Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 2 - Phạm Hiến Bằng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao gồm nội dung chương 3 của tài liệu. Chương 3 trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại pl và loại s.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 2 - Phạm Hiến Bằng

Chương 3 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH Lý thuyết 14 tiết Thảo luận 07 tiết Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s . 3.1. Không gian lồi địa phương hạch 3.1.1. Định nghĩa không gian lồi địa phương hạch 3.1.1.1. Bổ đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương và M (E ) là một họ nào đó các tập lồi cân đóng và bị chặn. Khi đó hai phát biểu sau là tương đương: (N ) Đối với mỗi tập A Î M (E ) tồn tại tập B Î M (E ) sao cho A Í B và ánh xạ đồng nhất từ E (A ) và E (B ) là hạch (tương ứng là tựa hạch, là khả tổng tuyệt đối). (N ¢ Đối với tập A Î M (E ) tồn tại tập B Î M (E ) sao cho A  B và ) ánh xạ đồng nhất từ E ¢ B 0 ) và E ¢ A 0 ) là hạch (tương ứng là tựa hạch, là ( ( khả tổng tuyệt đối). Chứng minh. Bỏi vì tích hai ánh xạ tựa hạch (tương ứng là hai ánh xạ khả tổng tuyệt đối) là ánh xạ hạch (định lý 2.3.3.4 và định lý 2.3.4.4), nên các phát biểu trong (N ) và (N ¢ là tương đương. Như vậy chỉ cần chứng minh (N ) ) tương đương với (N ¢ trong trường hợp ánh xạ hạch. ) (N )  (N ¢ : Cho A Î M (E ) . Do (N ) tìm được B , C Î M (E ) sao ) cho A Ì B Ì C và các ánh xạ đồng nhất e(A, B ) : E (A ) ® E (B ), e(B ,C ) : E (B ) ® E (C ) là hạch. Do mệnh đề 2.3.1.8 các ánh xạ đối ngẫu 62
¢ ¢ ¢ ¢ e(B ,C )¢: [ (C )] ® [ (B )] và e(A, B )¢: [ (B )] ® [ (A )] là hạch. Suy ra E E E E các ánh xạ đồng nhất E ¢C 0 ) ® E ¢ B 0 ) ® E ¢ A 0 ) là khả tổng tuyệt đối, bởi ( ( ( ( E ¢ vì E ¢ D 0 ) có thể coi như không gian con của [ (D )] với mọi D Î M (E ) . Theo định lý 2.3.4.4 ánh xạ đồng nhất E ¢C 0 ) ® E ¢ A 0 ) là hạch. ( ( (N ¢  (N ) được chứng minh tương tự. ) 3.1.1.2. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương E gọi là hạch nếu nó có một hệ cơ sở các o- lân cận lồi cân UF (E ) sao cho hai điều kiện tương đương sau được thực hiện: (N ¢ Với mỗi U Î UF (E ) tồn tại V Î UF (E ) với V Ì U sao cho ánh ) xạ chính tắc từ E (V ) vào E (U ) là hạch (tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối). (N ) Với mỗi lân cận U Î UF (E ) tồn tại V Î UF (E ) với V Ì U sao cho ánh xạ chính tắc E ¢U 0 ) vào E ¢V 0 ) là hạch (tương ứng tựa hạch, khả ( ( tổng tuyệt đối). Sự tương ứng của (N ¢ và (N ) nhận được bằng cách áp dụng bổ đề ) 3.1.1.1 đối với họ các tập U 0 , U Î UF (E ) trong không gian lồi địa phương E ¢. 3.1.1.3. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương hạch E , mọi hệ cơ sở các 0- lân cận lồi cân UF (E ) với tính chất (N ¢ . Cho UF2 (E ) hệ cơ sở các 1 ) 2 1 0 - lân cận lồi cân. Khi đó U 2 Î UF (E ) tùy ý tồn tại U 1 Î UF (E ) với U1 Ì U2 . 1 Bây giờ ta xác định V 1 Î UF (E ) với V 1 Ì U 1 sao cho ánh xạ chính tắc E ( 1,U 1 ) từ E ( 1 ) vào E ( 1 ) là hạch. Cuối cùng chọn trong UF2 (E ) một V V U 0 - lân cận V 2 với V 2 Ì V 1 . Khi đó ánh xạ chính tắc E ( 2,U 2 ) từ E ( 2 ) vào E ( 2 ) là hạch vì V V U 63
E ( 2,U 2 ) = E ( 1,U 2 )E ( 1,U 1 )E ( 2,V 1 ). V U V V Như vậy ta đã chứng tỏ UF2 (E ) cũng có tính chất (N ) và (N ¢ . ) 3.1.1.4. Mệnh đề. Không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi mỗi hệ cơ sở nào đó (tương ứng mọi cơ sở) các o- lân cận lồi cân UT (E ) có tính chất sau: (Q) Với mọi U Î UF (E ) tồn tại V Î UT (E ) và dãy { n }Ì E ¢ với a å¥ pV 0 (an ) < + ¥ và pU (x ) £ å¥ x , an , x Î E . Chứng minh. Bởi vì E (V )¢ có thể đồng nhất với E ¢V 0 ) , nên các bất đẳng thức ( pU (x ) £ å¥ x , an , x Î E và p [ (U ) ]£ x å¥ x (V ), a n , x (V ) Î E (V ) là tương đương. Bất đẳng thức thứ 2 suy ra ánh xạ chính tắc từ E (V ) vào E (U ) là tựa hạch nếu å¥ pV 0 (an ) < + ¥ . Vậy các tính chất (N ) và (Q ) là tương đương với mọi hệ cơ sở các lân cận lồi cân của 0. 3.1.1.5. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu tồn tại (tương ứng tất cả) hệ cơ sở các o-lân cận lồi cân UT ( E ) có tính chất (P ) Đối với mỗi U Î UT (E ) tồn tại V Î UT (E ) , V Ì U là một độ đo 0 Radon dương m trên V sao cho 64
pU (x ) £ ò x , a n d m, x Î E . 0 V Chứng minh. Suy từ định lý 2.2.3.2 về đặc trưng của ánh xạ khả tổng tuyệt đối. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Nếu BT (E ) là một hệ cơ bản các tập lồi bị chặn trong E , thì họ các pôla B 0 , B Î BT (E ) lập thành một cơ ¢ sở các o-lân cận trong E b , không gian E ¢ xét với tôpô mạnh b (E ¢ E ) hội tụ , đều trên các tập bị chặn của E . Do bổ đề 3.1.1.1 ta có: ¢ 3.1.1.6. Mệnh đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Khi đó E b là hạch nếu và chỉ nếu tồn tại một cơ bản các tập lồi cân bị chặn trong E với các tính chất (N ) và (N ¢ . ) 3.1.1.7. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương E gọi là đối ngẫu hạch nếu ¢ E b là hạch. Từ mệnh đề 3.1.1.3 ta có: 3.1.1.8. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch, mọi hệ cơ bản các tập lồi cân bị chặn có tính chất (N ) và (N ¢ . ) 3.1.2. Các họ khả tổng trong không gian lồi địa phương hạch Giả sử E là không gian lồi địa phương tùy ý. Trong mục này ta viết l 1 [ ]= l 1I { } hay l 1I (E ) = l 1 { } I E E I E nếu hai không gian véctơ l 1 [ ] hay l 1 (E ) trùng với l 1 { }. Nếu ngoài ra I E I I E e - tôpô của chúng là p -tôpô của l 1 { } ta viết I E l 1 [ ]º l 1I { } hay l 1I (E ) º l 1 { }. I E E I E 3.1.2.1. Mệnh đề . Nếu E là hạch, thì với mọi tập chỉ số I có đồng nhất. l 1 [ ]= l 1I (E ) = l 1 { }. I E I E Chứng minh. Do mệnh đề 3.1.1.4 đối với mỗi 0 - lân cận lồi cân U Î U(E ) tồn tại V Î U(E ) và một dãy { n }Ì E ' với a 65
å¥ pV 0 (a n ) £ 1 và pU (x ) £ å ¥ x , an , x Î E . Bởi vì åI x , a n £ pV 0 (a n )eV [ i , I ] x ta có bất đẳng thức pU [ i , I ]£ x å å ¥ I x i , a n £ eV [ i , I ] x Suy ra tất cả các họ khả tổng trong E là khả tổng tuyệt đối, nghĩa là l 1 [ ]= l 1I [ ]= l 1 (E ). I E E I 3.1.2.2. Mệnh đề. Nếu đối với không gian lồi địa phương E đồng nhất sau được thỏa mãn l 1 [ ]º l 1 { } hay l 1 (E ) º l 1I [ ] I E I E I E với mọi tập chỉ số I , thì E là hạch. Chứng minh. Vì l 1 (E ) Ì l 1 [ ], chỉ cần chứng tỏ nếu l 1 (E ) º l 1I { }, thì I I E I E E là hạch. Cho U Î U (E ). Khi đó tồn tại V Î U (E ) với V Ì U và pU [ i , I ]£ eV [ i , I ] [ i , I ]Î l 1I (E ) x x , x Bây giờ xét một họ hữu hạn tùy ý [ n ( ), A ] trong E ( ). Nếu x V V s = {1,..., ik }Ì U với k là số phần tử của A . Xác định [ i , I ]Î l 1I (E ) bởi i y y i = 0 nếu i Ï s và y in = x n h với h = 1,..., k , ở đây A = { 1,..., n k }Ì ¥ . n Khi đó do các đồng nhất å A pn x n ( ) = U å pU (x n ) = åI pU (y i ) = pU [ i , I ] y và 66
ì ï ü ï ì ï ü ï sup ï å í (x n (V ), b) : b Î V 0 ï £ sup ï å ý í (y i , b) : b Î V 0 ï = pV [ i , I ] ý y ï A ï î ï þ ï ïï î A ïï þ ta có bất đẳng thức ì ï ü ï å pn x n ( ) £ sup ï å U í (x n (V ), b) : b Î V 0 ï ý A ï A ï î ïï þ Vậy thì ánh xạ chính tắc từ E ( ) vào E ( ) là khả tổng tuyệt đối. V U Kết hợp kết quả của 3.1.2.1 và 3.1.2.2 ta có. 3.1.2.3. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu đối với mỗi tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng có đối với mọi tập chỉ số I ) đồng nhất l 1 [ ]º l 1I { } hay l 1 (E ) º l 1 { } I E E I I E được thỏa mãn. Nếu E là không gian lồi địa phương khả mêtric, thì từ các đồng nhất l 1 [ ]º l 1I { } hay l 1 (E ) º l 1 { } I E E I I E suy ra e - tôpô mạnh hơn p - tôpô (theo định lý 2.2.1.3). Do đó cả hai tôpô này là như nhau và ta có l 1 [ ]= l 1I { } hay l 1 (E ) = l 1 { } I E E I I E Như vậy đối với không gian lồi địa phương khả mêtric ta có. 3.1.2.4. Định lý. Không gian lồi địa phương metric hay khả mêtric E là hạch nếu và chỉ nếu đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng có đối với mọi tập chỉ số I ) đồng nhất l 1 [ ]= l 1I { } hay l 1 (E ) = l 1 { } I E E I I E được thỏa mãn. Sau đây ta sẽ xét định lý 3.1.2.4 trong trường hợp E không khả mêtric. Trước hết ta cần bổ đề sau. 3.1.2.5. Bổ đề. Nếu E là không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch thì với mọi tập bị chặn B trong l 1 [ ] tồn tại tập bị chặn B trong E sao cho I E 67
å I p B (x i ) £ 1, với mọi [ i , I ]Î B . x Chứng minh. Theo giả thiết hU = sup { U ([ i , I ] : [ i , I ]Î B}< ¥ , với e x ) x mọi U Î U (E ). Đặt A = I {h U : U Î U } U (E ) Î B (E ). Khi đó å l i x i Î A với mọi [ i , I ]Î B, l i : l i £ 1, s Î F (I ) và eA [ i , I ]£ 1 với x x s mọi [ i , I ]Î B . x Bây giờ chọn B Î B (E ) sao cho A Ì B và ánh xạ chính tắc E (A, B ) từ E (A ) vào E (B ) là khả tổng tuyệt đối. Vì ta có thể chọn B để p - chuẩn của E (A, B ) nhỏ hơn 1, nên ta có p B [ i , I ]£ eA [ i , I ] với mọi [ i , I ]Î l 1I (E (A )) . x x x Khi đó åI pB (x i ) £ 1 với mọi [ i , I ]Î B . x 3.1.2.6. Mệnh đề. Nếu E là đối ngẫu hạch, thì đối với mọi tập chỉ số I ta có l 1 [ ]= l 1 (E ) = l 1I { }= l 1 E I E I E I Chứng minh. Bởi vì mọi họ khả tổng yếu [ i , I ] trong E có thể xét như một x tập bị chặn (chỉ gồm một phần tử) của l 1 [ ], nên do bổ đề 3.1.2.5 tồn tại I E B Î B (E ) với åI pB (x i ) £ 1 . Vậy mọi họ khả tổng yếu là hoàn toàn khả tổng và ta có l 1 [ ]= l 1 (E ) = l 1I { }= l 1 E I E I E I 3.1.2.7. Mệnh đề. Mọi không gian đối ngẫu hạch có tính chất (B). Chứng minh. Suy trực tiếp từ bổ đề 3.1.2.5. 3.1.2.8. Mệnh đề. Mọi không gian đối ngẫu địa phương E có tính chất (B) thỏa mãn 68
l 1 [ ]= l 1I (E ) hoặc l 1 { }= l 1 E , I E I E I với một tập chỉ số vô hạn nào đó I , là đối ngẫu hạch. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh nếu l 1 [ ]= l 1 { }, thì E là đối ngẫu I E I E hạch. Đối với tập tùy ý A Î B (E ), đặt B = {x n , ¥ ]Î l 1¥ é (A )ù: eA [ n , ¥ ]£ 1}. [ E ë û x Hiển nhiên B bị chặn trong l 1¥ [ ]. Do giả thiết ánh xạ đồng nhất từ E E vào chính nó là khả tổng tuyệt đối, theo định lý 2.2.1.2, B bị chặn trong l 1 { }. Vì E có tính chất (B) thì tồn tại B Î B (E ) để I E å¥ pB (x n ) £ 1, " [ n , ¥ ]Î B . x Suy ra p B [ n , ¥ ]£ eA [ n , ¥ ] x x , " [ n , ¥ ]Î l 1¥ é (A )ù. x E ë û Như vậy ánh xạ chính tắc từ E (A ) vào E (B ) là khả tổng tuyệt đối. Như vậy B (E ) có tính chất (N). Kết hợp các kết quả 3.1.2.6, 3.1.2.7 và 3.1.2.8 ta nhận được 3.1.2.9. Định lý. Không gian lồi địa phương E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu E có tính chất (B) và đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng đối với tất cả các tập chỉ số I ) đồng nhất l 1 [ ]= l 1 { } hay l 1 (E ) = l 1 { } I E I E I I E được thực hiện. Như trường hợp đặc biệt, do các định lý 2.1.5.6, 2.1.5.8 và định lý 3.1.2.4 ta nhận được kết quả sau: 3.1.2.10. Định lý. Không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng đối với tất cả các tập chỉ số I ) đồng nhất 69
l 1 [ ]= l 1 { } hay l 1 (E ) = l 1 { } I E I E I I E được thực hiện. 3.1.3. Không gian đối ngẫu với không gian lồi địa phương hạch ¢ Trước hết ta đưa các điều kiện cần và đủ để đối ngẫu mạnh E b của không gian lồi địa phương hạch E cũng là hạch. 3.1.3.1. Định lý. Không gian lồi địa phương hạch E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu nó có tính chất (B). Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ mệnh đề 3.1.2.7. Để chứng minh khẳng định ngược lại ta chú ý rằng đối với mọi không gian lồi địa phương hạch E do mệnh đề 3.1.2.1 ta có đồng nhất l 1 (E ) = l 1I { }. I E Do đó E có tính chất (B ) . Theo mệnh đề 3.1.2.8 suy ra E là đối ngẫu hạch. 3.1.3.2. Bổ đề. Không gian lồi địa phương tựa thùng E là hạch nếu và chỉ ¢ nếu E b là đối ngẫu hạch. Chứng minh. Do E là tựa thùng nên họ U 0 (E b ) = { 0 : U Î U(E )} ¢ U ¢ là hệ cơ bản các tập chặn trong E b . Từ mệnh đề 3.1.1.6 suy ra Bổ đề vì U(E ) có tính chất (N ) khi và chỉ khi U 0 (E b ) có tính chất (N ) . 3.1.3.3. Định lý. Không gian lồi địa phương tựa thùng đối ngẫu hạch E là ¢ hạch nếu và chỉ nếu E b có tính chất (B ) . ¢ Chứng minh. Vì E b là đỗi ngẫu hạch, nên định lý suy ra từ bổ đề trên và định lý 3.1.3.1. Đối với không gian lồi địa phương chỉ đối ngẫu hạch, ta cần bổ đề sau cải tiến bổ để 3.1.3.2. ¢ 3.1.3.4. Bổ đề. Không gian lồi địa phương s - tựa thùng E là hạch nếu E b là đối ngẫu hạch. 70
Chứng minh. Xét U Î U(E ) tùy ý. Khi đó U 0 Î B(E b ) và do giả thiết nên tồn tại B Î B(E b ) với U 0 Ì B và ánh xạ chính tắc từ E ¢U 0 ) và E ¢ B ) là ( ( hạch. Vậy tồn tại hn Î é (U 0 )ù' và bn Î B sao cho E ë û a= å hn , a bn , " a Î E ¢U 0 ) ( ¥ và å ¥ p( hn ) < + ¥ . Do E là s - tựa thùng { n } là đồng liên tục, nghĩa là tồn tại V Î U(E ) b với bn Î V 0, n ³ 1 và V Ì U . Ta thấy bây giờ rằng ánh xạ chính tắc E ¢U 0 ) ( vào E ¢V 0 ) là hạch bởi vì ta có ( a= å hn , a bn , " a Î E '(U 0 ) ¥ và å ¥ p( hn )(bn ) < + ¥ . Như vậy ta đã chứng minh rằng U(E ) có tính chất (N). Như một trường hợp đặc biệt ta có. 3.1.3.5. Định lý. Không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric là hạch nếu và chỉ nếu nó đối ngẫu hạch. Chứng minh. Bởi vì không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric có tính chất (B) do các định lý 2.1.5.6, 2.1.5.8 và định lý 3.1.2.4, nên theo định lý 3.1.3.1 tất cả không gian lồi địa phương hạch khả mêtric hay đối ngẫu mêtric là đối ngẫu hạch. 3.1.4. Các tính chất của không gian lồi địa phương hạch 3.1.4.1. Mệnh đề. Trong mọi không gian lồi địa phương hạch E tồn tại một ² hệ cơ sở các 0- lân cận UH (E ) sao cho các không gian Banach E (U ) và E ¢U 0 ) là không gian Hilbert. ( 71
Chứng minh. Kí hiệu UH (E ) là họ tất cả các 0 – lân cận cân W sao cho ² E (W ) là không gian Hilbert và như vậy E ¢W 0 ) cũng là không gian Hilbert. ( Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi U Î U(E ) tồn tại W Î UH (E ) để W Ì U . 0 Theo mệnh đề 3.1.1.5 tồn tại V Î U(E ) sao cho trên V tồn tại một độ đo Radon dương m với pU (x ) £ ò 0 x , a d m, x Î E . V Khi đó công thức 1/ 2 ì ï ü ï pW (x ) = ï m(V 0 ) ò x , a d mï 2 í ý , xÎ E ï ï ï ï î V0 þ xác định một nửa chuẩn liên tục pW với pW (x ) £ m(V 0 )pV (x ) . và sinh bởi tích vô hướng (x , y )W = m(V 0 ) ò x , a y , a d m, x Î E . 0 V ² Như vậy E (W ) là không gian Hilbert. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Holder ta có pU (x ) £ pW (x ) với mọi x Î E . Do đó W Ì U và khẳng định được chứng minh. Như một hệ quả của mệnh đề trên, ta có: 3.1.4.2. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu nó chứa một hệ cơ bản các lân cận lồi cân của không UH ( E ) có hai tính chất sau: (H 1 ) E ¢U 0 ) là không gian Hilbert, với mọi U Î UH (E ) . ( (H 2 ) với mỗi U Î UH (E ) tồn tại V Î UH (E ) sao cho V Ì U và ánh xạ chính tắc E ¢U 0,V 0 ) là ánh xạ Hilbert-Schmidt. ( 72
Chứng minh. Theo định 3.2.4.5 trong lớp các không gian Hilbert họ các ánh xạ khả tổng tuyệt đối trùng với họ các ánh xạ Hilbert-Schmidt. Do đó định lý 3.1.4.2 suy ra từ mệnh đề 3.1.4.1. 3.1.4.3. Định lý. Với mỗi không gian lồi địa phương hạch và đối ngẫu hạch E , ánh xạ chính tắc E (A,U ) , với A Î B(E ) và U Î U(E ) , là hạch. Chứng minh. Ta biểu diễn E (A,U ) dưới dạng E (A,U ) = E (V ,U )E (A,V ) tương ứng E (A,U ) = E (B ,U )E (A, B ) , ở đó V là lân cận của 0 tùy ý trong U(E ) , mà V Ì U , B là tập bị chặn tùy ý trong B(E ) , mà A Ì B . Khi đó V , tương ứng B , có thể chọn sao cho ánh xạ E (U ,V ) , tương ứng E (A, B ) , là hạch. 3.1.4.4. Mệnh đề. Nếu với mỗi không gian lồi địa phương E , tất cả các ánh xạ chính tắc E (K ,U ) đều là ánh xạ khả tổng tuyệt đối, với K Î K(E ) , U Î U(E ) , thì lI1(E ) = lI1 [ ] E với mọi tập chỉ số I , ở đó K(E ) là họ tất cả các tập hợp tuyệt đối lồi, đóng, tiền com pắc. Chứng minh. Giả sử [ i , I ] là họ khả tổng bất kỳ trong E . Đặt x ì ï ü ï H s = ï å a i x i : a i £ 1ï và H = U { s : s Î F (I )}. í ý H ï s ï î ï ï þ Khi đó với mỗi lân cận của không V Î U(E ) tồn tại tập hợp s 0 Î F (I ) sao 0 cho å iÎ s ¢ áx i , a ñ £ 1 với mọi a Î V và s ¢Î F (I ) , s ¢Ç s 0 = Æ, để cho x= å a ixi Î H . Ta có x= å a i x i + å a i x i Î H s 0 + V . Do đó s s Çs 0 s / s0 H Ì H s 0 + V . Vì H s 0 là tiền com pắc, nên tồn tại y 1,..., y s Î E sao cho 73
s Hs0 Ì U {y n=1 n +V }. Do đó s Hs0 Ì U {y n=1 n + 2V }. Như vậy H là tập hợp tiền com pắc trong E . Do đó trong K(E ) có tập K chứa H . Vì ås a i x i Î K với mọi s Î F (I ) và a i : a i £ 1 , nên với mọi dạng tuyến tính a Î (E (K ))¢ ta có ås ¢ áx i , a ñ £ pK (a ) < + ¥ . Suy ra họ [ i , I ] thuộc vào lI1(E (K )) . Nhưng theo giả thiết ánh xạ chính tắc x E (K ,U ) là khả tổng tuyệt đối, nên ås pU (x i ) = å pU (x i (U )) < + ¥ s với mọi U Î U(E ) . Vậy tất cả họ khả tổng trong E đều là khả tổng tuyệt đối, do đó lI1(E ) = lI1 [ ] với mọi tập chỉ số I . E Từ các kết quả đã nhận được và mệnh đề 3.1.2.8 suy ra: 3.1.4.5. Định lý. Không gian lồi địa phương E , có tính chất (B ) , là đối ngẫu hạch khi và chỉ khi các ánh xạ chính tắc E (K ,U ) với K Î K(E ) , U Î U(E ) đều là ánh xạ hạch, tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối. Ngoài ra do định lý 3.1.3.4 ta có; 3.1.4.6. Định lý. Không gian lồi địa phương khả metric hay đối ngẫu metric E là hạch khi và chỉ khi các ánh xạ chính tắc E (K ,U ) với K Î K(E ) , U Î U(E ) đều là ánh xạ hạch, tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối. 3.1.4.7. Mệnh đề. Trong không gian lồi địa phương hạch hay đối ngẫu hạch E mọi tập bị chặn đều là tiền com pắc. 74
Chứng minh. Vì mỗi tập con bị chặn của không gian E đều được chứa trong một tập bị chặn tuyệt đối lồi đóng, nên chỉ cần chỉ ra khẳng định của định lý đối với A Î B(E ) . Thật vậy, ta có ánh xạ chính tắc E (A ) vào E (U ) với mỗi lân cận của không U Î U(E ) là hạch, nên là tiền com pắc. Do đó A (U ) = { (U ) Î E (U ) : x Î A } x là tập con tiền com pắc của không gian E (U ) . Từ đó tồn tại x 1,..., x s Î E sao cho s A (U ) Ì U {x n= 1 n (U ) + U (U )}, (1) ở đó U (U ) = { (U ) Î E (U ) : x Î U } x là hình cầu đơn vị đóng của không gian E (U ) . Nhưng từ (1) suy ra s A (U ) Ì U {x n= 1 n + U }. Vậy khẳng định được chứng minh, vì U là lân cận tùy ý của không trong E . 3.2. Tính ổn định của tính hạch Trong phần trước ta đã nghiên cứu sự liên hệ giữa tính hạch của không gian lồi địa phương với đối ngẫu hạch của nó. Ở đây ta sẽ xem xét sự ổn định của tính hạch đối với các phép toán quan trọng trong lớp các không gian lồi địa phương. 3.2.1. Không gian con và không gian thương của không gian lồi địa phương hạch. 3.2.1.1 Mệnh đề. Mọi không gian con F của một không gian lồi địa phương hạch E là hạch. Chứng minh. Đầu tiên chú ý rằng họ các tập U 0 = U Ç F ,U Î U(E ) lập thành thành cơ sở các 0- lân cận trong F . Ngoài ra từ hệ thức p(x (U 0 )) = pU 0 (x ) = pU (x ) = p(x (U )) với x Î F , 75
ta có thể đồng nhất trong không gian định chuẩn F (U 0 ) với không gian con của E (U ) lập bởi các lớp tương đương x (U ), x Î F . Vì U(E ) có tính chất (N ¢ , nên với mỗi U Î U(E ) tồn tại 0- lân cận ) V Î U(E ) sao cho V Ì U và ánh xạ chính tắc E (V ,U ) : E (V ) ® E (U ) là tựa hạch. Khi đó ánh xạ F (V 0,U 0 ) : F (V 0 ) ® F (U 0 ) là hạn chế của E (V ,U ) trên F (V 0 ) cũng là tựa hạch. Do đó họ cơ bản các 0- lân cận trong F : U 0 = U Ç F , U Î U(E ) có tính chất (N ¢ . ) 3.2.1.2. Mệnh đề. Không gian con F của một không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch E là đối ngẫu hạch. Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng A0 = F Ç A, , trong đó A Î B(E ) lập thành một hệ cơ bản các tập bị chặn trong F . Ngoài ra từ hệ thức pA0 (x ) = pA (x ), với x Î F (A0 ) suy ra rằng có thể đồng nhất không gian định chuẩn F (A0 ) với khộng gian con F Ç E (A ) của E (A ) . Vì B(E ) có tính chất (N ) với mỗi A Î B(E ) , nên tồn tại một tập B Î B(E ) sao cho A Ì B và ánh xạ chính tắc E (A, B ) từ E (A ) vào E (B ) là tựa hạch. Khi đó ánh xạ chính tắc F (A0, B 0 ) là hạn chế của E (A, B ) trên F (A0 ) là tựa hạch. Do đó hệ cơ bản các tập bị chặn A0 = F Ç A, A Î B(E ) trong F có tính chất (N). 3.2.1.3. Mệnh đề. Mọi không gian thương Q = E / F của không gian lồi địa phương hạch E theo một không gian đóng F là không gian hạch. Chứng minh. Đối với mỗi a Î F 0 xác định phiếm hàm tuyến tính a trên ˆ không gian thương Q bởi ˆ x (F ), a = x , a , x Î E . 76
Bằng cách này ta có thể nhận được tất cả các phiếm hàm tuyến tính a Î Q ¢. Như vậy Q ¢ có thể đồng nhất với F 0 . Bây giờ ta chú ý rằng họ các ˆ tập U (F ) = { (F ) : x Î U + F } với U Î U(E ) x lập thành một họ cơ sở các 0-lân cận lồi cân trong Q , khi. Ngoài ra từ hệ thức 0 F 0 Ç U 0 = [ (F ) ] U suy ra rằng không gian định chuẩn Q ¢(é (F )0 ù trùng với không gian con U ë ) û véctơ F 0 Ç E ¢U 0 ) của E ¢U 0 ) . ( ( Vì U(E ) có tính chất (N ) đối với mỗi U Î U(E ) nên tồn tại một 0- lân cận V Î U(E ) với V Ì U và ánh xạ chính tắc E ¢U 0,V 0 ) từ E ¢U 0 ) vào ( ( 0 0 E ¢V 0 ) là tựa hạch. Khi đó ánh xạ chính tắc Q ¢[ (F )] , [ (F )] ) như là hạn ( (U V chế của E ¢U 0,V 0 ) trên F 0 Ç E ¢U 0 ) là tựa hạch. Do đó họ U (F ),U Î U(E ) ( ( có tính chất (N). Bởi vì không gian con đóng và thương theo một không gian con đóng của một (F ) - không gian cũng là một (F ) - không gian, nên từ mệnh đề 3.2.1.1 và 3.2.1.3 ta có ngay. 3.2.1.4. Mệnh đề. Nếu F là không gian con đóng của (F ) - không gian hạch E thì F và E / F là các (F ) - không gian hạch. 3.2.1.5. Mệnh đề. Mọi không gian con đóng F của một (F ¢ - không gian ) hạch E là một (F ¢ - không gian hạch . ) Để chứng minh mệnh đề 3.2.1.5, ta cần bổ đề sau: 3.2.1.6. Bổ đề. Nếu F là không gian đóng của một (F ) - không gian đối ngẫu hạch E , thì các tập hợp B (F ) = { (F ) Î Q : x Î B } B Î B(E ) x , lập thành một hệ cơ bản các tập bị chặn của không gian thương Q = E / F . 77
Chứng minh. Bởi vì Q là không gian hạch, theo bổ đề 3.1.3.4 và định lý 3.2.1.3, nên mọi tập bị chặn trong Q là hoàn toàn bị chặn. Giả sử A Î B(Q ) . Khi đó tồn tại một dãy { n (F )} hội tụ tới không trong Q để A bao hàm x trong bao đóng của bao lồi cân của { n (F )} . Xét một cơ sở giảm các 0-lân x cận lồi cân đóng U n trong E . Khi đó { n (F ) = U n + F } lập thành cơ sở các U 0- lân cận trong Q . Suy ra các tập I k = { Î ¥ : pU k ( F ) (x n (F )) ³ 1} n là hữu hạn và ta có I 1 Ì I 2 Ì ... Đặt y n = 0, n Ï UI ¥ k và y n = x n với n Î I 1 , còn trong trường hợp n Î I k + 1 \ I k ta xác định phần tử y n sao cho x n - y n Î F và pU k (y n ) < 1 . Khi đó y n (F ) = x n (F ), với mọi n Î ¥ . Thật vậy, nếu n Ï I k với mọi k thì pU n ( F )(x n (F )) < 1 với mọi n Î ¥ . Nhưng điều đó chỉ xảy ra khi x n (F ) = 0(F ) . Với mỗi n Ï I p ta có hoặc là n Ï UI ¥ k suy ra pU p (F ) (x n (F )) = 0 , hoặc là tồn tại k ³ p để n Î I k + 1 \ I k , do đó pU p (F ) (x n (F )) £ pUk (F ) (x n (F )) < 1 . Vậy thì pU p (y n ) < 1, " n Ï I p . 78
Như vậy { n }Ì E hội tụ tới không. Gọi B là bao đóng của bao lồi y cân của { n }. Ta có B (F ) É A . y Chứng minh mệnh đề 3.2.1.5. Theo mệnh đề 3.2.1.1 cần kiểm tra lại F là một (F ¢ - không gian. Để ) chứng minh điều này ta kết hợp mỗi phần tử x Î F với phiếm hàm tuyến tính h trên E b ¢/ F 0 bởi h, a (F 0 ) = x , a . Với mọi a Î E ¢. Theo cách này ta nhận được tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E b ¢/ F 0 . Theo bổ đề 3.2.1.6 tôpô của (E b ¢/ F 0 )¢ xác định bởi họ các b nửa chuẩn ¢ pb (x ) = sup { h, a(F 0 } ¢ ) : a Î B , B Î B(E b ) mà họ nửa chuẩn này cũng xác định tôpô của F . Như vậy F là một (F ¢ - ) không gian. 3.2.1.7. Mệnh đề. Không gian thương Q = E / F của (F ¢ - không gian ) hạch E theo không gian con đóng F của nó là (F ¢ - không gian hạch. ) Chứng minh. Kết luận của mệnh đề suy ra từ đồng nhất Q với (F 0 )b . Thật vậy, với mọi x (F ) Î Q , xác định dạng tuyến tính x F ) Î (F 0 )¢ cho bởi công ˆ( thức x F ), a = x , a với mọi a Î F 0 . ˆ( Do E ¢ = E , nên theo định lý Hahn-Banach suy ra tương ứng này xác ¢ định đẳng cấu đại số giữa Q và (F 0 )¢. Bởi vì các tập dạng U 0 Ç F 0 với U Î U(E ) lập nên một hệ cơ bản các tập bị chặn trong F 0 , nên tôpô mạnh trên Q = (F 0 )¢ xác định bởi hệ các nửa chuẩn qU (x (F )) = sup { x , a : a Î U 0 Ç F 0 }, U Î U(E ) . Trong khi tôpô thương của Q xác định bởi họ các nửa chuẩn 79
pU (x (F )) = inf { U (x + y ) : y Î F } với U Î U(E ) p , Ta còn phải chứng minh pU (x (F )) = qU (x (F )) khi đó mệnh đề được chứng minh. Thật vậy, từ bất đẳng thức x , a = x + y , a £ pU (x + y ) với mọi x Î E , y Î F và a Î U 0 Ç F 0 , suy ra qU (x (F )) £ pU (x + y ) với mọi y Î F . Do đó qU (x (F )) £ pU (x (F )) . Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta xét x (F ) Î Q với qU (x (F )) £ 1 . Khi đó 0 00 x Î ( 0 Ç F 0 ) = ( + F ) = (U + F ) . U U Do đó, với mỗi e > 0 cho trước, tồn tại phần tử z Î { + eU }Ç (U + F ) , x mà nó có thể biểu diễn dưới dạng z = x + ex 1, x 1 Î U và z = x 2 + y , x 2 Î U , y Î F . Khi đó x - y = x 2 - ex 1 . Từ đó suy ra pU (x (F )) £ pU (x - y ) = pU (x 2 - ex 1 ) £ 1 + e . Cho e ® 0 ta nhận được pU (x (F )) £ 1 khi qU (x (F )) £ 1 . Vậy pU (x (F )) £ qU (x (F )) với x (F ) Î Q . Kết hợp các mệnh đề trước ta nhận được kết quả cơ bản sau. 80
3.2.1.8. Định lý. Đối với mỗi (F ) hay (F ¢ - không gian hạch E tương ứng ) F « F 0 xác định tuơng ứng một đối một giữa các không gian con đóng của ¢ E và E b . Khi đó F º (E b¢/ F 0 )¢b , E / F º (F 0 )¢b , F 0 = (E / F )¢b , E b¢/ F 0 = Fb¢. 3.2.2. Tích và tổng của các không gian lồi địa phương hạch Cho một họ các không gian lồi địa phương (E i )i Î I . Khi đó tích E = ÕE I i là không gian tuyến tính với hai phép toán [x i , I ]+ [ i , I ]= [x i + y i , I ] với [x i , I ][ i , I ]Î E y , ,y a [ i , I ]= [ x i , I ], với [ i , I ]Î E , a Î K . x a x Các tập hợp U = [ i , I ]= {x i , I ]: x i Î E i }, trong đó U i Î U(E i ) , tạo thành U [ hệ cơ bản các lân cận của không trong E . Các nửa chuẩn tương ứng được xác định bởi công thức pU (x ) = sup { U i (x i ) : i Î I } với mọi x = [ i , I ]Î E . p x Khi đó ta nhận được không gian lồi địa phương E và gọi là tích của các không gian lồi địa phương E i . 3.2.2.1. Mệnh đề. Tích E = ÕE I i một họ tùy ý các không gian lồi địa phương hạch là hạch. Chứng minh. Xét một 0-lân cận cân U = [ i , I ] trong E . Khi đó U { I 0 = i Î I :U i ¹ E i . } là hữu hạn. Theo mệnh đề 3.1.1.4 với mỗi i Î I 0 tồn tại V i Î U(E i ) với V i Ì U i và các phiếm hàm tuyến tính a in Î E i¢n ³ 1 , sao cho , å ¥ pV i0 (ain ) < + ¥ 81