tÝch cæ ®iÓn lµ mét m«n häc c¬ së, cÇn thiÕt ®−îc ®−a vµo gi¶ng d¹y ë c¸c tr−êng §¹i häc vµ Cao ®¼ng khèi khoa häc tù nhiªn, khoa häc kü thuËt. Bé Gi¸o tr×nh c¬ b¶n vµ tµi liÖu tham kh¶o cña m«n nµy cho ngµnh S− ph¹m To¸n ®· cã nhiÒu. §Æc biÖt phÇn bµi tËp gi¶i tÝch cæ ®iÓn I ®· ®−îc viÕt nhiÒu ë c¸c s¸ch kh¸c nhau. Song ®Ó thuËn lîi vµ phï hîp cho sinh viªn khoa To¸n §HSP - §HTN chóng t«i ®· viÕt ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng nµy nh»m ®¸p øng yªu cÇu ®ã. Néi dung ®Ò c−¬ng ®−îc tr×nh bµy trong 3 ch−¬ng, bao gåm: Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n Ch−¬ng 2. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Ch−¬ng 3. PhÐp tÝnh tÝch ph©n Chóng t«i ®· sö dông tµi liÖu nµy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ ®· hÕt søc cè g¾ng khi biªn so¹n nh−ng ch¾c ch¾n ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng cßn cã nh÷ng khiÕm khuyÕt. Chóng t«i rÊt mong nhËn ®−îc ý kiÕn ®ãng gãp cña ®éc gi¶. Cuèi cïng, chóng t«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o, c¸c ®ång nghiÖp trong tæ bé m«n Gi¶i tÝch - khoa To¸n tr−êng §HSP - §HTN ®· cho chóng t«i nh÷ng gãp ý quý b¸u trong qu¸ tr×nh biªn so¹n. Th¸i Nguyªn, ngµy th¸ng 5 n¨m 2009 C¸c t¸c gi¶ ThS NguyÔn ThÞ Ng©n ThS NguyÔn ThÞ Minh 5
Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n §1. Giíi h¹n d∙y sè 1. TËp sè thùc 1.1. Sù cÇn thiÕt më réng tËp sè h÷u tû NÕu chØ trong ph¹m vi c¸c sè h÷u tû th× nhiÒu phÐp to¸n, ch¼ng h¹n phÐp khai c¨n sè h÷u tû (thËm chÝ ngay c¶ sè nguyªn) kh«ng thÓ thùc hiÖn ®−îc. Ch¼ng h¹n ta dÔ chøng minh ®−îc 2 kh«ng thÓ lµ sè h÷u tû. ThËt vËy, p gi¶ sö 2 lµ sè h÷u tû th× ∃p, q ∈ ¢ sao cho 2 = víi p, q lµ cÆp sè nguyªn q tè cïng nhau. Suy ra p2 = 2q2 ⇒ p2 lµ sè ch½n, thµnh thö p lµ sè ch½n (ch¼ng h¹n p = 2k) thay vµo ta ®−îc q2 = 2k2 ⇒ q2 lµ sè ch½n ⇒ q lµ sè ch½n, ®iÒu nµy v« lý v× p, q ®Òu lµ ch½n th× nã kh«ng thÓ nguyªn tè cïng nhau. VÒ ph−¬ng diÖn h×nh häc, vÝ dô trªn cho ta thÊy viÖc chØ xÐt trong tËp sè h÷u tû th× kh«ng thÓ cã h×nh vu«ng nµo cã c¹nh b»ng 1 (®−êng chÐo b»ng 2 ). §Ó ®¸p øng nh÷ng yªu cÇu tÝnh to¸n trong ®êi sèng vµ kü thuËt, ng−êi ta ph¶i më réng thªm tËp sè h÷u tû. 1.2. §Þnh nghÜa sè v« tû Nh¸t c¾t §ª®¬kin §Þnh nghÜa. Cho A vµ B lµ hai tËp sè h÷u tû, ta nãi r»ng chóng lµm thµnh nh¸t c¾t §ª®¬kin nÕu tho¶ m·n: i) A, B ≠ φ, A∩B = φ, A ∪ B = Q. ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ta lu«n cã a < b KÝ hiÖu (A/B) trong ®ã A lµ tËp d−íi, B lµ tËp trªn. 6
VÝ dô 1. 1) A = {x ∈ Q, x < 10}, B = {x ∈ Q, x ≥ 10} ⇒ A/B lµm thµnh nh¸t c¾t. 2) A = {x ∈ Q, x ≤ 10}, B = {x ∈ Q, x > 10} ⇒ A/B lµm thµnh nh¸t c¾t. 3) A = {x ∈ Q+, x2 < 2} ∪ Q- , B = {x ∈ Q+, x2 > 2} ⇒ (A/B) lµm thµnh nh¸t c¾t. §èi víi nh¸t c¾t (A/B) chØ cã thÓ x¶y ra 1 trong 4 kh¶ n¨ng sau: 1) Líp d−íi A kh«ng cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B cã phÇn tö nhá nhÊt (VD1) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 1. 2) Líp d−íi A cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt (VD2) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 2. 3) Líp d−íi A kh«ng cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt (VD3) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 3. 4) Líp d−íi A cã phÇn tõ lín nhÊt r1, líp trªn B cã phÇn tö nhá nhÊt r2, kh¶ n¨ng 4 kh«ng x¶y ra. r1 + r2 ThËt vËy, r = , thÕ th× r1 < r < r2 vµ r ∈ A, r ∈ B ⇒ (A/B) kh«ng lµm 2 thµnh nh¸t c¾t. Nh− vËy mçi sè h÷u tû x¸c ®Þnh mét nh¸t c¾t lo¹i 1 hoÆc lo¹i 2 vµ ng−îc l¹i. Riªng nh¸t c¾t lo¹i 3 cßn khuyÕt phÇn tö n»m trªn biªn gi÷a líp trªn vµ líp d−íi, ta sÏ nãi mçi nh¸t c¾t lo¹i 3 x¸c ®Þnh mét sè v« tû (chÝnh lµ sè n»m vµo chç khuyÕt ®ã). TËp sè v« tû kÝ hiÖu lµ I. TËp sè v« tû vµ h÷u tû ta gäi lµ tËp sè thùc, kÝ hiÖu lµ ¡ . Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy mçi nh¸t c¾t x¸c ®Þnh 1 sè thùc vµ ng−îc l¹i mçi sè thùc x¸c ®Þnh mét nh¸t c¾t. 1.3. Quan hÖ s¾p thø tù trong tËp sè thùc §Þnh nghÜa. Cho hai sè α vµ β x¸c ®Þnh bëi hai nh¾t c¾t (A’/B’) vµ (A”/B”) t−¬ng øng. Ta nãi r»ng α = β nÕu líp d−íi A’ = A”, líp trªn B’ = B”. 7
Ta nãi r»ng α < β (®äc lµ α nhë h¬n β) nÕu líp d−íi A’ ⊂ A”, líp trªn A’ ≠ A”. Ta nãi r»ng α > β nÕu β < α. Ta nãi r»ng α ≥ β nÕu α > β hoÆc α = β. Sè thùc α > 0 (α < 0) ta gäi lµ sè d−¬ng (sè ©m). TËp sè d−¬ng vµ sè 0 ta kÝ hiÖu ¡ +. - TËp sè ©m vµ sè 0 ta kÝ hiÖu ¡ 1.4. BiÓu diÔn sè thùc a) Trôc sè: Trªn ®−êng th¼ng Δ cho tr−íc, ta chän ®iÓm 0 lµm ®iÓm gèc, ta thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a tËp c¸c sè thùc víi c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng Δ nh− sau: Sè 0 ∈ ¡ ta cho øng víi ®iÓm O ®· chän. Mçi sè d−¬ng a ∈ ¡ ta cho t−¬ng øng víi ®iÓm A n»m bªn ph¶i ®iÓm O sao cho OA cã ®é dµi b»ng a. Mçi sè ©m b ∈ ¡ ta cho t−¬ng øng víi ®iÓm B n»m bªn tr¸i ®iÓm O sao cho OB cã ®é dµi b»ng ⏐b⏐. Mçi sè thùc t−¬ng øng víi 1 ®iÓm trªn ®−êng th¼ng Δ vµ ng−îc l¹i. §−êng th¼ng Δ ta gäi lµ trôc sè. b) BiÓu diÔn thËp ph©n cña sè thùc. Sè thùc a ∈ ¡ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng mét sè thËp ph©n a = n, c1c2 ... ck ... trong ®ã n ∈ ¢ , ci = 0...9 (i = 1, ..., k, ..) 1.5. TÝnh liªn tôc vµ trï mËt cña sè thùc §Þnh lý 1.1 (§Þnh lý §ª®¬kin). §èi víi mçi nh¸t c¾t (A/B) trªn tËp sè thùc hoÆc líp d−íi A cã sè lín nhÊt hoÆc líp trªn B cã sè nhá nhÊt. Bæ ®Ò. Víi hai sè thùc α < β lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 1 sè h÷u tû r sao cho α
2) Trªn tËp hîp sè h÷u tû ¤ ta chØ ra r»ng tån t¹i nh÷ng nh¸t c¾t lo¹i 3, ®ã lµ nguyªn nh©n ®Ó më réng tËp sè h÷u tû. Trªn tËp sè thùc, ®Þnh lý §ª®¬kin kh¼ng ®Þnh kh«ng cã nh¸t c¾t lo¹i 3 thµnh thö dïng ph−¬ng ph¸p §ª®¬kin kh«ng thÓ më réng thªm nh÷ng sè míi n÷a. 3) Trong tËp sè thùc kh«ng cßn “chç khuyÕt” nh− trong tËp sè h÷u tû. TÝnh chÊt nµy gäi lµ tÝnh ®Çy ®ñ hay tÝnh liªn tôc cña tËp hîp sè thùc. 1.6. TËp bÞ ch¨n, cËn cña tËp hîp §Þnh nghÜa 1. Cho tËp A ⊆ ¡ . Ta nãi r»ng tËp A bÞ chÆn trªn (hoÆc bÞ chÆn d−íi) nÕu tån t¹i M∈ ¡ (hoÆc m∈ ¡ ) sao cho a ≤ M (hoÆc a ≥ m) víi ∀a ∈ ¡ . Sè M (hoÆc m) ta sÏ gäi lµ cËn trªn (hoÆc cËn d−íi) cña tËp A. Ng−îc l¹i ta nãi r»ng tËp A kh«ng bÞ chÆn trªn (hoÆc kh«ng bÞ chÆn d−íi). NÕu tËp A võa bÞ chÆn trªn, võa bÞ chÆn d−íi th× ta nãi tËp A bÞ chÆn. NhËn xÐt . 1) Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta dÔ dµng chøng minh ®−îc mÖnh ®Ò sau: “§Ó tËp A bÞ chÆn ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ tån t¹i c > 0: ∀a ∈ A ta lu«n cã - c ≤ a ≤ c”. 2) NÕu tËp A bÞ chÆn trªn (hoÆc bÞ chÆn d−íi) th× nã sÏ cã v« sè cËn trªn (hoÆc cËn d−íi). §Þnh nghÜa 2. Cho A lµ tËp hîp bÞ chÆn trªn (hoÆc bÞ chÆn d−íi). Ta nãi r»ng sè M* (hoÆc m*) lµ cËn trªn ®óng (hoÆc cËn d−íi ®óng) cña A nÕu nã lµ cËn trªn nhá nhÊt (hoÆc cËn d−íi lín nhÊt) cña tËp Êy. Tøc lµ nã tho¶ m·n: i) ∀a ∈ A ta lu«n cã a ≤ M* (hoÆc a ≥ m*) ii) NÕu M (hoÆc m) lµ mét cËn trªn (hoÆc cËn d−íi) cña A th× M* ≤ M (hoÆc m* ≥ m) §«i víi cËn trªn ®óng (hoÆc cËn d−íi ®óng) ta ký hiÖu M* = sup A (hoÆc m* = inf A). §Þnh lý 1.2. Cho A lµ tËp hîp bÞ chÆn trªn (hoÆc d−íi). §Ó M* (hoÆc m*) lµ cËn trªn ®óng (hoÆc cËn d−íi ®óng) cña A ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ 9
i) a ≤ M* (hoÆc a ≥ m*) víi ∀a ∈ A. ii) ∀ε > 0, ∃aε ∈ A sao cho M* - ε < aε ≤ M* (hoÆc m* ≤ aε < m* + ε) Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö M* = supA, ®iÒu kiÖn i) hiÓn nhiªn tho¶ m·n. Gi¶ sö ∃ε > 0, ∀a∈ A ta lu«n cã a ≤ M*- ε. VËy M*- ε lµ 1 cËn trªn cña A ⇒ M* = supA ≤ M* - ε ®iÒu nµy v« lý do ®ã M* - ε < aε ≤ M*. §iÒu kiÖn ®ñ: §iÒu kiÖn i) chøng tá M* lµ mét cËn trªn. Gi¶ sö tån t¹i cËn trªn M < M*. §Æt ε = M* - M > 0 theo ii) ∃ aε ∈ A sao cho M = M* - (M* - M) = M* - ε < aε ®iÒu nµy v« lý. Suy ra M* lµ cËn trªn ®óng cña A. 1.7 PhÐp tÝnh sè häc trªn tËp sè thùc 1.7.1. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa phÐp céng. Gi¶ sö cho hai sè thùc α vµ β x¸c ®Þnh bëi hai nh¸t c¾t (A’/B’) vµ (A”/B”) t−¬ng øng. §Æt A = {a '+ a ": a ' ∈ A ', a " ∈ A "} , B = {b '+ b ": b ' ∈ B ', b " ∈ B "} . Ta cã (A/B) lµm thµnh mét nh¸t c¾t thµnh thö nã x¸c ®Þnh mét sè thùc γ. Ta gäi γ lµ tæng cña hai sè thùc α vµ β. KÝ hiÖu: γ = α + β. §Þnh nghÜa phÐp trõ. Ng−êi ta chøng minh r»ng víi mçi cÆp sè thùc α, β tån t¹i duy nhÊt sè thùc γ sao cho α + γ = β, ta gäi γ lµ hiÖu cña β trõ α, kÝ hiÖu lµ γ = β - α. T−¬ng tù nh− trªn ta ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n cßn l¹i. 1.7.2 TÝnh chÊt 1) PhÐp céng vµ phÐp nh©n tho¶ m·n tÝnh chÊt giao ho¸n, ph©n phèi, kÕt hîp : a + b = b + a; ab = ba (a, b ∈ R); a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c; (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ . 2) Tån t¹i phÇn tö trung lËp trong phÐp céng vµ phÐp nh©n: 10
∃! 0 ∈ : ∀a ∈ ,a+0=0+a=a ∃!1 ∈ :1∈ , a.1 = 1.a = a 3) Tån t¹i phÇn tö ®èi trong phÐp céng vµ phÇn tö nghÞch ®¶o trong phÐp nh©n ∀a∈ , ∃! (-a) ∈ : a + (-a) = 0 ∀a ∈ , a ≠ 0, ∃! a-1 ∈ : a. a-1 = 1 4) Gi÷a phÐp céng vµ phÐp nh©n tho¶ m·n ®Þnh luËt ph©n phèi a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ . 5) Quan hÖ s¾p thø tù tho¶ m·n: TÝnh chÊt ph¶n xøng: a ≤ b vµ b ≤ a ⇒ a = b TÝnh chÊt b¾c cÇu: a ≤ b vµ b ≤ c ⇒ a ≤ c 6) ∀a ∈ ⇒ a.a ≥ 0, a.a = 0 ⇔ a = 0 7) a> b ⇒ a+ c > b+ c, ac > bc (nÕu c > 0), ac < bc (nÕu c < 0), ∀a, b∈ 1.7.3. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ⎧ a khi a ≥ 0 §èi víi mçi sè thùc a ta gäi sè a = ⎨ lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña a. ⎩− a khi a < 0 TÝnh chÊt 1. − a ≤ a ≤ a TÝnh chÊt 2. a ≥ 0, a = 0 ⇔ a = 0 TÝnh chÊt 3. a ≤ b ⇒ −b ≤ a ≤ b TÝnh chÊt 4. a + b ≤ a + b , a − b ≤ a − b a a ab = a . b , = b b TÝnh chÊt 5. a − b ≤ a − b 1.7.4. Mét sè quy −íc a) Sè thùc më réng: Më réng thªm hai phÇn tö +∞ vµ - ∞. 11
+ NÕu a lµ sè thùc th× -∞ < a < +∞ + ±∞ = +∞ + a ±∞ = ±∞ + a = ±∞ + ∞ - ∞ lµ biÓu thøc kh«ng x¸c ®Þnh ⎧+∞ nÕu a ∈ R, b = ±∞ + a(+∞) = (+∞) a = ⎪⎨−∞ nÕu a = ±∞, b > 0 ⎪ ⎩ nÕu a = 0 + a(-∞) = (-a)(+∞) ⎧ 0 khi a ∈ R, b = ±∞ a ⎪ + = ⎨ ±∞ khi a = ±∞, b > 0 b ⎪ ⎩ khi a, b = ±∞, a = b = 0 b) Kho¶ng, ®o¹n, l©n cËn [ a, b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b} [ a, b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b} ( a, b ) = { x ∈ R : a < x < b} ( a, b] = { x ∈ R : a < x ≤ b} U ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 + δ ) gäi lµ δ l©n cËn cña x0. P ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 ) U ( x0 , x0 + δ ) gäi lµ l©n cËn khuyÕt (hë, thñng) cña x 0. 2. Giíi h¹n cña d·y sè 2.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ d·y sè §Þnh nghÜa. Cho ¸nh x¹ f: N* --> ta cã b¶ng gi¸ trÞ f(1), f(2), ..., f(n), ... (1) §Æt xn = f(n) víi n = 1, 2, 3, ... ta cã b¶ng x1, x2, x3, ..., xn , ... (2) Ta sÏ gäi (2) lµ d·y sè, xn lµ sè h¹ng tæng qu¸t hay phÇn tö thø n cña d·y, n lµ chØ sè cña sè h¹ng ®ã. KÝ hiÖu {xn} = x1, x2, x3, ..., xn ,... 12
D·y {xn} ®−îc gäi lµ bÞ chÆn trªn (hoÆc d−íi) nÕu ∃C (hoÆc c) sao cho xn ≤ C (hoÆc xn ≥ c), ∀n. D·y {xn} võa bÞ chÆn trªn, võa bÞ chÆn d−íi ®−îc gäi lµ bÞ chÆn. D·y {xn} ®−îc gäi lµ ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) nÕu ∀n, m ∈ N: n < m ⇒ xn ≤ xm (hoÆc xn ≥ xm). { xn } = ⎧⎨ 1⎫ n ⎬ VÝ dô. lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m, bÞ chÆn. ⎩2 ⎭ { xn } = {n3 } lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng, kh«ng bÞ chÆn trªn. { xn } = {( −1) } lµ d·y bÞ chÆn, kh«ng ®¬n ®iÖu. n 2.1.2. Kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n cña d·y sè §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng { xn } cã giíi h¹n h÷u h¹n lµ a (hay tiÕn tíi a khi n tiÕn tíi ∞) nÕu ∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n > nε: xn − a < ε . KÝ hiÖu: lim xn = a hoÆc xn → a khi n→∞. n→∞ D·y { xn } cã giíi h¹n h÷u h¹n ta gäi lµ d·y héi tô, ng−îc l¹i ta nãi d·y ph©n kú. VÝ dô. ⎧1⎫ 1) D·y { xn } = ⎨ n ⎬ cã giíi h¹n b»ng 0. ⎩2 ⎭ ⎡ 1⎤ ThËt vËy, ∀ε > 0 cho tr−íc, chän n0 = ⎢log 2 ⎥ th× ∀n > n0 ta cã: ⎣ ε⎦ 1 1 xn − 0 = n < ε ⇒ lim xn = lim n = 0 . 2 n →∞ n→∞ 2 2) D·y { xn } = {n3 } ph©n kú. ThËt vËy, gi¶ sö d·y { xn } héi tô ®Õn a, chän ε = 1, víi n ®ñ lín: n3 > 1 + a, ®iÒu nµy v« lý v× luü thõa bËc 3 cña c¸c sè tù nhiªn kh«ng bÞ chÆn. 13
§Þnh lÝ 1.3. Giíi h¹n (nÕu cã) cña mét d·y sè lµ duy nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö { xn } héi tô ®Õn 2 giíi h¹n kh¸c nhau a vµ b. ε Chän ε = a - b > 0, ∃n1, n2 ∈ N sao cho x n − a < víi n > n1 2 ε xn − b < víi n > n2 2 Chän n0 = max{n1, n2} ta cã ε ε ε = a - b ≤ a - xn + xn - b < + = ε , ∀n > n0. §iÒu nµy v« lý 2 2 VËy ®Þnh lý ®−îc chøng minh. §Þnh lÝ 1.4. Mäi d·y héi tô ®Òu bÞ chÆn. Chøng minh. Gi¶ sö lim xn = a , víi ε = 1, ∃nε ∈N sao cho x n − a < ε = 1 n →∞ ⇒ a - 1 < xn < a + 1, ∀n > nε. Chän C = max{ 1 + a , 1 − a , x1 , x 2 ,..., x n ,...} ⇒ x n ≤ C, ∀n. VËy ®Þnh lý ®−îc chøng minh. §Þnh nghÜa. Cho {xn} vµ d·y ®¬n ®iÖu nghiªm ngÆt c¸c sè tù nhiªn n1< n2 < n3 < ... < nk < nk+1 < ... { } { } Ta sÏ gäi d·y xnk lµ d·y con cña d·y {xn}. KÝ hiÖu: xnk ⊂ { xn } , nk ≥ n. NÕu d·y con héi tô th× ta sÏ gäi giíi h¹n cña nã lµ giíi h¹n riªng cña d·y {xn}. Sè bÐ nhÊt gäi lµ giíi h¹n d−íi, sè lín nhÊt gäi lµ giíi h¹n trªn. { } 1 1 VÝ dô. xnk = 1, , ,..., 3 5 1 2k + 1 ,... lµ d·y con cña d·y cña d·y { xn } = 1, 1 1 , ,... 2 3 §Þnh lÝ 1.5. NÕu d·y { xn } héi tô vÒ a th× mäi d·y con cña nã còng héi tô vÒ a. Chøng minh. Gi¶ sö lim xn = a, ∀ε > 0, ∃nε sao cho xn − a < ε , ∀n ≥ nε . V× n →∞ nk ≥ n > nε nªn ta cã xnk − a < ε ⇒ lim xnk = a . nk →∞ 14
¸p dông Chøng minh d·y {( −1) } ph©n kú n XÐt d·y con {x2k} = {1} héi tô vÒ 1 {x2k + 1} = {-1} héi tô vÒ -1. VËy {( −1) } ph©n kú. n 2.2. C¸c phÐp to¸n vµ tÝnh chÊt cña d·y héi tô 2.2.1. C¸c phÐp to¸n trªn giíi h¹n cña d·y sè §Þnh lÝ 1.6. Gi¶ sö d·y { xn } héi tô ®Õn a vµ {yn} héi tô ®Õn b. Khi ®ã i) { xn } héi tô vµ lim xn = a n →∞ ii) D·y { xn ± yn } héi tô vµ lim ( xn ± yn ) = a ± b n →∞ iii) D·y { xn . yn } héi tô vµ lim xn . yn = a.b n →∞ ⎧x ⎫ x a iv) NÕu b ≠ 0 th× d·y ⎨ n ⎬ héi tô vµ lim n = . n →∞ y ⎩ yn ⎭ n b Chøng minh. i) Sinh viªn tù chøng minh. ii) Gi¶ sö lim xn = a,lim yn = b ⇔ ∀ε > 0, ∃n1 , n2 ∈ N sao cho n →∞ n→∞ ε ε ∀n > n1 : xn − a < , ∀n > n2 : yn − b < . 2 2 Chän n0 = max{n1, n2}, ∀n > n0 : ε ε ( xn + yn ) − ( a + b ) ≤ xn − a + yn − b < + =ε 2 2 ⇒ lim ( xn + yn ) = a + b . n →∞ T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc r»ng lim ( xn − yn ) = a − b . n →∞ iii) Theo ®Þnh lÝ 1.4, d·y {xn} bÞ chÆn, tøc lµ ∃C > 0 sao cho xn ≤ C , ∀n . 15
ε MÆt kh¸c, lim xn = a,lim yn = b , nÕu víi ∀ε > 0 ta chän ε1 = >0, n →∞ n→∞ C+ b ∃ n1, n2∈ N sao cho x n − a < ε1 vµ x n − b < ε1 víi n > n1, n > n2 Chän n0 = max{n1, n2} víi ∀n > n0 ta cã: xn yn − ab = xn ( yn − b ) + ( xn − a ) b ≤ xn yn − b + b xn − a < C.ε1 + b .ε1 = ε ⇒ lim xn yn = ab . n→∞ 1 1 iv) Tr−íc hÕt ta chøng minh lim = n→∞ y b n 1 Tõ (1) suy ra lim yn = b > 0 , víi δ > 0, ta chän δ1 = b , ∃n0 sao cho n →∞ 2 b ∀n > n0 ta cã: = b − δ1 < yn < b + δ1 vµ yn − b < δ 2 1 1 b − yn δ 2δ ⇒ − = < = 2 yn b b yn b b b 2 1 1 1 1 1 Víi ε > 0, chän δ = ε b 2 ⇒ − < ε, ∀n > n0 ⇒ lim = . 2 yn b n →∞ y b n ¸p dông iii) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý. 1) NÕu c¶ hai d·y héi tô th× tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng cña chóng còng héi tô. 2) NÕu mét d·y héi tô, mét d·y ph©n kú th× tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng ph©n kú. 3) C¶ hai d·y ph©n kú ⇒ ch−a kÕt luËn ®−îc. 4) Sù héi tô hay ph©n kú cña mét d·y hoµn toµn kh«ng phô thuéc vµo h÷u h¹n c¸c sè h¹ng ban ®Çu cña nã. 16
HÖ qu¶. NÕu d·y {xn} héi tô th× lim ( C + xn ) = C + lim xn víi C lµ h»ng sè. n →∞ n→∞ lim C.xn = C.lim xn . n →∞ n→∞ 2.2.2. TÝnh chÊt §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng {xn} nhá h¬n hoÆc b»ng d·y {yn}, kÝ hiÖu {xn} ≤ {yn} nÕu ∃n0 víi n > n0 ta cã xn ≤ yn. §Þnh lÝ 1.7. i) Gi¶ sö {xn} vµ {yn} lµ c¸c d·y héi tô vµ {xn} ≤ {yn}. Khi ®ã lim xn ≤ lim yn . n →∞ n→∞ ii) NÕu lim xn < lim yn th× {xn} < {yn}. n →∞ n→∞ iii) Gi¶ sö {xn} ≤ {zn} ≤ {yn} vµ lim xn = lim yn = a th× lim zn = a . n →∞ n →∞ n →∞ Chøng minh. i) Gi¶ sö lim xn = a > lim yn = b . n →∞ n →∞ Chän ε = a - b > 0, ∃n0 sao cho 0 = a - b - ε < xn - yn < a – b + ε, ∀n > n0 ⇒ xn > yn, ∀n > n0 , tr¸i víi gi¶ thiÕt ⇒ ®pcm. 1 b+a ii) Chän ε = ( b − a ) > 0, ∃n0 : a − ε < xn < a + ε = (1) 2 2 b+a = b − ε < yn < b + ε (2) víi ∀n > n0. 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. iii) Gi¶ sö lim xn = lim yn = a n →∞ n→∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃n1 , n2 ∈ N , ∀n > n1 : a − ε < xn < a + ε ∀n > n2 : a − ε < yn < a + ε Chän n0 = max{n1, n2}: ∀n > n0: a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε ⇒ zn − a < ε ⇒ lim zn = a . n →∞ 17
HÖ qu¶. 1) NÕu lim xn = a vµ {xn} ≤ C th× a ≤ C. n→∞ 2) NÕu lim xn = a < C th× ∃ n0 sao cho xn < C víi n > n0. n →∞ 3) lim xn = 0 khi vµ chØ khi lim xn = 0 . n →∞ n →∞ ( −1) n ⎛ ( −1) n 1 ⎞ ¸p dông. lim =0 ⎜ lim = lim = 0 ⎟ n →∞ n ⎜ n→∞ n n→∞ n ⎟ ⎝ ⎠ sin n ⎛ sin n 1 n→∞ ⎞ lim =0 ⎜ 2n ≤ 2n ⎯⎯⎯ →0⎟ . n →∞ 2 n ⎝ ⎠ 2.3. §iÒu kiÖn héi tô cña d·y sè 2.3.1. §iÒu kiÖn héi tô cña d·y ®¬n ®iÖu §Þnh lÝ 1.8 i) NÕu {xn} lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× nã héi tô vµ xn ≤ lim xn , ∀n . n→∞ ii) NÕu {xn} lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi th× nã héi tô vµ xn ≥ lim xn , ∀n . n→∞ Chøng minh. i) Gi¶ sö {xn} ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Khi ®ã a = sup{xn} ⇒ xn ≤ a, ∀n. Theo ®Þnh lÝ 1.2, ∀ε > 0, ∃n0 sao cho a - ε < xn0 ≤ a. MÆt kh¸c v× {xn} ®¬n ®iÖu t¨ng nªn ∀n > n0 ta cã a - ε < xn0 ≤ xn ≤ a < a + ε ⇒ xn − a < ε , ∀n > n0 ⇒ lim xn = a . n→∞ ii) Chøng minh t−¬ng tù. 2.3.2. Bæ ®Ò vÒ c¸c d·y ®o¹n th¾t 18
§Þnh nghÜa. Ta sÏ gäi d·y c¸c ®o¹n th¼ng {[an, bn]} lµ d·y c¸c ®o¹n lång th¾t nÕu [ an+1 , bn+1 ] ⊂ [ an , bn ] vµ lim ( bn − an ) = 0 . n →∞ Bæ ®Ò C¨ngto. Víi mçi d·y lång th¾t c¸c ®o¹n th¼ng tån t¹i duy nhÊt ®iÓm C sao cho C ∈ [an, bn], ∀n. Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt [ an+1 , bn+1 ] ⊂ [ an , bn ] ⇒ {an} lµ d·y t¨ng, cßn {bn} lµ d·y gi¶m vµ ®Òu bÞ chÆn. §Þnh lÝ 1.8 ⇒ lim an = a vµ lim bn = b . V× n →∞ n→∞ lim ( bn − an ) = 0 nªn ta suy ra a = b. n →∞ Chän C = a = b. HiÓn nhiªn an ≤ C ≤ bn , ∀n hay C ∈ [an, bn], ∀n. §Þnh lÝ 1.9. (B«nxan« - W©y¬tr¸t) Mçi d·y bÞ chÆn cã Ýt nhÊt mét d·y con héi tô. Chøng minh. Gi¶ sö {xn} lµ d·y bÞ chÆn ⇒ ∃a, b ∈ R sao cho a ≤ xn ≤ b, ∀n . Ta chia ®«i [a, b] th× Ýt nhÊt mét trong hai nöa cña [a, b] chøa v« sè phÇn tö cña d·y {xn}, kÝ hiÖu nöa ®ã lµ [a1, b1]. Ta l¹i chia ®«i [a1, b1], còng lý luËn t−¬ng tù ta nhËn ®−îc nöa [a2, b2] cña ®o¹n [a1, b1] chøa v« sè phÇn tö cña {xn}. Cø tiÕp tôc m·i qu¸ tr×nh trªn ®©y ta nhËn ®−¬ch d·y {[an, bn]} c¸c ®o¹n th¼ng cã 1 tÝnh chÊt [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] vµ bn − an = ( b − a ) → 0 khi n → ∞ . Mçi ®o¹n 2n [an, bn] chøa v« sè phÇn tö cña {xn}. Theo bæ ®Ò C¨ngto, ∃! c ∈ R sao cho lim an = lim bn = c . Ta chän d·y { xnk } nh− sau: n →∞ n→∞ Trong ®o¹n [a1, b1] chän xn1 , trong [a2, b2] chän x2 sao cho n2 > n1, cø tiÕp tôc qu¸ tr×nh nh− trªn ta ®−îc {x } ⊂ {x } . nk n MÆt kh¸c: ank ≤ xnk ≤ bnk mµ ank → c , bnk → c khi nk → ∞ ⇒ lim xnk = c . nk →∞ §Þnh lÝ 1.10. (Nguyªn lý B«xan« - C«si vÒ d·y héi tô) §Ó d·y {xn} héi tô, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ∀ε > 0, nhá tuú ý, ∃n0 ∈ N sao cho xn − xm < ε , ∀n, m > n0 . Chøng minh. 19
ε §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö lim xn = a , thÕ th× ∀ε > 0, ∃n0 sao cho xm − a < vµ n →∞ 2 ε xn − a < , ∀n, m > n0. 2 ε ε ⇒ xn − xm = ( xn − a ) − ( xm − a ) ≤ xn − a + xm − a < + = ε , ∀m, n > n0 2 2 Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §iÒu kiÖn ®ñ. Tr−íc hÕt ta chøng minh d·y {xn} bÞ chÆn. ThËt vËy víi ε = 1, ∃n0 sao cho xn − xn0 +1 < 1 , ∀n > n0 hay xn0 +1 − 1 < xn < xn0 +1 + 1, ∀n > n0 . §iÒu nµy chøng tá {xn} bÞ chÆn. Theo §Þnh lÝ 1.9, ∃ d·y con { xnk } cña d·y { xn } héi tô ®Õn a. Ta sÏ chøng minh lim xn = a . n→∞ ε Ta cã lim xn k = a ⇒ ∀ε > 0, ∃m1 sao cho xnk − a < , ∀nk > m1 (1) nk →∞ 2 ε Theo gi¶ thiÕt ∃m2 sao cho xn − xnk < (2), ∀n > m2 (theo ®Þnh nghÜa 2 d·y chøng minh nk ≥ n). Chän n0 = max{m1, m2}. ε ε Tõ (1) vµ (2) ⇒ xn − a ≤ xn − xnk + xnk − a < + = ε , ∀n > n0 . 2 2 ⇒ lim xn = a (®pcm). n →∞ 2.4. §¹i l−îng v« cïng bÐ - ®¹i l−îng v« cïng lín 2.4.1. §¹i l−îng v« cïng bÐ (VCB) §Þnh nghÜa 1. Ta sÏ gäi d·y sè α1 ,α 2 ,...,α n ,... lµ mét ®¹i l−îng v« cïng bÐ khi n→ ∞ nÕu lim α n = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho α n < ε , ∀n > n0. n→∞ Chó ý. NÕu {α n } lµ VCB th× {−α n } , { α n } lµ VCB khi n→∞ . 20
⎧1⎫ ⎧⎪1 + ( −1)n ⎫⎪ VÝ dô. ⎨ n ⎬ lµ VCB, ⎨ ⎬ lµ VCB. ⎩2 ⎭ ⎩⎪ n ⎭⎪ * TÝnh chÊt vµ phÐp to¸n 1) Tæng cña hai ®¹i l−îng VCB lµ mét ®¹i l−îng VCB. 2) TÝch cña hai ®¹i l−îng VCB lµ mét ®¹i l−îng VCB. 3) TÝch cña mét ®¹i l−îng VCB vµ mét d·y héi tô lµ mét ®¹i l−îng VCB. 4) TÝch cña mét ®¹i l−îng VCB vµ mét ®¹i l−îng bÞ chÆn lµ mét ®¹i l−îng VCB. Chó ý. 1) NÕu lim α n = 0 th× lim cα n = 0 , víi c lµ h»ng sè. n→∞ n →∞ 2) Th−¬ng cña hai ®¹i l−îng VCB ch−a ch¾c lµ VCB. 5 1 α VÝ dô. α n = , β n = lµ hai VCB nh−ng n = 5 lµ h»ng sè. n n βn 3) NÕu lim an = a th× {an − a} lµ VCB vµ ng−îc l¹i. n →∞ 2.4.2. §¹i l−îng v« cïng lín (VCL) §Þnh nghÜa 1. D·y sè α1 ,α 2 ,...,α n ,... ®−îc gäi lµ mét ®¹i l−îng VCL khi n → ∞, nÕu víi mçi sè d−¬ng M lín tuú ý, ∃n0 sao cho α n > M , ∀n > n0 . §Þnh nghÜa 2. Cho {α n } , nÕu víi mçi M > 0, lín tuú ý, ∃n0 ∈ N sao cho α n > M víi ∀n > n0 ta sÏ nãi r»ng d·y {α n } cã giíi h¹n b»ng +∞ vµ viÕt lim α n = +∞ . n →∞ T−¬ng tù ta cã lim α n = −∞ nÕu víi n ®ñ lín ta cã α n < − M . n →∞ VÝ dô. {( −1) .n} lµ mét VCL, {n − 5} lµ VCL. n 2 TÝnh chÊt. 1) NÕu {α n } lµ mét VCL vµ β n ≥ α n , ∀n th× {β n } lµ mét VCL. 21
2) TÝch cña mét VCL vµ mét d·y cã giíi h¹n kh¸c 0 lµ mét VCL. ⎧1⎫ 3) NÕu {α n } lµ mét VCL th× ⎨ ⎬ lµ mét VCB. ⎩α n ⎭ ⎧1⎫ 4) NÕu {α n } lµ mét VCB vµ α n ≠ 0 , ∀n th× ⎨ ⎬ lµ mét VCL. ⎩α n ⎭ 2.5. Sè e ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ n Ta chøng minh ®−îc {an } = ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 3. ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎭⎪ ThËt vËy, 1 n.( n − 1) 1 n ( n − 1) ...( n − n + 1) 1 n ⎛ 1⎞ an = ⎜1 + ⎟ = 1 + n. + . 2 + ... + . n ⎝ n⎠ n 1.2 n 1.2...n n 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ =1+1+ ⎜1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ...⎜1 − ⎟ + 2! ⎝ n + 1 ⎠ n! ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n ⎞ + ⎜1 − ⎟ ...⎜1 − ( n + 1)! ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠⎟ ⇒ an < an+1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã an < 1 + 1 + + + ... + < 2 + + + ... + n−1 < 2 + + ... 2! 3! n! 2 4 2 2 1 1 =2+ . =3 2 1− 1 2 n ⎛ 1⎞ ⇒ {an } héi tô vµ lim an = lim ⎜ 1 + ⎟ = e = 2,71828828459015... n →∞ n→∞ ⎝ n⎠ n ⎛ 1⎞ Ta chøng minh ®−îc lim ⎜1 − ⎟ = e −1 . n →∞ ⎝ n⎠ 2.6. Giíi h¹n trªn - giíi h¹n d−íi 22