Giáo trình
Khoa Toán - Tin học
Fac. of Math. & Computer Science
Bộ môn Giải tích
VI TÍCH PHÂN
1
1
Giáo trình Vi tích phân 1
Bộ môn Giải tích
(Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh)
Bản ngày 18 tháng 3 năm 2025
Mục lục
Giới thiệu 1
1 Số thực và Hàm số thực 4
1.1 Sốthực .................................. 4
1.1.1 Tậphợpvàánhxạ........................ 4
1.1.2 Quy tắc suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Các tập hợp số thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Dãysốthực............................ 12
1.2 Hàmsố .................................. 21
1.2.1 Đồthị............................... 21
1.2.2 Hàmsốsơcấp .......................... 23
2 Hàm số liên tục 29
2.1 Giớihạncủahàmsố........................... 29
2.1.1 Tiếp tuyến, vận tốc, tỉ lệ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Một số tính chất căn bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Các giới hạn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Hàmsốliêntục.............................. 48
2.2.1 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Phép tính vi phân 59
3.1 Đạohàm ................................. 59
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Các công thức cho đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 Đạo hàm của hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.5 Đạohàmbậccao......................... 76
ii
MỤC LỤC iii
4 Ứng dụng của đạo hàm 79
4.1 Cựctrịcủahàmsố............................ 79
4.1.1 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . 83
4.1.2 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Liên hệ giữa đạo hàm và tính chất của hàm . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 Tính tăng, giảm, và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Tính lồi, lõm, và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.3 Xấpxỉtuyếntính ........................ 99
4.2.4 Quy tắc l’Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn . . . . . . 101
5 Phép tính tích phân 116
5.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Định lý Cơ bản của phép tính vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1 Nguyênhàm ........................... 123
5.2.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Các phương pháp biến đổi và tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.1 Phép đổi biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt . . . . . . . . . 137
5.3.4 Sự tồn tại công thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.5 Tính tích phân bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.6 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.1 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.2 Giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.3 Một số ứng dụng trong khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4.4 Xácsuất ............................. 155
6 Chuỗi 164
6.1 Chuỗisố.................................. 164
6.1.1 Sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Chuỗisốdương.......................... 168
6.1.3 Chuỗisốbấtkì ......................... 172
6.2 Chuỗihàm ................................ 182
6.2.1 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.2 Chuỗilũythừa.......................... 188
6.2.3 *ChuỗiFourier.......................... 192
Hướng dẫn sử dụng phần mềm máy tính 197
Tài liệu tham khảo 201