BỘ MÔN TOÁN GIẢI TÍCH
BM TOÁN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2024-2025
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1
Năm học 2024 - 2025
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1. Tính giới hạn
1) LIM
x→+∞(√x2+ 2x+ 5 −x)
2) LIM
x→−∞(√x2−5x−1−√x2+ 3x+ 3)
3) LIM
x→0
√COS x−3
√COS x
SIN2x
4) LIM
x→1
3
1−√x−2
1−3
√x
5) LIM
x→0
1
x
1
x−1+1
x+ 1
6) LIM
x→+∞
px+√x
√x+ 1
7) LIM
x→∞x21−COS 1
x
8) LIM
x→0
√1+ 2x2−COS x
x2
9) LIM
x→0
√5−√4+ COS x
x2
10) LIM
x→2
2x−x2
x−2
11) LIM
x→0
ex3−1 + x2
xTAN x
12) LIM
x→0
ex−COSx
√1+ 2x−1.
13) LIM
x→0
1−COS x
4
√1+ 4x2−1.
14) I=LIM
x→0
1−COS5x
LN(1 + xSIN x).
15) I=LIM
x→0
1−√COS x.√COS2x
SIN2x.
16) LIM
x→1(1 −x)TAN πx
2
17) LIM
x→∞
3x+ 1
3x+ 2
4x
18) LIM
x→∞
3x2+ 1
3x2+ 5
2x2+ x
19) LIM
x→∞
2x2+ 1
2x2−5
x2
20) LIM
x→∞
x+ 2
x+ 1
3x
21) LIM
x→1(1 + SIN πx)COT πx
22) LIM
x→0(1 −2x2)COT2x
23) LIM
x→0+
X
pCOS√x
Bài 2. Vô cùng bé, vô cùng lớn
1) So sánh các VCB sau:
(a) f(x) = 1 −COS2xvà g(x) = xkhi x→0.
(b) f(x) = LN (1 + SIN x)và g(x) = 2xkhi x→0.
(c) f(x) = √1+ x−√1−xvà g(x) = x2khi x→0.
(d) f(x) = x−1và g(x) = COT πx
2khi x→1.
(e) f(x) = 1 −COS2xvà g(x) = LN(1 + x2)khi x→0.
1
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1
BM TOÁN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2024-2025
(f) f(x) = √1+ x−√1−xvà g(x) = SIN xkhi x→0.
(g) f(x) = COS 2
x−COS 1
xvà g(x) = 1
xkhi x→ ∞.
(h) f(x) = x.COS 1
xvà g(x) = xkhi x→0.
2) So sánh các VCL f(x) = ex+e−x,g(x) = ex−e−xkhi
(a) x→+∞. (b) x→ −∞.
3) Tìm phần chính dạng Cxαkhi x→0của VCB:
(a) f(x) = √1−2x−1 + x.
(b) f(x) = TAN x−SIN x.
(c) f(x) = ex2−COS x.
(d) f(x) = √3−√2+ COS x.
Bài 3. Xét tính liên tục
1) f(x) =
2x
e2x −e−xvới x6= 0
avới x= 0
2) f(x) =
x2−1
x−1nếu x6= 1
anếu x= 1
3) f(x) =
1−COS √x
xnếu x > 0
anếu x≤0
4) f(x) =
√1+ x−1
xnếu x > 0
a+ 2COSxnếu x≤0
5) f(x) =
(x2−1) SIN π
x−1nếu x6= 1
anếu x= 1
6) f(x) =
3
√1+ 2x−1
xnếu x > 0
a+x2nếu x≤0
PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm giới hạn LIM
x→0
x−1
x2−1
x+ 1
A1.B2.C0.D1
4.
Câu 2. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→0+
1
1+ e1
xvà L2=LIM
x→0−
1
1+ e1
x
AL1=3
2và L2=1
3.BL1= 0 và L2= 1.CL1=1
2và L2= 1.DL1= 1 và L2=1
2.
Câu 3. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→0+
1
1+ 21
x
+SIN x
x
!
và L2=LIM
x→0−
1
1+ 21
x
+SIN x
x
!
AL1=−∞,L2= 2.BL1= 2,L2= + ∞.CL1= 1,L2= 2.DL1= 2,L2= 1.
Câu 4. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→+∞
1+ 2x
2+ 3x+SIN x
x
và L2=LIM
x→−∞
1+ 2x
2+ 3x+SIN x
x
AL1=1
2,L2= 0.BL1=3
2,L2=1
3.CL1= 0,L2= 1.DL1= 0,L2=1
2.
2
BỘ MÔN TOÁN GIẢI TÍCH
BM TOÁN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2024-2025
Câu 5. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→+∞
1+ 7x
2+ 5x+xSIN 1
x
và L2=LIM
x→−∞
1+ 7x
2+ 5x+xSIN 1
x
AL1=1
2,L2= 0.BL1= + ∞,L2=3
2.
CL1=3
2,L2= + ∞.DL1= 1,L2=1
2.
Câu 6. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→0+
1+ e1
x+xaRCTaN1
x
và L2=LIM
x→0−
1+ e1
x+xaRCTaN1
x
AL1=1
2,L2= 0.BL1= + ∞,L2=3
2.
CL1= 1,L2= + ∞.DL1= + ∞,L2= 1.
Câu 7. Tìm các giới hạn L1=LIM
x→+∞
x−√x2−2xvà L2=LIM
x→−∞
x−√x2−2x
AL1=1
2,L2= 0.BL1= + ∞,L2=3
2.
CL1= 1,L2=−∞.DL1= 1,L2=1
2.
Câu 8. Tìm giới hạn LIM
x→+∞
3
√1−x3+x
A0.B1.C2.D+∞.
Câu 9. Tìm giới hạn LIM
x→+∞
3
√x3+ 3x−√x2−2x
A1.B2.C3.D0.
Câu 10. Tìm giới hạn LIM
x→±∞
x2−2x+ 1
x2+ 4x+ 5
x
Ae3.Be4.C1.De−6.
Câu 11. Tìm giới hạn LIM
x→0(1 + SIN x)1
x
Ae3.Be4.Ce.D4
√e.
Câu 12. Tìm giới hạn LIM
x→0(COS x)COT2x
Ae−6.B1
√e.Ce4.D4
√e.
Câu 13. Tìm giới hạn LIM
x→0(COS3x)2
x2
Ae−9.B1
√e.Ce4.D4
√e.
Câu 14. Tìm giới hạn LIM
x→0(COS x+SIN x)COT x
Ae−9.B1
√e.Ce.D4
√e.
Câu 15. Tìm giới hạn LIM
x→1
3
√x2−23
√x+ 1
(x−1)2
A1.B1
9.C3.D3
2.
Câu 16. Tìm giới hạn LIM
x→−∞
LN(m+ex)
x,m > 0
Am.B2m.C−m.D0.
3
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1
BM TOÁN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2024-2025
Câu 17. Tìm giới hạn LIm
x→0
LN(1 + TaN4x)
x2SIN2x
A1.B2.C3.D+∞.
Câu 18. Tìm giới hạn LIm
x→0
5x−4x
x2+x
ALN 5
4.BLN 4
5.CLN 5.D3
2.
Câu 19. Tìm giới hạn LIm
x→+∞x2e1
x−e1
x−1
A1.B−1.C2.D0.
Câu 20. Tìm giới hạn LIm
x→+∞
x
1+ e1
x−x
2
!
.
A1.B2.C−1
4.D1
4.
Câu 21. Tìm giới hạn LIm
x→0
√1+ x−√1−x
3
√1+ x−3
√1−x.
A1.B3.C2.D3
2.
Câu 22. Tìm giới hạn LIm
x→+∞
LN(m+ex)
x,m > 0.
Am.B1.C−m.D0.
Câu 23. Tìm giới hạn LIm
x→1
(1 −√x) (1 −3
√x)···(1 −N
√x)
(x−1)n−1,n≥2.
A(−1)n−1
n!.B(−1)n
n!.C(−1)n+ 1
n!.D1
n!.
Câu 24. Tìm giới hạn LIm
x→1
xmx −1
xLnx.
A2m.Bm.C−m.Dm+ 1.
Câu 25. Tìm giới hạn LIm
x→0
x−SIn 5x+SIn2x
4x+ aRCSIn2x+x2.
A1.B2.C−1.D0.
Câu 26. Cho f(x) = 1 −COSx+Ln (1 + aRCTan2x) + aRCSIn2x. Khi x→0thì
Af(x)∼x.Bf(x)∼3x2
2.Cf(x)∼5x2
2.Df(x)∼ −x2
2.
Câu 27. Cho f(x) = Ln (1 + Tan3x) + √1 + 2SInx−1(aRCSIn 2x+x2). Khi x→0thì
Af(x)∼3x.Bf(x)∼3x2
2.Cf(x)∼5x2
2.Df(x)∼ −x2
2.
Câu 28. Cho hàm số y=f(x)xác định bởi phương trình tham số
x= aRCTan t
y=t2
2.Khi x→0thì
Af(x)∼ −x2
2.Bf(x)∼x2
2.Cf(x)∼3x2
2.Df(x)∼5x2
2.
Câu 29. Cho f(x) = 1 −COS2x+L
n(1 + tan22x) + 2aRCSInx. Khi x→0thì
Af(x)∼2x.Bf(x)∼3x2
2.Cf(x)∼5x2
2.Df(x)∼ −x2
2.
4
BỘ MÔN TOÁN GIẢI TÍCH
BM TOÁN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2024-2025
Câu 30. Cho f(x) = Ln (1 + x2) + √1 + 2x−1(aRCSIn 2x+x2). Khi x→0thì
Af(x)∼3x.Bf(x)∼3x2
2.Cf(x)∼5x2
2.Df(x)∼ −x2
2.
Câu 31. Xác định mđể hàm số f(x) =
SInx
x,nếu x6= 0
m, nếu x= 0 liên tục tại x= 0.
Am= 1.Bm= 2.Cm= 3.Dm= 0.
Câu 32. Xác định mđể hàm số f(x) =
COS x
x,nếu x6= 0
1+ 2m, nếu x= 0 liên tục tại x= 0.
Am= 1.Bm= 2.Cm= 3.DKhông tồn tại m.
Câu 33. Xác định mđể hàm số f(x) =
aRCtan 1
(x−1)2,nếu x < 1
x2+ 3x+m
x2+ 1 ,nếu x≥1liên tục tại x= 1.
Am= 1.Bm= 2.Cm=π−4.Dm=−π−4.
Câu 34. Xác định mđể hàm số f(x) =
xSInx+ 2tan2x
x2,nếu x < 0
COS2x+ 2m, nếu x≥0liên tục tại x= 0.
Am= 0.Bm= 1.Cm= 2.Dm= 3.
Câu 35. Xác định mđể hàm số f(x) =
xaRCSInx
L
n(1 + x2),nếu x∈(−1; 1) \ {0}
1 + 3m, nếu x= 0
liên tục tại x= 0.
Am= 0.Bm= 1.Cm= 2.Dm= 3.
Câu 36. Tìm mđể hàm số f(x) =
ARCTAN 1
x−2,nếu x6= 2
1 + 2m, nếu x= 2
liên tục tại x= 2.
Am= 1.Bm= 2.Cm= 3.DKhông tồn tại m.
Câu 37. Tìm mđể hàm số f(x) =
LN (1 + TAN 4x)
xSI N x,nếu x∈(−1; 1) \ {0}
m, nếu x= 0
liên tục tại x= 0.
Am= 1.Bm= 2.Cm= 0.DKhông tồn tại m.
Câu 38. Tìm mđể f(x) =
√2x+ 1 −COS x
x,nếu x∈−1
2; + ∞\ {0}
m, nếu x= 0
liên tục tại x= 0.
Am= 0.Bm= 1.Cm= 2.DKhông tồn tại m.
5