Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 1

Chia sẻ: Chen Linong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 1 có nội dung trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến số; hàm số nhiều biến; giới hạn hàm hai biến; đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến số; quan hệ giữa đạo hàm theo phương và đạo hàm riêng; tích phân bội; tích phân phụ thuộc tham số; tích phân kép; tích phân bội ba;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 1

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013
M l Lêi nãi ®Çu 6 Ch¬ng 1. Php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn sè 7 1.1. Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. C¸ php to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸ h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. T«p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. MÆt Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. MÆt elipxoit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. MÆt hypeboli mét tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. MÆt hypeboli hai tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.6. MÆt tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.7. MÆt nãn bË hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Giíi h¹n hµm hai biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Hµm liªn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n ¶u hµm nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1. §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2. Hµm kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. §¹o hµm theo ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph¬ng vµ ®¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . 19 1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n Êp ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10. C«ng thø Taylor ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.11. Hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.12. Cù trÞ ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.1.Cù trÞ kh«ng ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.2.Cù trÞ ã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2
1.13. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.1.§Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.2.Ph¬ng ph¸p t×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bµi tËp h¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ch¬ng 2. TÝnh ph©n béi 41 2.1. TÝ h ph©n ph thué tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1. TÝ h ph©n x¸ ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2. TÝ h ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2. TÝ h ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝ h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3. C¸ tÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.4. §Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.5. C«ng thø ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.6. C«ng thø ®æi biÕn trong täa ®é ù . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.7. ng dng ña tÝ h ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3. TÝ h ph©n béi ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.2. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bµi tËp h¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ch¬ng 3. TÝ h ph©n ®êng vµ mÆt 73 3.1. TÝ h ph©n ®êng lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2. TÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. TÝnh ph©n ®êng lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2. NhËn xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3
3.2.3. TÝnh hÊt ¬ hä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.4. C¸ h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.5. Chó ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.6. C«ng thø Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.7. §Þnh lý bèn mÖnh ®Ò t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3. TÝ h ph©n mÆt lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1. C¸ kh¸i niÖm vÒ mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4. TÝnh ph©n mÆt lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.2. C¸ h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Quan hÖ gi÷a ¸ tÝ h ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1. C«ng thø Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.2. C«ng thø Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6. V t¬ r«ta vµ trêng thÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bµi tËp h¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ch¬ng 4. Ph¬ng tr×nh vi ph©n 110 4.1. Kh¸i niªm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.1. C¸ bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.2. Ph¬ng tr×nh t¸ h biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.3. Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.4. Ph¬ng tr×nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.5. Ph¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4
4.3.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.3.1. CÊu tró nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.3.1. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai víi hÖ sè h»ng sè . . . . . . 126 4.4. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.1. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.2. Ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . 135 4.4.3. Ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 víi hÖ sè h»ng sè . 136 Bµi tËp h¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5
Lêi nãi ®Çu Trong ho¹t ®éng khoa hä vµ kü thuËt thêng gÆp nhiÒu vÊn ®Ò ã liªn quan ®Õn hµm nhiÒu biÕn sè vµ ¸ øng dng ña hóng. Do vËy, gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè lµ mét m«n hä ®ang gi÷ mét vÞ trÝ quan träng trong ¸ lÜnh vù øng dng vµ trong hÖ thèng ¸ m«n hä ña Hä viÖn C«ng nghÖ Bu hÝnh ViÔn th«ng. C¸ kiÕn thø vµ ph¬ng ph¸p tiÕp Ën ña gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè ®· hç trî hiÖu qu¶ ¸ kiÕn thø nÒn t¶ng ho ¸ m«n hä nh vËt lý, x¸ suÊt thèng kª, to¸n kü thuËt, to¸n rêi r¹ vµ ¸ m«n huyªn ngµnh kh¸ . Bµi gi¶ng "Gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè" ®î biªn so¹n l¹i theo h¬ng tr×nh qui ®Þnh ña Hä viÖn ho hÖ ®¹i hä huyªn ngµnh §iÖn tö-ViÔn th«ng-C«ng nghÖ th«ng tin víi h×nh thø ®µo t¹o theo tÝn hØ. Do ®èi tîng sinh viªn rÊt ®a d¹ng víi tr×nh ®é ¬ b¶n kh¸ nhau, hóng t«i ®· è g¾ng t×m ¸ h tiÕp Ën ®¬n gi¶n vµ hîp lý ®Ó tr×nh bµy néi dung theo ph¬ng ph¸p dÔ hiÓu h¬n, nh»m gióp ho sinh viªn n¾m ®î ¸ kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt. §Ó võa «n tËp, võa tù kiÓm tra kiÕn thø vµ ®Ó h×nh dung ®î mø ®é ña mét ®Ò thi hÕt m«n, sau mçi phÇn lý thuyÕt quan träng hóng t«i thêng ®a ra ¸ vÝ d minh häa hi tiÕt. Néi dung ®î hia thµnh 4 h¬ng. Ch¬ng 1 dµnh ho php tÝnh vi ph©n ña hµm nhiÒu biÕn sè. Ch¬ng 2 vµ 3 tr×nh bµy hi tiÕt vÒ tÝ h ph©n ®êng vµ tÝ h ph©n mÆt. Ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ¸ ph¬ng ph¸p gi¶i ®î ®a ra trong h¬ng 4. C¸ kh¸i niÖm vµ «ng thø ®î tr×nh bµy t¬ng ®èi ®¬n gi¶n vµ ®î minh häa b»ng nhiÒu vÝ d víi ¸ h×nh vÏ sinh ®éng. C¸ høng minh khã ®î lî bít ã hän lä ®Ó gióp ho gi¸o tr×nh kh«ng qu¸ ång kÒnh nhng vÉn ®¶m b¶o ®î , ®Ó tiÖn ho sinh viªn hä tËp huyªn s©u vµ tra øu ph v qu¸ tr×nh hä tËp ¸ m«n hä kh¸ . Cuèi mçi h¬ng hä ®Òu ã ¸ bµi tËp ®Ó sinh viªn tù gi¶i nh»m gióp ¸ em hiÓu s©u s¾ h¬n vÒ lý thuyÕt vµ rÌn luyÖn kü n¨ng thù hµnh. T¸ gi¶ hy väng r»ng gi¸o tr×nh nµy ã Ý h ho ¸ em sinh viªn vµ ¸ b¹n ®ång nghiÖp trong qu¸ tr×nh hä tËp vµ gi¶ng d¹y vÒ m«n hä gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè. T¸ gi¶ òng ¸m ¬n mäi ý kiÕn gãp ý ®Ó gi¸o tr×nh bµi gi¶ng nµy ®î hoµn thiÖn h¬n nh»m n©ng ao hÊt lîng d¹y vµ hä m«n hä nµy. 11/2013, T¸ gi¶: PGS. TS. Ph¹m Ngä Anh 6
Ch¬ng 1. php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1.1. Kh«ng gian Rn 1.1.1. C¸ php to¸n Cho hai v t¬ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khi ®ã, ta nh¾ l¹i ¸ php to¸n quen thué trong kh«ng gian n hiÒu Rn : + Php éng vµ trõ: x ± y = (x1 ± y1 , x2 ± y2 , ..., xn ± yn ). + Php nh©n v t¬ víi 1 sè thù : λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ), ∀λ ∈ R. + Php nh©n v« híng 2 v t¬: hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn . Khi ®ã, ta ã v t¬ x vu«ng gã víi y khi vµ hØ khi x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = 0. + Gã gi÷a 2 v t¬ x 6= 0 vµ y 6= 0 x¸ ®Þnh bëi «ng thø : x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn cos(x, y) = p 2 p . x1 + x22 + ... + x2n y12 + y22 + ... + yn2 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸ h. Cho v t¬ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn . Khi ®ã, huÈn ña v t¬ x lµ mét sè thù ®î ký hiÖu bëi kxk vµ ®î x¸ ®Þnh bëi q kxk = x21 + x22 + ... + x2n . ChuÈn ã ¸ tÝnh hÊt ¬ b¶n sau: + kxk ≥ 0 ∀x ∈ Rn vµ kxk = 0 khi vµ hØ khi x = 0. + kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ Rn , λ ∈ R. + kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn . Khi ®ã, kho¶ng ¸ h gi÷a x ∈ Rn vµ y ∈ Rn ®î x¸ ®Þnh bëi «ng thø d(x, y) = kx − yk. 1.1.3. T«p«. Cho x ∈ Rn , ǫ > 0. Khi ®ã 7
+ B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk < ǫ} gäi lµ h×nh Çu më ã t©m t¹i ®iÓm x vµ b¸n kÝnh lµ ǫ. + ¯ ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ ǫ} gäi lµ h×nh Çu ®ãng ã t©m t¹i ®iÓm x vµ b¸n kÝnh lµ ǫ. B(x, + §iÓm x ∈ M ⊆ Rn gäi lµ ®iÓm trong, nªu tån t¹i mét h×nh Çu më B(x, ǫ) sao ho B(x, ǫ) ⊆ M . TËp hîp ¸ ®iÓm trong ña M ®î gäi lµ phÇn trong ña M vµ ký hiÖu bëi intM . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp më, nÕu intM = M . + Cho M ⊆ Rn . §iÓm x ®î gäi lµ ®iÓm biªn ña M , nÕu víi mäi ǫ > 0 th× B(x, ǫ) høa nh÷ng ®iÓm thué M vµ nh÷ng ®iÓm kh«ng thué M . TËp hîp ¸ ®iÓm biªn ña M ®î ký hiÖu lµ ∂M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ mét tËp ®ãng, nÕu ∂M ⊆ M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ bÞ hÆn bëi α > 0, nÕu kxk ≤ α ∀x ∈ M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp ompa t, nÕu M lµ tËp ®ãng vµ bÞ hÆn. 1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn Cho ∅ 6= D ⊆ Rn . Khi ®ã, ¸nh x¹ f :D→R x¸ ®Þnh bëi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D 7−→ y = f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R ®î gäi lµ mét hµm sè nhiÒu biÕn, TËp D ®î gäi lµ miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè f . C¸ sè x1 , x2 , ..., xn ®î gäi lµ ¸ biÕn sè ña hµm sè f. VÝ d 1.1. Cho R > 0. T×m miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè q f (x) = R2 − x21 − x22 − ... − x2n . Gi¶i. Theo ®Þnh nghÜa, miÒn x¸ ®Þnh D ®î x¸ ®Þnh bëi D ={x ∈ Rn : R2 − x21 − x22 − ... − x2n ≥ 0} ={x ∈ Rn : kx − 0k2 ≤ R2 } ¯ R). =B(0, Díi ®©y lµ mét sè mÆt bË 2 thêng gÆp trong kh«ng gian R3 . 1.2.1. MÆt Çu Ph¬ng tr×nh: (S) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 }. 8
z c I b y O a x H×nh 1: MÆt Çu. Khi ®ã, ®iÓm I(a, b, c) gäi lµ t©m vµ R gäi lµ b¸n kÝnh ña mÆt Çu (S). 1.2.2. MÆt Elipxoit Ph¬ng tr×nh: x2 y 2 z 2 (E) : + 2 + 2 = 1 (a, b, c > 0). a2 b c C¸ mÆt ¾t x2 y 2 (Oxy) z = 0 : + 2 = 1. a2 b 2 y z2 (Oyz) x = 0 : 2 + 2 = 1. b c x2 z 2 (Oxz) y = 0 : 2 + 2 = 1. a c 1.2.3. MÆt hypeboloit 1 tÇng Ph¬ng tr×nh: x2 y 2 z 2 (H1 ) : + 2 − 2 = 1 (a, b, c > 0). a2 b c C¸ mÆt ¾t x2 y 2 (Oxy) z = 0 : + 2 = 1. a2 b 9
z c b y O a x H×nh 2: MÆt elipxoit. y2 z2 (Oyz) x = 0 : − 2 = 1. b2 c 2 x z2 (Oxz) y = 0 : 2 − 2 = 1. a c 1.2.4. MÆt hypeboloit 2 tÇng Ph¬ng tr×nh: x2 y 2 z 2 (H2 ) : + 2 − 2 = −1 (a, b, c > 0). a2 b c §iÒu kiÖn z2 − 1 ≥ 0 ⇔ z ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞). c2 C¸ mÆt ¾t y2 z2 (Oyz) x = 0 : − 2 = −1. b2 c 2 x z2 (Oxz) y = 0 : 2 − 2 = −1. a c 2 x y2 h2 (P ) z = h > c : 2 + 2 = 2 − 1. a b c 10
z b y O a x H×nh 3: MÆt hypeboloit 1 tÇng. z c y O −c x H×nh 4: MÆt hypeboloit 2 tÇng. 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti Ph¬ng tr×nh: x2 y 2 (P E) : + = 2z (p, q > 0), p q 11
víi ®iÒu kiÖn z ≥ 0. C¸ mÆt ¾t (Oyz) x = 0 : y 2 = 2qz. (Oxz) y = 0 : x2 = 2pz. x2 y 2 (P ) z = h > 0 : + = 2h. p q z y O x H×nh 5: MÆt hypeboloit-elipti . 1.2.6. MÆt tr Ph¬ng tr×nh: (Tz ) : f (x, y) = 0 song song víi tr Oz, (Ty ) : g(x, z) = 0 song song víi tr Oy, (Tx ) : f (y, z) = 0 song song víi tr Ox, trong ®ã f, g, h : D ⊆ R2 → R. 1.2.7. MÆt nãn bË hai Ph¬ng tr×nh: x2 y 2 z 2 (N) : + 2 − 2 = 0 (a, b, c > 0). a2 b c C¸ mÆt ¾t b (Oyz) x = 0 : y = ± z. c 12
z y O x H×nh 6: MÆt tr song song Oz . a (Oxz) y = 0 : x = ± z. c 2 2 x y h2 (P ) z = h > 0 : 2 + 2 = 2 . a b c 1.3. Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè §Ó hiÓu vÒ giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè trong kh«ng gian Rn , ta ã thÓ nghiªn øu th«ng qua giíi h¹n ña hµm hai biÕn sè. Mét d·y ®iÓm {Mn } ⊂ R2 ®î gäi lµ dÇn tíi ®iÓm M0 ∈ R2 , viÕt t¾t lµ Mn → M0 khi n → ∞ hay lim Mn = M0 , nÕu víi mäi ǫ > 0 tån t¹i sè tù nhiªn n(ǫ) sao n→∞ ho Mn ∈ B(M0 , ǫ) ∀n ≥ n(ǫ). Trong trêng hîp ®Æ biÖt: NÕu lim xn = x0 vµ lim yn = y0 th× ®iÓm Mn (xn , yn ) → M0 (x0 , y0) n→∞ n→∞ khi n → ∞. Cho mét hµm 2 biÕn sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trong l©n Ën ña ®iÓm M0 ∈ R2 ã thÓ trõ ®iÓm M0 . Khi ®ã, sè m ®î gäi lµ giíi h¹n ña hµm f (x, y) khi (x, y) dÇn tíi M0 (x0 , y0), ký hiÖu lim f (M) = m, nÕu víi mäi d·y ®iÓm bÊt kú {Mn } ⊂ R2 sao ho lim Mn = M0 th× M →M0 n→∞ lim f (Mn ) = m. n→∞ Ta ã thÓ høng minh ®î r»ng: lim f (M) = m khi vµ hØ khi M →M0 ∀ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀M ∈ B(M0 , δ) ⇒ |f (M) − m| < ǫ. 13
z y O x H×nh 7: MÆt nãn bË hai. VÝ d 1.2. T×m giíi h¹n x2 y I1 = lim . (x,y)→(0,0) 2x2 + y 2 Gi¶i. x2 y Hµm sè f (x, y) = 2x2 +y 2 x¸ ®Þnh trªn D = R2 \{(0, 0)}. Tõ bÊt ®¼ng thø x2 x2 1 2 2 ≤ 2 = ∀(x, y) ∈ D, 2x + y 2x 2 ta ã |f (x, y)| ≤ 12 |y| víi mäi (x, y) ∈ D . Do ®ã
x2 y
0 ≤ lim
2