BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trường Đại Học Cần Thơ
GIÁO TRÌNH
VI TÍCH PHÂN C
Biên soạn:
Lê Phương Quân
(Khoa Khoa Học)
2
Lời nói đầu
Giáo trình VI TÍCH PHÂN C được biên soạn với mục đích đáp ứng nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về
các phép tính giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm số một hoặc nhiều biến thực và bước đầu tìm
hiểu một số ứng dụng của chúng, so với những yêu cầu về kiến thức Toán Giải tích cần được trang
bị cho sinh viên khối ngành Sinh học. Mục đích này cũng nhằm phục vụ trước tiên là cho yêu cầu
đổi mới phương pháp giảng dạy và yêu cầu tăng cường thời lượng và nội dung tự học cho sinh viên.
Với mục đích trên, Giáo trình được bố cục theo một cấu trúc nhất quán khi giới thiệu một khái
niệm: trình bày định nghĩa chính xác, các tính chất cơ bản, một số ví dụ ứng dụng có liên quan và
những gợi ý củng cố hoặc mở rộng. Thông thường, những gợi ý như vậy sẽ được đặt trong những
“Chú ý” và người đọc nên dành thời gian trả lời (hay chứng minh) những câu hỏi (hay những kết
quả) được đặt ra trong đó.
Giáo trình được chia thành 5chương với những nội dung cụ thể sau:
Chương 1: Củng cố kiến thức về số thực qua việc xây dựng tập Rtừ tập Qdựa trên định lý về
thuật toán chia Euclide. Các hàm số sơ cấp được trình bày trên nền tảng “ánh xạ” và các phép
toán lượng giác, phép lấy giá trị hàm mũ thực đã được xây dựng chi tiết ở bậc học Trung học
phổ thông. Sự kế thừa những nội dung khó, lại được xây dựng dưới hình thức không chặt chẽ
như vậy, vẫn có lợi ích nhất định vì đã rất quen thuộc. Khái niệm “giới hạn” và một số “quá
trình” được trình một cách tỉ mỉ nhằm giúp người đọc nắm vững khái niệm nền tảng này trên
tinh thần “hiểu được tính hợp lý của những quan điểm về khoảng cách và quan hệ thứ tự”. Mối
quan hệ giữa giới hạn hàm số và giới hạn dãy số được đề cập vì sự thuận tiện trong tính toán
và cả trong chứng minh. Việc thiết lập quan hệ giữa các “vô cùng bé tương đương” bước đầu
hình thành ý tưởng xấp xỉ: biểu diễn, ước lượng sai số. Các ứng dụng về giới hạn dãy trong
Sinh học được đặt trong phần cuối chương như một sự nhắc nhở về tính thực tế của các quá
trình “rời rạc”, cho dù quá trình “liên tục” mới chính là quá trình được vận dụng chủ yếu để
xây dựng các công cụ trong Giải tích. Dãy Fibonacci được nhắc đến như một mối liên hệ bí ẩn
giữa Toán học và Sinh học, mà “tỉ số vàng” được sinh ra từ đó như một sự kết tinh kỳ diệu!
Chương 2: Một loạt các công cụ tính toán quan trọng được hình thành trong chương này đều dựa
trên “đạo hàm”, một khái niệm được trình bày như một đại lượng đặc trưng cho “sự biến thiên
về mặt giá trị của hàm số tại một điểm” hay “khuynh hướng thay đổi giá trị của hàm số”. Cách
diễn đạt sau, dù nôm na, nhưng lại hướng đến tính chất dự báo của đạo hàm và làm cho ứng
dụng của khái niệm này trở nên phong phú hơn. Một hệ thống các công cụ chủ yếu được giới
thiệu như quy tắc L’Hospital, công thức Taylor, phương pháp Newton nhằm giải quyết những
vấn đề cơ bản trong Giải tích: tính xấp xỉ giá trị của hàm số, giải gần đúng phương trình
và tìm lời giải tối ưu. Những công cụ này được hình thành từ “Ba chàng Ngự lâm pháo thủ”,
chính là các định lý mang tên các nhà toán học Pháp: Rolle, Lagrange và Cauchy. Các phép
chứng minh của các định lý cơ bản này giúp ta hiểu được rằng những công cụ vô cùng sắc bén
và mạnh mẽ có thể được xây dựng từ những ý tưởng đơn giản. Xác định mối quan hệ giữa các
3
4Lời nói đầu
“tốc độ biến thiên” là vấn đề khá phổ biến trong ứng dụng và được trình bày dưới hình thức
“quy trình”. Nắm vững các bước giải của các bài toán khai thác mối quan hệ này cũng là một
trong những yêu cầu quan trọng của Giáo trình. Số phức và hàm số phức của một biến thực
được chọn giới thiệu ở cuối chương, ngay sau nội dung về “tọa độ cực” vì sự thuận tiện và khả
năng mở rộng mức độ khai thác hệ thống số mới và đặc biệt này, khi đã có đủ nhiều những
công cụ được xây dựng đối với số thực. Điểm đặc biệt của Giáo trình ở phần này là công thức
Euler được xây dựng trực tiếp từ công thức Taylor và giới hạn dãy, mà không phải thông qua
nội dung của Lý thuyết Chuỗi.
Chương 3: Tích phân bất định được nhắc lại một cách hệ thống cùng với các kỹ thuật tính các
dạng nguyên hàm cơ bản. Nội dung này có thể xem như một “Bảng tra cứu” ngắn gọn, nhưng
đáp ứng đầy đủ các yêu cầu tính các dạng nguyên hàm cần thiết của các bài toán ứng dụng
trong Sinh học. Tuy nhiên, việc dùng một phần mềm tính toán khoa học (chẳng hạn là Maple)
để làm thay công việc “không dễ dàng” trên là điều nên được khuyến khích, nhất là khi ta chỉ
cần đến kết quả tính toán mà không cần phải lý giải các bước thực hiện. Tích phân xác định
được trình bày bởi hai hình thức tương đương: tổng Darboux và tổng Riemann, với mục đích
sử dụng các hình thức này trong việc chứng minh chặt chẽ tính khả tích và trong việc trình
bày một cách thuận tiện mô hình ứng dụng tích phân xác định. Các ứng dụng khác nhau của
phép tính tích phân được trình bày nhằm mục đích “rèn luyện” để “thấm nhuần” việc vận dụng
mô hình ứng dụng tích phân trong những điều kiện, ý nghĩa khác nhau của bài toán đặt ra.
Tích phân suy rộng thực chất là một nội dung có tính chất chuẩn bị cho việc lĩnh hội các công
cụ mạnh mẽ và hết sức hiệu quả để giải “phương trình vi phân”, là mô hình của hầu hết các
bài toán trong ứng dụng. Những công cụ đó chính là các phép biến đổi tích phân, chẳng hạn:
phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier, . . . .
Chương 4: Giới thiệu các khái niệm tôpô trong tập Rnvà hàm số nbiến thực xác định trên
D⊂Rn. Cùng với khái niệm “khoảng cách” giữa các điểm n-chiều, khái niệm giới hạn, dù
được giới thiệu cho trường hợp 2biến, có thể được mở rộng dễ dàng cho trường hợp nbiến.
Tương tự, đạo hàm riêng của hàm “nhiều biến” theo “một biến” được nhấn mạnh là đạo hàm
bình thường theo biến đó, khi xem mọi biến còn lại là hằng số. Chính vì tính “phiến diện”
của đạo hàm riêng mà sự mở rộng đến khái niệm “đạo hàm theo một hướng” bất kỳ là cần
thiết, đặc biệt là đạo hàm theo hướng “pháp tuyến” của các “đường mức” (hay “mặt mức”) là
những đại lượng quan trọng trong ứng dụng. Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến được
trình bày như một hệ quả của trường hợp một biến đã xét trong Chương 2. Ý tưởng ở đây
là: biểu diễn giá trị của hàm số tại một điểm n-chiều Mtrong lân cận của điểm M0qua các
giá trị đạo hàm riêng tại M0và sự khác biệt về vị trí của chúng (độ lệch của các thành phần
tọa độ), với “số hạng dư” có liên quan đến thông tin của một điểm nào đó, nằm trên “đường
thẳng” nối M0và M. Khái niệm “hàm số ẩn” và công thức tính đạo hàm của hàm số ẩn là
những nội dung quan trọng cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng. Phần quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong chương này chính là phần “cực trị” của hàm số. Mặc dù, theo định nghĩa, cực trị
của hàm số chỉ có tính chất “địa phương”, nhưng trên thực tế ta thường cần đến các cực trị
theo nghĩa “toàn cục”, nghĩa là các giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số trên miền xác
định. Ở đây, các phép biến đổi đại số hay các công cụ của “Đại số tuyến tính” nói chung là
hết sức quan trọng vì nhờ đó mà ta xác định được các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Thể hiện
rõ nét nhất của khẳng định trên chính là bài toán xác định các “công thức thực nghiệm” bậc
nhất, bậc hai bằng “phương pháp bình phương nhỏ nhất”. Trong đó, việc xác định điểm cực
tiểu toàn cục nhờ vào các bước kiểm tra một “dạng toàn phương” có là “xác định dương” hay
không.
Lời nói đầu 5
Chương 5: Qua các ví dụ mở đầu, “phương trình vi phân” được trình bày như là một “ngôn ngữ
diễn đạt” hay “công cụ mô tả” các định luật, hiện tượng trong Vật lý, Sinh học hay tổng quát
hơn là “mô hình” toán học của các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tính tồn tại và
duy nhất nghiệm của các phương trình luôn được nhấn mạnh vì là cơ sở cho các thuật giải
khác nhau. Các kỹ thuật giải phương trình cấp một cơ bản được trình bày đầy đủ. Các phương
trình cấp hai, thường gặp trong cơ học, được xét chủ yếu ở đây là “phương trình tuyến tính”
mà cấu trúc nghiệm của nó dễ dàng được mở rộng cho trường hợp cấp n. Chú ý rằng, đối với
trường hợp phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n, tập nghiệm là một “không gian vector”
n-chiều. Đặc biệt, để xác định được đầy đủ nnghiệm riêng “độc lập tuyến tính” của phương
trình tuyến tính thuần nhất cấp nvới hệ số hằng, về nguyên tắc, ta vận dụng Định lý 2.17 và
công thức Euler. Các “phương pháp giải số” được giới thiệu là cần thiết vì nói chung, phương
trình dạng y0=f(x, y)rất khó xác định công thức nghiệm hay thậm chí hoàn toàn không thể.
Tuy nhiên, việc xác định các nghiệm số của phương trình lại rất đơn giản. Các phương pháp
Euler và Runge-Kutta được chọn vì rất phổ biến và dễ viết các chương trình tính toán. Các
bài toán thực tế sẽ được khảo sát thêm, từ các bước “thiết lập mô hình” với các điều kiện có
liên quan đến “giải mô hình” bằng các kỹ thuật đã xét: tìm nghiệm dưới dạng công thức hay
lời giải số.
Nội dung tham khảo trong các tài liệu được liệt kê phần lớn là về cấu trúc của một số “nhóm kiến
thức cơ bản” nhưng được sắp xếp theo chủ ý của các tác giả. Những nội dung như vậy, tất nhiên,
trong Giáo trình này cũng sẽ được sắp xếp theo một trật tự khác hẳn với một số thay đổi. Tuy
nhiên, việc sử dụng những nội dung này không phải là một công việc dịch thuật mà hoàn toàn có
thể được xem là một cuộc đối thoại, trao đổi, góp ý lẫn nhau giữa người biên soạn và các tác giả
của các quyển sách tham khảo. Một vài chi tiết cụ thể được cung cấp trong Giáo trình có thể được
chỉ ra như sau:
1. Phần chứng minh sự hội tụ về tỉ số vàng của dãy số được thành lập từ các số hạng liên tiếp
của dãy Fibonacci.
2. Các phần chứng minh cho các định lý trong Chương 2là các Định lý 2.14,2.15. Riêng các
Định lý 2.9, Định lý 2.16 được phát biểu lại và được chứng minh theo quan điểm của người biên
soạn.
3. Công thức Euler được chứng minh bằng các lý luận về dãy số.
4. Phân tích sự biểu diễn Taylor đối với hàm số nbiến số để nêu bật vai trò của gradient và
Hessian của một hàm số ftại một điểm khi khảo sát cực trị tại điểm đó. Từ đó dẫn đến phần chứng
minh của các điều kiện đủ về cực trị tự do và có điều kiện. Kỹ thuật dùng định lý Sylvester được
nhấn mạnh để kiểm tra các tiêu chuẩn cực trị trong các điều kiện đủ khi hàm số có nbiến số, với
n≥3.
5. Áp dụng kỹ thuật tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai (nbiến) vào việc chứng minh công
thức thực nghiệm bậc nhất được xác định theo phương pháp bình phương nhỏ nhất.
6. Cách dùng số phức hay kết quả tương đương khi không dùng số phức trong việc xác định
dạng nghiệm riêng của các phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Chương trình vẽ đường
gấp khúc Euler dù được viết bằng một số lệnh theo cú pháp của Maple nhưng qua đó cũng cung
cấp giải thuật đơn giản mà bạn đọc có thể viết bằng các ngôn ngữ khác nhau.
Cuối mỗi chương đều có phần Bài tập và bạn đọc nên dành nhiều thời gian để giải các bài toán
trong đó. Bản thân chúng cũng đã được phân loại từ dễ đến khó nhưng không theo một trật tự nhất
định và bạn đọc dễ dàng phát hiện được sự phân loại này khi “thực sự” giải chúng. Khoảng từ 50%
của số bài tập trở lên trong Giáo trình được giải “đúng” sẽ là điều kiện bảo đảm người học vượt qua
“cửa ải” thú vị này một cách nhẹ nhàng. Hãy vững tin rằng nếu bạn đọc nắm được hệ thống kiến