Kế hoạch bài giảng: Hình giải tích và đại số tuyến tính - PGS TS Nguyễn Xuân Viên

Chia sẻ: Lê Bảo Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

333
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kế hoạch giảng dạy: Hình giải tích và đại số tuyến tính được PGS TS Nguyễn Xuân Viên biên soạn dựa trên cơ sở là đề cương môn học và giáo án. Tài liệu này gồm 20 bài giảng có nội dung liên quan đến giải tích và đại số tuyến tính. Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu các phương trình tuyến tính và sự biến đổi giữa chúng.Ngoài ra ngành toán học này còn nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy...Tài liệu dùng để tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kế hoạch bài giảng: Hình giải tích và đại số tuyến tính - PGS TS Nguyễn Xuân Viên

KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án) Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên Bài 1. I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ: Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: ∨ ; ∧ ; ⇒ ; ⇔ ; ̅ . Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề: tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1). Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14. Ví dụ: (Hàm ( ) xác định trong lân cận điểm = là hàm liên tục tại x = a) ⇔ ∀( > 0)∃( > 0) ∀ (| − | < ) ⇒ | ( ) − ( )| < . Từ đó (Hàm ( ) xác định trong lân cận điểm = là hàm không liên tục tại x = ⇔ ∃( > 0)∀( > 0) ∃ (| − | < ) ∧ | ( ) − ( )| ≥ I.1.2. Tập hợp và ánh xạ: Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18. Quan hệ thứ tự từng phần. Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21): Khẳng định ( ) phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi ≥ khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện: i) ( ) đúng. ii) Từ ( ) đúng với ≥ suy ra Từ ( + 1) đúng. Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ. Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập continum. Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh. I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số: Định nghĩa phép toán trong ∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có tính kết hợp. Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo của một phần tử a trong A. Tính duy nhất của , của . Nhóm G, nhóm cộng 〈 ; +; 0〉, nhóm Abel, nhóm nhân 〈 ; . ; 〉; nhóm nhân giao hoán 〈 ; . ; 1〉. Khái niệm vành 〈 ; +,0; . 〉. Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, các vành ℝ[ ] - tất cả các đa thức hệ số thực, ℝ[ ] – vành tất cả các đa thức P(x) hệ số thực có bậc ( )≤ . 1
Khái niệm trường 〈 ; +,0; . ,1〉. Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ. Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức = ( + ) có đúng n giá trị , = 0,1,2, … , − 1 cho bởi công thức + 2 + 2 = √ + Các ví dụ về căn bậc n của số phức. Ý nghĩa hình học của căn bậc n của số phức z: n số phức , = 0,1,2, … , − 1 là căn bậc n của số phức z tạo thành n đỉnh của một n- giác đều trên đường tròn bán kính = | | với một đỉnh ứng với số phức = √ + . Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ. I.2. Ma trận I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường … … = × = … , ∈ … ma trận vuông cấp n trên trường … … = = … , ∈ … , ( ) – tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường ( ) – tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường Ma trận đường chéo 0 … 0 0 … 0 = , … 0 0 … còn ký hiệu là: = ( , ,…, ) Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường chéo đều bằng 0: 2
… 0 … = … 0 0 … Ma trận tam giác dưới là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía trên đường chéo đều bằng 0: 0 … 0 … 0 = … … 1 ế = Ma trận đơn vị = = (1,1, … ,1); trong đó = là ký 0 ế ≠ hiệu Kroneker. Ma trận block, block-tam giác. I.2.2. Vành ma trận ( ) Các phép toán trên ma trận: cộng hai ma trận; Nhóm Abel 〈 , ( ); +; 〉; nhân ma trận với một số ∈ ; nhân hai ma trận, tính kết hợp của phép nhân ma trận, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Vành ma trận 〈 ( ); +, ; . 〉 là vành có đơn vị E. Ma trận khả nghịch (GTr1, tr.44-47): - Khái niệm ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo - Nhóm tuyến tính ( , ) - Nghịch đảo của tích các ma trận khả nghịch: ( … ) = … 3
Bài 2. Bài tập: Giáo trình2 (GTr2): Phương pháp qui nạp toán học: 1.1.11d,e Gợi ý: sử dụng nguyên lý qui nạp: 1. Kiểm tra cơ sở qui nạp (công thức đúng với n =1). 2. chứng minh qui nạp : giả sử công thức đúng cho n = m, chứng minh nó đúng cho n = m+1. Tập hợp: 1.1.18; 1.1.21 Gợi ý: 1.1.18: dùng đại số tập hợp biến đổi từ vế phức tạp hơn ra vế đơn giản; Ý a) biến đổi vế phải ra vế trái; ý b) biến đổi vế trái ra vế phải. Ánh xạ: 1.1.24; 1.1.25; 1.1.28 (ý d không bắt buộc (kbb)); Không bắt buộc: 1.1.34; 1.1.30; 1.1.31 Gợi ý: 1.1.28d): Ký hiệu tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y. Gọi , ,…, là tất cả các tập con của Y có đúng m-1 phần tử, hý hiệu = , = 1,2, … , . Rõ ràng số toàn ánh là = | | − ∪ ∪ …∪ |= −| ∪ ∪ …∪ |, sử dụng bài 1.1.26 ta nhận được số T như trong đáp số. Số phức: 1.2.10 (kbb) ; 1.2.14; 1.2.17; 1.2.19; 1.2.21; 1.2.14 a) 1 + 18 b) 10 − 11 1 c)   i 2 d) 1 + 1.2.19 1+ = ( = 0,1,2, … , − 1); = √−1 −1 1+ = ( = 0,1,2, … , − 1); = √1 ; −1 + = ( = 0,1,2, … , − 1); = √−1 −1 1.2.21 a) 2 cos + sin b) cos − sin c) 2 1 + √3 d) √ 2 4
Thêm 2 bài về hình học số phức: 1. Tìm miền biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức (VT351) a) | + 1| + | − 1| = 3 b) | + 2| − | − 2| = 3 c) | − 2| = 2 + d) | + 3 + 4 | ≤ 5 2. Tìm vị trí của các điểm trên mặt phẳng phức ứng với các số phức , , thỏa mãn + + =0 | |=| |=| | (VT347) Gợi ý: Bài 1.a) Theo định nghĩa là Elip + = 1 có tiêu điểm (−1,0), (1,0); 2 = 3, 2 = 2 1.b) − =1 1.c) = 8 ; tiêu điểm (2,0), đường chuẩn = −2 1.d) Hình tròn ( + 3) + ( + 4) ≤ 25 Bài 2. Các đỉnh của tam giác đều ABC trên đường tròn tâm O(0,0) bán kinh = | |. Đa thức và phân thức: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b; Gợi ý: Sử dụng lược đồ Hoocner GTr1, tr12-13 cho các bài 1.3.3a,b; 1.3.4a 1.3.5 Tìm tất cả các nghiệm phức 1.3.6 Tìm tất cả các nghiệm thực, cặp các nghiệm phức liên hợp = + và ̅ = − cho ta thừa số ( − )( − ̅) = −2 + + 1.3.3 a) 3. Gợi ý: (1) = (1) = 0; ′′′(1) ≠ 0 b) 3. 1.3.4a a) ( ) = ( − 2) − 18( − 2) + 38 1.3.5 a) ( − 1)( − 2)( − 3) √ √ c) − √3 + √3 − − − + 3 √3 3 √3 + − + + 2 2 2 2 1.3.6 a) ( + 3)( + 3 + 3)( − 3 + 3); 5
b) −2 +1 +2 +1 +2 +1 Ma trận: 2.1.22b,c,d; 2.1.23a,b; 2.1.25; 2.1.26; 2.1.34; 2.1.42 Gợi ý: 2.1.22 1 ) = 0 1 , 0 0 1 0 1 1 Gợi ý:Viết A = E+B với = 0 0 1 và sử dụng bài 2.1.21. 0 0 0 2.1.23 a) = nếu là số chẵn nếu là số lẻ (−1) (−1) (−1) ⎡ ( ) ( ) ⎤ b) ⎢(−1) (−1) + (−1) (−1) ⎥, ⎢ ( ) ( ) ⎥ ⎣ (−1) (−1) (−1) + (−1) ⎦ 0 Gợi ý: Viết = − ; trong đó = 1 0 0 , = với mọi ≥ 3 −1 0 −1 và áp dụng bài 2.1.21. 2.1.25, 2.1.26 khi tìm có thể tính trực tiếp, biểu diễn = + thì thấy = =⋯= = nên = ( + ) = + (2 − 1) . 2.1.34 Gọi = . Điều kiện = trở thành hệ phương trình, giải ra 0 0 được hai loại ma trận = , = ( ≠ 0) 0 − − 2.1.42 có thể chứng minh trực tiếp rằng ma trận A thỏa mãn phương trình − + = 0 ; trong đó = , = + , từ đó ta có = và tất nhiên là = ⇔ = . 6
Bài 3. I.3. Định thức cấp n I.3.1. Khái niệm định thức cấp n: Khái niệm nghịch thế, hoán vị, bổ đề cơ bản về hoán vị: Thay đổi hai vị trí bất kỳ trong hoán vị làm thay đổi tính chẵn, lẻ của hoán vị ấy (hs tự đọc chứng minh GTr1 tr.48) Định nghĩa định thức cấp n của ma trận = ∈ ( ): = … ; ( , ,…, ) Trong đó tổng được lấy theo tất cả n! các hoán vị khác nhau ( , , … , ) của {1,2, … , }. Các hệ quả từ định nghĩa - Định thức (của ma trận) có một hàng (cột) gồm toàn số 0 thì bằng 0 - Định thức có hai hàng tỷ lệ thì bằng 0 - Định thức (của ma trận) dạng tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo Ví dụ định thức cấp 2, 3. Ba tính chất đặc trưng a), b), c) của định thức và các hệ quả (GTr1,tr53-57) Định thức dạng tam giác (ma trận dạng tam giác), ba biến đổi sơ cấp của định thức (tính định thức bằng phương pháp Gauss) đưa định thức về dạng tam giác; ví dụ minh họa cho định thức cấp 5 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 0 1 1 −1 1 0 1 1 −1 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 −1 1 = 0 2 −2 −2 0 = −8 0 1 −1 −1 0 1 1 1 −1 1 0 2 0 −2 0 0 1 0 −1 0 1 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 = −8 0 0 −1 −1 0 = −8 0 0 −1 −1 0 = 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 −2 1 1 −1 1 1 1 0 1 0 0 0 = −8 0 0 −1 −1 0 = −8.1.1. (−1). (−1). 1 = −8. Trong đó ở bước thứ 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 ba ta đã rút các thừa số chung 2 ra ngoài dấu định thức và đổi chỗ ℎ ↔ ℎ . 7
I.3.2. Khai triển định thức theo một hàng (một cột): chứng minh công thức khai triển theo một hàng. Môi trường ứng dụng các khai triển định thức theo hàng, cột. Cho ví dụ. Khai triển định thức theo k hàng (k cột): Định lý Laplace (tự đọc chứng minh: GTr1, tr61). Định thức của tích hai ma trận (tự đọc chứng minh: GTr1, tr62). Định thức ma trận block-tam giác I.3.3. Cách tính định thức: tự đọc GTr1, tr.65-69. Cho ví dụ minh họa phương pháp tổng hợp: vừa sử dụng pp Gauss vừa pp phân tích theo hàng, cột. Ở ví dụ trên sau bước thứ ba ta được: 1 −1 −1 −1 = −8 . . 1 = (−8). 1.1.1 = −8, đó chính là hệ quả của 0 1 0 −1 định lý Laplace: định thức ma trận block tam giác bằng tích các định thức block trên đường chéo. I.4. Ma trận nghịch đảo I.4.1. Hạng của ma trận: i) Định nghĩa hạng của ma trận: , tính chất. ii) Phương pháp Gauss đưa ma trận vuông về dạng đường chéo (bằng biến đổi sơ cấp hàng và cột): - Các ma trận biến đổi sơ cấp , ( ), ( ). Ý nghĩa của phép nhân ma trận A với các ma trận biến đổi sơ cấp: ; ; ( ) ; ( ); ( ) ; ( ). - Phân tích ma trận vuông = ; trong đó D là ma trận đường chéo; B, C là các ma trận khả nghịch và là tích các ma trận biển đổi sơ cấp (tự đọc, GTr1, tr.74-76). Thuật toán tìm hạng của ma trận Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp, dễ dàng chứng minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp (hay còn gọi là phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận) sau đây: Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về dạng có một số phần tử khác 0 nằm ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác không này bằng hạng của ma trận. Trong khi thực hiện phương pháp Gauss nếu trên một hàng nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên cột của phần tử khác không này. Tương tự cho cột: nếu trên một cột nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên hàng của phần tử khác không này. Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số ta thực hiện phương pháp Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên một hàng hoặc một cột nào đó có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp: 8
- Trường hợp thứ nhất: thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị cụ thể, bài toán được giải quyết. - Trường hợp thứ hai: thừa số chung này khác 0, ta tiến hành giản ước nó đi và tiếp tục phương pháp Gauss. Như vậy là nhu cầu biện luận tham số chỉ cần thiết khi xuất hiện thừa số chung trên một hàng hay một cột nào đó của ma trận. Biến đổi: lấy hàng thứ i của ma trận nhân với a rồi cộng vào hàng thứ j ta sẽ viết ℎ + ℎ , tương tự + : sẽ là lấy cột thứ i của ma trận nhân với a rồi cộng vào cột thứ j. ⊙ - là ký hiệu phần tử đã được tự động khoanh 0. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau tùy thuộc vào các giá trị khác nhau của tham số m −1 0 1 1 2 1 −1 1 = . −1 2 1 −1 1 2 −1 0 0 Sau khi thực hiện các biến đổi −ℎ + ℎ , ℎ + ℎ ta được ⊙ ⊙ 0 ⊙ 1 0 0 0 0 1 2− 2 −1 −1 0 −3 + 4 0 −2 − 1 −5 0   . −1 1 2 0 ⊙ 1 ⊙ ⊙ 0 1 2 −1 0 0 3−2 0 −2 − 1 −4 0 Cột thứ ba có thừa số chung −2 − 1, ta dừng lại biện luận - TH1: = − : ta nhận được ma trận 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ⇒ = 3. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 - TH2: ≠ − : Giản ước cột thứ ba cho −2 − 1 ta nhận được 0 0 0 0 1 1− 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 ⊙ 0 1 ⊙ 0 Trên hàng thứ hai có thừa số chung − 1, dừng lại biện luận hai trường hợp con trong trường hợp 1 (i) m = 1, tương tự như TH1 ta có = 3. (ii) ≠ 1, Giản ước hàng thứ hai cho − 1 ta nhận được 9
0 0 0 0 1 −1 0 0 ⊙ 0 ⇒ = 4. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Như vậy ta nhận được kết quả cuối cùng : 3 nếu ∈ − ,1 = .□ 4 nếu ≠− , ≠1 I.4.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo: có chứng minh (GTr1, tr.64) I.4.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss, thuật toán và ví dụ (GTr1, tr.76-78): - Đưa ma trận khả nghịch A về ma trận đơn vị E chỉ bằng các biến đổi sơ cấp hàng: = ; trong đó T là tích các ma trận biển đổi sơ cấp. - Cơ sở toán học của thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss: = ⇔ = . Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp và giải hệ phương trình tuyến tính Ma trận sơ cấp ∈ ( ) là ma trận nhận được từ ma trận đơn vị ∈ ( ) bằng một biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột). Mỗi biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A tương đương với nhân về phía bên trái A với một trong ba loại ma trận sơ cấp thích hợp tương ứng với các biến đổi sơ cấp của ma trận : đổi chỗ hai hàng, lấy một hàng nhân với một số rồi cộng vào hàng khác, nhân một hàng với một số khác 0. Thuật toán tìm bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A được mô tả như sau: ( | )→( | ). Diễn đạt bằng lời có nghĩa là bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận block ( | ) ( ma trận có n hàng, 2n cột) nếu mà bên trái nhận được ma trận đơn vị E thì bên phải từ E sẽ nhận được . −1 0 −1 Ví dụ: Với = −1 1 0 quá trình tìm được viết như sau: 2 0 1 −1 0 −1 1 0 0 1 0 1 −1 0 0 −1 1 0 0 1 0 → 0 1 1 −1 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 −2 0 −1 10
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 vậy là = 1 1 1 .□ 0 0 1 −2 0 −1 −2 0 −1 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Xét hệ n phương trình tuyến tính không thuần nhất n ẩn có vế phải bằng chữ [ ]=[ ] Nếu hệ này có nghiệm duy nhất thì tồn tại và nghiệm được viết dưới dạng ma trận [ ]= [ ] Cho nên hàng thứ k của ma trận cần tìm chính là hàng hệ số của , k = 1, 2, …, n viết theo thứ tự các chữ ( , , … , ). 1 0 0 Ví dụ : Tìm nếu = 2 1 0 . −1 0 1 Ứng với A ta có hệ phương trình = 2 + = = + 1 0 0 và như thế ta có = −2 1 0 .□ 1 0 1 11
Bài 4. Bài tập: GTr2: Định thức:2.2.4; 2.2.6; 2.2.14f,h; 2.2.15a,b,c,d; 2.2.23; 2.2.25a Gợi ý: 2.2.4: Đổi chỗ ℎ ↔ ℎ được định thức block-tam giác: 1 1 2 =− . 1 = 2( − 1) = 2 ; ( ) =2 3 4 1 2.2.6: (0) chính là hệ số của x trong (1 + )(1 + ) … (1 + ), các số hạng khác của ( ) = ( + ) đều từ bậc hai trở lên nên ở trong (0) bằng 0. (0) = = + +⋯+ 2.2.14 f): 1 - Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ 1 + (−1) h) = 2 Gợi ý: −ℎ + ℎ , −ℎ + ℎ , … , −ℎ + ℎ sau đó phân tích theo cột thứ nhất được = (−1) + . 2.2.15 a) lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng lên tất cả các hàng trên. 2.2.23 Gợi ý: Sử dụng tính cộng tính của định thức viết mỗi hàng của A+x thành tổng hay dưới dạng vectơ hàng là ( + , + ,…, + ) = ( , ,…, ) + ( , ,…, ) Rồi phân tích định thức thành tổng của 2 định thức; trong đó có một định thức là detA , còn lại các định thức khác nhận được từ detA bằng cách thay một hàng nào đó bởi hàng toàn x. Dễ dàng thấy định thức có một hàng toàn x bằng x nhân với tổng các phần bù đại số của hàng đó. 2.2.25 a) = ( − ) [ + ( − 1) ] nếu = ; ( − ) − ( − ) = nếu ≠ . − Cách1: −ℎ + ℎ , −ℎ + ℎ , … , −ℎ + ℎ sau đó phân tích theo cột thứ nhất được công thức truy hồi đơn. Cách2: Giải: Sử dụng bài 2.2.22. 12
=( − ) = − (1) , =( − ) = − (2) , Nếu ≠ thì nhân hai vế (1) với b, hai vế (2) với (- c) rồi cộng lại ta nhận được kết quả như trên. Khi b = c sử dụng bài 2.2.23. ta có =( − ) = − = − = , , − ( − ) và có kết quả như trên.□ Ma trận (tiếp theo): Hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo: GT2: 2.1.45a,b; 2.1.46b,c,e; 2.1.47a,b,d,j,k; 2.1.53a,f,g Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận (GTr1, tr27) 2.1.46 b) 1 nếu = 1, 3 nếu = −3, 4 nếu ≠ 1, ≠ −3 c) 2 nếu = 1, 3 nếu = 2 ℎ ặ = 3, 4 nếu ≠ 1, ≠ 2, ≠3 e) 3 nếu = 0, = −2 hoặc = −4, 4 nếu ≠ 0, ≠ −2, ≠ −4 2.1.47. −1 2 a) 1 −1 0 −1 1 b) −1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 d) 0 1 0 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 … 0 0 0 ⎡0 1 −2 1 0 … 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 −2 1 … 0 0 0⎥ j) ⎢. . . . .. .. .. … .. .. .. ⎥ ⎢0 0 0 0 0 … 1 −2 1 ⎥ ⎢0 0 0 0 0 … 0 1 −2⎥ ⎣0 0 0 0 0 … 0 0 1⎦ 13
Gợi ý: −ℎ + ℎ , −ℎ + ℎ , … , −ℎ + ℎ và lặp lại lần hai. k) 3 0 1 2 1 3 −3 0 0 6 3 0 −3 0 −3 3 2 −2 2.1.53 f) có thể sử dụng bài 2.1.54 biến đổi sơ cấp hàng từ ( | ) đến ( | ): 0 0 1 1 −1 1 0 0 −1 −1 0 1 1 1 2 → 0 1 0 0 3 1 1 1 0 1 0 0 1 1 −1 −1 −1 Vậy là = 0 3 1 −1 Ý g) đưa về ý f) bằng cách chuyển vị = ⇔ =( ) ; thực hiện vế phải theo ý f) sau đó chuyển vị được ma trận X cần tìm. 1 1 ) 0 0 −1 −1 ) 0 3 1 −1 1 2 −1 0 ) 5 6 −9 8 14
Bài 5. I.5. Hệ phương trình tuyến tính I.5.1. Hệ Gauss và công thức Cramer: Hệ n pttt n ẩn [ ]=[ ] (1) . Hệ Gauss là hệ có ≠ 0; Công thức nghiệm của hệ (1) dưới dạng ma trận: [ ]= [ ] (2) và công thức Cramer (có chứng minh): | | = , = 1,2, … , ; | | trong đó là ma trận nhận được từ A bằng cách gạch bỏ cột thứ k thay bằng cột hệ số tự do. I.5.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Hệ m pttt tổng quát n ẩn [ ]= [ ], định lý Croneker – Capelli (tự đọc chứng minh), nghiệm tổng quát và nghiệm riêng. Tìm tất cả các nghiệm của hệ pttt tổng quát. I.5.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Định lý: Để hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn [ ]= có nghiệm khác không điều kiện cần và đủ là: < CM: Cần: Hệ [ ]= có nghiệm khác không thì < . Thật vậy nếu ngược lại , rankA = n thì hệ đã là hệ Gauss có nghiệm duy nhất bằng không, trái với giả thiết. Đủ: Hệ [ ]= có = < thì theo định lý Croneker- Capelly sẽ có số ẩn tự do bằng − ≥ 1. Cho một ẩn tự do giá trị khác 0 được nghiệm khác không. Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản. I.5.4. PP Gauss giải hệ PTTT: mô tả phương pháp, ý nghĩa thực hành của phương pháp Gauss giải hệ pttt tổng quát. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát 15
Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý. Thực chất của phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi tương đương hệ phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó là: (i) Đổi chỗ hai phương trình (ii) Lấy hai vế của một phương trình nhân với một số ∈ rồi cộng tương ứng vào phương trình khác (iii) Nhân hai vế của một phương trình với một số ∈ , ≠ 0. Rõ ràng là các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ viết ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp Gauss giải hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn [ ] = [ ] có dạng … … ( | )= .. .. … .. .. . … Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số , , … , . Nếu không có gạch sọc ngăn cách người ta hiểu hệ là hệ thuần nhất. Ba biến đổi tương đương hệ phương trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận ( | ). Giả sử ≠ 0, khi đó ta thực hiện Bước1: Lấy hàng thứ nhất nhân với − rồi cộng vào hàng thứ hai, theo thỏa thuận từ trước ta sẽ viết − ℎ + ℎ và tiếp tục − ℎ + ℎ ,…,− ℎ + ℎ . Kết quả sau bước1 ta nhận được ma trận của phương pháp Gauss là … 0 ′ … ′ ′ .. .. … .. … 0 ′ … ′ ′ Phương trình có chứa ≠ 0 mà ta đã dùng để loại trừ ẩn ra khỏi các phương trình còn lại được gọi là phương trình gốc. Như vậy trong ví dụ này sau 16
bước1 ta đã lọai được một ẩn ra khỏi các phương trình thứ 2, 3,…, m. Các phương trình gốc được đưa lên phía trên theo thứ tự các bước 1, 2,…. Sau không quá n-1 bước ta sẽ nhận được hàng cuối cùng khác không có một trong hai dạng sau đây: Loại1: Bên trái gạch sọc toàn số 0, còn bên phải khác 0- hệ vô nghiệm. Loại2: Bên trái gạch sọc có ít nhất một hệ số khác 0. Trong trường hợp này hệ có nghiệm. Số ẩn tự do n-r bằng số n trừ đi số phương trình r khi kết thúc phương pháp Gauss. Cho các ẩn tự do các giá trị tùy ý trong ta sẽ nhận được tất cả các nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc các ẩn tự do được gọi là nghiệm tổng quát. Để tìm nghiệm của hệ phương trình người ta ngược từ dưới lên theo các phương trình gốc. Khi hệ thuần nhất có nghiệm khác 0 thì hệ có hệ nghiệm cơ bản. Hệ nghiệm cơ bản có n-r nghiệm có thể tìm được bằng cách cho n-r bộ giá trị các ẩn tự do sao cho ma trận thành lập từ các hàng giá trị này là ma trận khả nghịch. Đơn giản nhất là cho ma trận n-r bộ giá trị các ẩn tự do là ma trận đơn vị ∈ ( ). Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số, ta áp dụng phương pháp Gauss đã xét ở trên đến khi gặp trường hợp trên một hàng nào đó của ma trận hệ có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp như trong thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục c). Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. Tìm hệ nghiệm cơ bản. + −6 +3 = 0 + +2 − =0 − +2 + + =0 Giải và biện luận bằng phương pháp Gauss 1 1 −6 3 1 1 −6 3 1 1 −6 3 1 2 −1 ~ 0 −1 8 −4 ~ 0 3 −6 4 −1 2 1 0 3 −6 4 0 + 2 + 2 0 TH1: m = -2 hệ trở thành 17
1 1 −6 3 = − , có nghiệm tổng quát (NTQ) , , tùy ý 0 3 −8 4 = − =3 =3 hay ; , ∈ tùy ý. (1) = 10 − 5 =8 −4 Hệ nghiệm cơ bản { , } với = (10,8,3,0), = (−5, −4,0,3). TH2: ≠ −2 giản ước hàng thứ ba cho m+2 ta được hệ tương đương 1 1 −6 3 0 3 − 6 4 , 1 ẩn tự do , 0 1 1 0 =4 = (3 + 1) có NTQ ; ∈ tùy ý, (2) = −4 = (9 − ) hệ nghiệm cơ bản { } ớ = (3 + 1, −4,4,9 − ). Kết luận: (i) Khi m = -2 hệ có NTQ (1), hệ nghiệm cơ bản { , } (ii) Khi ≠ −2 hệ có NTQ (2), hệ nghiệm cơ bản { }.□ 18
Bài 6. Bài tập: GTr2: I.5 2.3.6a,b; 2.3.7a,b,c,e; 2.3.9a,b,c; 2.3.10b,c; 2.3.16a,b. 2.3.6 a) NTQ: −9 −2 −5 + + 10 = , = ( , tùy ý); 11 11 (0,1, −1,1); b) NTQ: 1 − 13 8 −6 15 − 6 = , = , = ( tùy ý); 7 7 7 (2, −2,3, −1) 2.3.7 a) (i) = = 1/8, = 1/2 khi = 3, (ii) = 0, = 1/3, = 2/3 khi = 1, (iii)Vô nghiệm khi ≠ 1/3, ≠ 2/3; b) (i) NTQ: =1− − − ( , , tùy ý) khi = 1, (ii) Vô nghiệm khi = −3, (iii) Nghiệm duy nhất = = = = 1/(3 + ) khi ≠ 1, ≠ −3. c) (i) Vô nghiệm khi = −3, = 0, (ii) Khi ≠ 0, ≠ −3 có nghiệm duy nhất 2− 2 −1 +2 − −1 = , = , = ( + 3) ( + 3) ( + 3) e) (i) Khi = 6 có NTQ: =3 −2 , = 11 +3 − 4 , , tùy ý, (ii) Khi ≠ 6 có NTQ: =3 , = = 0, = 11 ( tùy ý); 19
Gợi ý: Ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss là 4 −1 3 −1 4 −1 3 0 0 −2 0 0 −6 0 0 0 0 0 0 −6 2.3.9 2 −1 1 +4 0 5 a) 2 −2 0 0 −3 0 − −2 (i) Khi = 1, hệ có NTQ: = , = − ( tùy ý), hệ nghiệm cơ bản có 1 nghiệm (1,1,-1), (ii) Khi ≠ 1, hệ có nghiệm duy nhất = = = =0 2 −1 1 1 b) − − 2 3 0 0 2( − 1) −1 0 0 (i) Khi = 1, hệ có NTQ: = , = − − ( , tùy ý), hệ nghiệm cơ bản {(1,1, −1,0), (0,0, −1,1)} 2 −1 1 1 (ii) 2 1 0 0 − −8 0 0 0 Khi = −8, hệ có NTQ: = −2 , = −4 − ( , tùy ý), hệ nghiệm cơ bản {(1, −2, −4,0), (0,0, −1,1)} Khi ≠ −8, ≠ 1, NTQ: = = 0, = − ( tùy ý), hệ nghiệm cơ bản {(0,0, −1,1)} 1 −2 1 − −1 1 +2 0 c) +1 +1 0 0 1−3 −2 0 0 (i) Khi = −1, hệ có NTQ: = 2 , = −2 , = −5 ( tùy ý). Hệ nghiệm cơ bản {(1,2, −2, −5)}. (ii) Khi = 1 hệ có NTQ: =− , = , = 2 ( tùy ý). Hệ nghiệm cơ bản {(1, −1,1,2)}. 20