Bài tập Giải tích B1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Giải tích B1 bao gồm các bài tập về dãy số, chuỗi số, hàm số liên tục, đạo hàm, tích phân. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích cho các bạn sinh viên ôn tập lại các kiến thức lý thuyết cũng như thực hành môn Toán giải tích B1. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Giải tích B1

BỘ MÔN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1 KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM.
Chương 1 Dãy số, chuỗi số A. Bài tập mở đầu chuỗi số I Tìm ít nhất 10 tổng riêng phần của chuỗi. Vẽ đồ thị của dãy các số hạng và dãy các tổng riêng trên cùng hệ trục tọa độ. Chuỗi có vẻ hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ thì tìm tổng của chuỗi. Nếu nó phân kỳ thì giải thích tại sao. 1 1 1 XÂ 1 Ã X 12 X n 1 1. 3. 5. p p . 5/n p n2 C 4 n nC1 nD1 nD1 nD1 1 1 X 7nC1 1 X X 1 2. cos n 4. 6. 10n n.n C 2/ nD1 nD1 nD1 2n 7. Đặt an D . 3n C 1 a) Dãy fan g hội tụ hay không. X1 b) Chuỗi an hội tụ hay không. nD1 n X n X 8. a) Giải thích sự khác biệt giữa ai và aj . iD1 j D1 n X n X b) Giải thích sự khác biệt giữa ai và aj iD1 iD1 II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ thì tính tổng.
A. Bài tập mở đầu chuỗi số 3 16 64 1 X . 3/n 1 9. 3 4C C 15. 3 9 4n nD1 9 27 10. 4 C 3 C C C 4 16 1 X 1 11. 10 2 C 0:4 0:08 C 16. p nD0 . 2/n 12. 2 C 0:5 C 0:125 C 0:03125 C 1 n 1 X X 17. 13. 6.0:9/n 1 3nC1 nD0 nD1 1 1 X 10n X en 14. 18. . 9/n 1 3n 1 nD1 nD1 III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi. 1 1 1 1 1 1 ! 19. C C C C C X n2 C 1 3 6 9 12 15 27. ln 2n2 C 1 nD1 1 2 1 2 1 2 1 20. C C C C C C 1 3 9 27 81 243 729 X 28. Án 2 1 nD1 1 C 3 X n 1 21. 1 3n 1 Ák nD1 X 29. 3 1 kD0 X k.k C 2/ 22. 1 .k C 3/2 X kD1 30. .cos 1/k kD0 1 X 1 C 2n 23. 1 3n X nD1 31. arctan n nD1 1 X 1 C 3n 1 XÂ 3 Ã 24. 2 2n 32. C nD1 5n n nD1 1 p 1 X n XÂ 1 1 Ã 25. 2 33. C nD1 en n.n C 1/ nD1 1 X 1 X en n 1 n 26. Œ.0:8/ .0:3/ 34. n2 nD1 nD1
4 Chương 1. Dãy số, chuỗi số IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ bằng cách triệt tiêu từng cặp số hạng của tổng riêng phần sn để rút gọn. Nếu chuỗi hội tụ thì tính tổng của chuỗi. 1 1 XÂ Ã X 2 1 1 35. 38. cos 2 cos n2 1 n .n C 1/2 nD2 nD1 1 1 X n X Á 36. ln 39. e 1=n e 1=.nC1/ nC1 nD1 nD1 1 1 X 3 X 1 37. 40. n.n C 3/ n3 n nD1 nD2 41. Cho x D 0:999999:::: a) x < 1 hay x D 1? b) Dùng tổng của chuỗi hình học để tìm x. c) Có bao nhiêu biểu diễn thập phân đại diện cho số 1? d) Những số nào có hơn một biểu diễn thập phân? 42. Cho dãy được định nghĩa bởi a1 D 1; an D .5 n/an 1 1 X Tính an . nD1 B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. 1 X 1 1 1 X 1 X n 1. p 3. 5. 5 n .2n C 1/3 n2 C1 nD1 nD1 nD1 1 X 1 1 1 X 1 X n3 2. 4. p 6. n2 e n5 nC4 nD1 nD1 nD1 II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi 5 1 X 1 1 X ln n 7. p 17. : n 2 n3 nD1 nD1 1 X 0:9999 1 8. n : X 1 18. : nD3 n2 C 6n C 13 nD1 1 1 1 1 9. 1 C C C C C 1 8 27 64 125 X 1 19. : 1 1 1 1 n ln n 10. 1C p C p C p C p C nD2 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 1 1 1 X 1 11. 1 C C C C C 20. : 3 5 7 9 n.ln n/2 nD2 1 1 1 1 1 12. C C C C C 1 5 8 11 14 17 X e 1=n 21. : X pn C 4 1 n2 nD1 13. n2 nD1 1 X n2 1 n2 22. : en X 14. : nD3 n3 C 1 nD1 1 1 X 1 X 1 23. : 15. : n2 C n3 n2 C 4 nD1 nD1 1 X 3n 4 1 X n 16. : 24. : n2 2n n4 C1 nD3 nD1 III Giải thích tại sao Tiêu chuẩn Tích phân không thể áp dụng để xác định chuỗi hội tụ hay không. 1 X cos . n/ 1 X cos2 n 25. p . 26. : n n2 C 1 nD1 nD1 IV Tìm giá trị p để chuỗi hội tụ. 1 1 X 1 X 27. : 29. n.1 C n2 /p : n.ln n/p nD2 nD1 1 1 X 1 X ln n 28. : 30. : n ln nŒln .ln n/p np nD3 nD1
6 Chương 1. Dãy số, chuỗi số C. Bài tập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu) I Kiểm tra sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. 2 2 2 2 2 1 1. C C X 3 5 7 9 11 11. . 1/nC1 ne n nD1 2 4 6 8 10 2. C C C 1 5 6 7 8 9 X 12. . 1/n 1 2=n e 1 1 1 1 1 3. p p Cp p Cp nD1 2 3 4 5 6 1 X 1 X . 1/n 1 13. . 1/n 1 arctan n 4. nD1 2n C 1 nD1 1 X sin .n C 1 / 1 X . 1/n 1 14. p2 5. 1C n ln .n C 4/ nD0 nD1 1 X n cos n 1 X 3n 1 15. 6. . 1/n 2n 2n C 1 nD1 nD1 1 1 X X n n 16. . 1/n sin. / 7. . 1/ p n nD1 n3 C 2 nD1 1 1 X . 1/n cos. / X 8. n . 1/ e n 17. n nD1 nD1 1 p 1 n X nn . 1/n X n 9. . 1/ 18. 2n C 3 n! nD1 nD1 1 1 X nC1 n2 X p p 10. . 1/ 19. . 1/n . n C 1 n/ n3 C 4 nD1 nD1 II Chứng minh rằng chuỗi hội tụ. Ta cần cộng bao nhiêu số hạng của chuỗi để tìm tổng với sai số tương ứng. 1 X . 1/nC1 ˇ 1 X . 1/n ˇ , ˇsai sốˇ < 0:00005 , ˇsai sốˇ < 0:000005 ˇ ˇ 20. 22. n6 10n n! nD1 nD0 1 X . 1/n ˇ 1 X , ˇsai sốˇ < 0:0001 . 1/n 1 n , ˇsai sốˇ < 0:01 ˇ ˇ ˇ 21. 23. ne n5n nD1 nD1
D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 7 III Xấp xỉ tổng của chuỗi đúng đến 4 chữ số thập phân. 1 X . 1/n 1 X . 1/n 1 n2 24. 26. .2n/! 10n nD1 nD1 1 X . 1/nC1 1 X . 1/n 25. 27. n6 3n n! nD1 nD1 D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 1-27. Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ? 1 X . 2/n 1 X . 1/n e 1=n 1 X . 2/n 1. 10. 19. n2 n3 nn nD1 nD1 nD1 1 X n 1 X sin 4n 2. 11. 1 !n n5 4n X n2 C 1 nD1 nD1 20. 2n2 C 1 1 1 nD1 X n 1 n X 10n 3. . 1/ 12. n 2C4 .n C 1/42nC1 nD1 nD1 1 Ã5n XÂ 2n 1 X . 1/n 1 21. X n10 nC1 4. 13. nD2 5n C 1 . 10/nC1 nD0 nD1 1 1 1 Ãn2 X . 3/n X . 1/n arctan n XÂ 1 5. 14. 22. 1C .2n C 1/! n2 n nD0 nD1 nD1 1 Â Ãk 1 X 2 X 3 cos n 6. k 15. 1 X .2n/! 3 n2=3 2 kD1 nD1 23. .n!/2 1 X n! 1 X . 1/n nD1 7. 16. 100n ln n nD1 nD1 1 X n100 100n 1 1 24. X .1:1/n X n! n! 8. . 1/n 17. nD1 n4 nn nD1 nD1 1 1 X cos n =3 1 X 2n2 X n n 9. . 1/ p 18. 25. n3 C 2 n! n! nD1 nD1 nD1 1:3 1:3:5 1:3:5:7 1 1:3:5:7: :.2n 1/ 26. 1 C C C . 1/n C 3! 5! 7! .2n 1/!
8 Chương 1. Dãy số, chuỗi số 2 2:6 2:6:10 2:6:10:14 27. C C C C 5 5:8 5:8:11 5:8:11:14 28-57. Kiểm tra sự hội tụ và phân kỳ của các chuỗi sau 1 1 XÂ 1 Ã 1 X 1 1 X 28. 38. C n 48. . 1/n cos.1=n2 / n C 3n n3 3 nD1 nD1 nD1 1 X .2n C 1/n 1 1 X 1 X 1 29. 39. 49. n2n p k k2 C 1 2C sin k nD1 kD1 kD1 1 1 X 3n n2 1 X n X 30. . 1/n 40. 50. tan.1=n/ nC2 n! nD1 nD1 nD1 1 1 1 X nn X sin 2n X 31. . 1/ 2 41. 51. n sin.1=n/ n C2 1 C 2n nD1 nD1 nD1 1 X n2 2n 1 1 X 2k 1 3kC1 1 X n! 32. 42. 52. . 5/n kk en 2 nD1 kD1 nD1 1 1 1 X n2 C 1 X 1 X n2 C 1 33. 43. 53. 2n C 1 n3 C 1 5n nD1 nD1 nD1 1 1 1 X 1 X1 3 5 .2n 1/ X k ln k 34. p 44. 54. n ln n 2 5 8 .3n 1/ kD1 .k C 1/3 nD1 nD1 1 1 1 X e 1=n X 2k k! X . 1/n 1 35. 45. p 55. .k C 2/! n 1 n2 nD1 kD1 nD2 1 1 1 X . 1/n n ln n X X 2 k 36. k e 46. . 1/ p 56. n cosh n kD1 nD1 nD1 1 1 p 3 1 p n3 k 1 X j j . 1/ X X 2 57. 37. n e 47. p k. k C 1/ j C5 nD1 kD1 j D1 E. Bài tập chuỗi luỹ thừa 1-26. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi 1 1 X . 1/n x n 1 X X xn 1. . 1/n nx n 2. p 3 3. n 2n 1 nD1 nD1 nD1
E. Bài tập chuỗi luỹ thừa 9 1 1 X . 1/n x n X x 2nC1 b>0 4. 12. . 1/n n2 .2n C 1/! 1 X bn nD1 nD0 20. .x a/n , với 1 1 ln n X xn X .x 2/n nD2 5. 13. b>0 n! n2 C 1 nD0 nD0 1 X 1 X 1 X .x 3/n 21. n!.2x 1/n 6. nn x n 14. . 1/n nD1 2n C 1 nD1 nD0 1 1 1 X 3n .x C 4/n X n2 x n X n2 x n 22. 7. . 1/n n 15. p 2 4 6 .2n/ 2 n nD1 nD1 nD1 1 X .5x 1 X 10n x n 1 X n 4/n 23. 8. 16. .x C 1/n n3 n3 4n nD1 nD1 nD1 1 1 X . 3/n 1 X .x 2/n X x 2n 9. p xn 17. 24. n n nn n.ln n/2 nD1 nD1 nD1 1 1 1 X xn X .2x 1/n X xn 10. 18. p 25. n3n 5nn 1 3 5 .2n 1/ nD1 nD1 nD1 1 1 1 X xn X n X n!x n 11. . 1/n 19. .x a/n , với 26. 4n ln n bn 1 3 5 .2n 1/ nD2 nD1 nD1
Chương 2 Hàm số liên tục 1. Cho đồ thị hàm số f như hình dưới. a) Tìm các điểm gián đoạn của f và giải thích. b) Từ các điểm tìm được trên câu .a/, xác định tại điểm nào mà hàm số liên tục bên trái hoặc bên phải hoặc không liên tục cả hai bên. 2. Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm các khoảng mà hàm số g liên tục. 3. Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số f liên tục thoả mãn từng khẳng định gián đoạn sau a) Gián đoạn nhưng liên tục bên phải tại 2. b) Gián đoạn tại 1 và 4 nhưng liên tục bên trái tại 1 và liên tục bên phải tại 4.
11 4. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau liên tục hay không liên tục a) Nhiệt độ của một vùng cụ thể là một hàm số theo thời gian. b) Nhiệt độ tại một thời điểm cụ thể như là một hàm số theo khoảng cách lấy gốc là Hà Nội dọc theo tia hướng vào Tp. Hồ Chí Minh. c) Độ cao so với mực nước biển như là một hàm số theo khoảng cách dọc Bắc Nam tính từ Hà Nội. d) Giá cước của taxi như là một hàm số theo khoảng cách đi được. e) Dòng điện trong mạch qua đèn điện như là một hàm số theo thời gian. 5. Giả sử f và g là các hàm số liên tục sao cho g.2/ D 6 và lim Œ3f .x/ C f .x/g.x/ D x!2 36. Tính f .2/. 6. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục tại điểm a cho trước. p3 a) f .x/ D 3x 4 5x C x 2 C 4; a D 2: b) f .x/ D .x C 2x 3 /4 ; aD 1: 2t 3t 2 c) h.t/ D ; a D 1: 1 C t3 7. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục trên khoảng cho trước. p 2x C 3 b) g.x/ D 2 3 x; . 1; 3: a) f .x/ D ; .2; 1/: x 2 8. Giải thích vì sao các hàm số sau gián đoạn tại điểm a cho trước. Vẽ đồ thị mỗi hàm số. 1 a) f .x/ D ; a D 2: xC2 8 1 nếu x ¤ 2 < b) f .x/ D xC2 aD 2: : 1 nếu x D 2: 1 x2 nếu x < 1 c) f .x/ D a D 1: 1=x nếu x 1: 8 < x2 x d) f .x/ D 2 nếu x ¤ 1 a D 1: : x 1 1 nếu x D 1: nếu x < 0 8 < cos x e) f .x/ D 0 nếu x D 0 a D 0: 1 x 2 nếu x > 0: :
12 Chương 2. Hàm số liên tục 8 < 2x 2 5x 3 f) f .x/ D nếu x ¤ 3 a D 3: x 3 6 nếu x D 3: : 9. Hãy định nghĩa f .2/ sao cho mỗi hàm số có gián đoạn khử được trở thành liên tục tại 2. x2 x 2 x3 8 a) f .x/ D b) f .x/ D x 2 x2 4 10. Sử dụng định lý 4; 5; 7 và 9 giải thích vì sao các hàm số sau liên tục trên miền xác định. Tìm miền xác định. p3 tan x a) F.x/ D x 2 p 2x 2 x 1 x3 2 4 x2 x2 C 1 sin x g) M.x/ D d) h.x/ D r b) G.x/ D xC1 1 1C x2 C 1 e) h.x/ D cos.1 x 2x 2 x 1 x2/ h) F.x/ D c) Q.x/ D f) B.x/ D sin.cos.sin x// 11. Xác định các điểm gián đoạn của các hàm số sau và vẽ đồ thị. 1 a) y D 1 C sin x p b) y D tan x 12. Dùng sự liên tục để tính các giới hạn sau. p 5C x c) lim x cos2 x a) lim p x! =4 x!4 5Cx b) lim sin.x C sin x/ d) lim .x 3 3x C 1/ 3 x! x!2 13. Chứng minh rằng f liên tục trên . 1; 1/, với f định bởi x2 nếu x < 1 f .x/ D p x nếu x 1:
Chương 3 Đạo hàm Chú ý: Phần bài tập A yêu cầu tính độ dốc, đạo hàm bằng định nghĩa. A. Bài tập về định nghĩa đạo hàm 1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước. p a) y D 4x 3x 2 , .2; 4/ c) y D x, .1; 1/ 2x C 1 b) y D x 3 3x C 1, .2; 3/ d) y D , .1; 1/. xC2 2. a) Tìm độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với đường cong y D 3 C 4x 2 2x 3 tại điểm x D a. b) Tìm phương trình tiếp tuyến tại các điểm .1; 5/ và .2; 3/. c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung. 1 3. a) Tìm độ dốc hệ số góc của tiếp tuyến tới đường cong y D p tại điểm x D a. x 1 b) Tìm phương trình của tiếp tuyến tại các điểm .1; 1/ và .4; /. 2 c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung. 4. Đồ thị bên dưới biểu diễn hàm vị trí của hai vận động viên A và B trên đường đua cự ly 100m.
14 Chương 3. Đạo hàm a) Mô tả và so sánh tốc độ chạy của hai vận động viên. b) Dựa vào đồ thị, ước đoán tại thời điểm nào khoảng cách giữa các vận động viên là lớn nhất? c) Ước đoán xem tại thời điểm nào họ có cùng vận tốc? 5. Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên không trung với vận tốc 40f t=s, độ cao của nó (đơn vị feet) sau thời gian t giây là được cho bởi y D 40t 16t 2 . Tìm vận tốc khi t D 2. 6. Nếu một hòn đá được ném thẳng đứng lên cao ở hành tinh sao Hoả với vận tốc 10m=s, chiều cao của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi H D 10t 1:86t 2 . a) Tìm vận tốc của hòn đá sau một giây. b) Tìm vận tốc của hòn đá khi t D a. c) Trong bao lâu hòn đá sẽ quay lại chạm mặt đất? d) Vận tốc của hòn đá là bao nhiêu khi hòn đá chạm mặt đất? 7. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y D g.x/ tại x D 5 nếu g.5/ D 3 và g 0 .5/ D 4. 8. Nếu một phương trình tiếp tuyến tới đường cong y D f .x/ tại điểm a D 2 là y D 4x 5, tìm f .2/ và f 0 .2/. 9. Nếu đường tiếp tuyến của y D f .x/ tại .4; 3/ đi qua điểm .0; 2/, tìm f .4/ và f 0 .4/. 10. Vẽ đồ thị của một hàm f mà f .0/ D 0, f 0 .0/ D 3, f 0 .1/ D 0, f 0 .2/ D 1. 11. Vẽ đồ thị của một hàm g mà g.0/ D g.2/ D g.4/ D 0, g 0 .1/ D g 0 .3/ D 0, g 0 .0/ D g 0 .4/ D 1, g 0 .2/ D 1, lim g.x/ D 1 và lim g.x/ D 1. x!5 x! 1C 12. Nếu f .x/ D 3x 2 x 3 , tìm f 0 .1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong y D 3x 2 x 3 tại điểm .1; 2/. 13. Nếu g.x/ D x 4 2, tìm g 0 .1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong y D x 4 2 tại điểm .1; 1/. 5x 14. a) Nếu F.x/ D , tìm F 0 .2/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của 1 C x2 5x đường cong y D tại điểm .2; 2/. 1 C x2 b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một màn hình. 15. a) Nếu G.x/ D 4x 2 x 3 , tìm G 0 .a/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong y D 4x 2 x 3 tại điểm .2; 8/ và .3; 9/. b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một màn hình. 16. Tìm f 0 .a/ vớif định bởi
B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange 15 a) f .x/ D 3x 2 4x C 1 2t C 1 c) f .t/ D t C3 b) f .t/ D 2t 3 C t d) f .x/ D x 2 17. Lượng dưỡng khí có thể hoà tan trong nước phụ thuộc vào nhiệt độ của nước (vì vậy ô nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy trong nước). Đồ thị sau cho thấy độ hoà tan S của dưỡng khí thay đổi như một hàm theo nhiệt độ T của nước. a) Ý nghĩa của đạo hàm S 0 .T / là gì? Đơn vị của nó là gì? b) Ước tính giá trị S 0 .16/ và giải thích nó. Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E. Kupchella, c 1989. Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ. 18. Đồ thị sau cho thấy sự ảnh hưởng của nhiệt độ T đối với tốc độ bơi tối đa ổn định S của cá hồi Soho. a) Ý nghĩa của đạo hàm S 0 .T / là gì? Đơn vị của nó là gì? b) Ước tính giá trị S 0 .15/ và S 0 .25/, và giải thích chúng. B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange 1 - 4 Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý Rolle trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý Rolle.
16 Chương 3. Đạo hàm 1. f .x/ D 5 12x C 3x 2 ; Œ1; 3 2. f .x/ D x 3 x2 6x C 2; Œ0; 3 p 1 3. f .x/ D x x; Œ0; 9 3 4. f .x/ D cos 2x; Œ =8; 7 =8 5. Cho f .x/ D 1 x 2=3 . Chứng tỏ rằng f . 1/ D f .1/ nhưng không tồn tại số c trong khoảng . 1; 1/ sao cho f 0 .c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý Rolle? 6. Cho f .x/ D tan x. Chứng tỏ rằng f .0/ D f . / nhưng không tồn tại số c trong khoảng .0; / sao cho f 0 .c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý Rolle? 7 - 8. Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý giá trị trung bình trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý giá trị trung bình. p 7. f .x/ D 3 x; Œ0; 1 8. f .x/ D 1=x; Œ1; 3 9 - 10. Tìm số c thoả mãn Định lý giá trị trung bình trên khoảng cho trước. Vẽ đồ thị của hàm số, đường cát tuyến đi qua hai điểm đầu mút và đường tiếp tuyến tại .c; f .c//. Đường cát tuyến và đường tiếp tuyến có song song nhau không? p 9. f .x/ D x; Œ0; 4 10. f .x/ D x 3 2x; Œ 2; 2 11. Cho f .x/ D .x 3/ 2 . Chứng tỏ rằng không tồn tại c trong khoảng .1; 4/ sao cho f .4/ f .1/ D f 0 .c/.4 1/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? 12. Cho f .x/ D 2 j2x 1j. Chứng tỏ rằng không tồn tại c sao cho f .3/ f .0/ D f 0 .c/.3 0/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? 13 - 14. Chứng tỏ rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực. 13. 2x C cos x D 0 14. 2x 1 sin x D 0 15. Chứng tỏ rằng phương trình x 3 15x C c D 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn Œ 2; 2. 16. Chứng tỏ rằng phương trình x 4 C 4x C c D 0 có nhiều nhất hai nghiệm. 17. a) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm thực. b) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm thực. C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn 1. Tính vi phân.
C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn 17 a) f .x/ D 3x 2 2 cos x j) y D sin Â cos Â p b) f .x/ D x sin x sec Â k) f .Â / D 1 1 C sec Â c) f .x/ D sin x C cot x cos x 2 l) y D d) y D 2 sec x csc x 1 sin x e) y D sec Â tan Â t sin t m) y D 1Ct f) g.t/ D 4 sec t C tan t 1 sec x g) y D c cos t C t 2 sin t n) y D tan x h) y D u.a cos u C b cot u/ o) h.Â / D Â csc Â cot Â x i) y D 2 tan x p) y D x 2 sin x tan x 2. Viết những hàm sau theo dạng f .g.x// (Xác định hàm bên trong u D g.x/ và hàm nên ngoài y D f .u/). Sau đó tìm đạo hàm dy=dx. p3 p a) y D 1 C 4x c) y D tan x e) y D sin x p b) y D .2x 3 C 5/4 d) y D sin.cot x/ f) y D sin x Tìm đạo hàm của những hàm sau: 3. F.x/ D .x 4 C 3x 2 2/5 16. F.t/ D .3t 1/4 .2t C 1/ 3 !3 4. F.x/ D .4x x 2 /100 x2 C 1 p 17. y D 5. F.x/ D 1 2x x2 1 s 1 s2 C 1 6. f .x/ D 18. f .s/ D .1 C sec x/2 s2 C 4 1 19. y D sin.x cos x/ 7. f .z/ D z2 C1 x p 20. f .x/ D p 8. f .t/ D 3 1 C tan t 7 3x r 9. y D cos.a3 C x 3 / 21. F.z/ D z 1 zC1 10. y D a3 C cos3 x .y 1/4 11. y D x sec kx 22. G.y/ D .y 2 C 2y/5 12. y D 3 cot nÂ r 23. y D p 4 2 5 r2 C 1 13. f .x/ D .2x 3/ .x C x C 1/ cos x 24. y D 14. g.x/ D .x 2 C 1/3 .x 2 C 2/6 sin x C cos x p 15. h.t/ D .t C 1/2=3 .2t 2 1/3 25. y D sin 1 C x 2
18 Chương 3. Đạo hàm Ã6 p v 34. y D .ax C x2 C b2/ 2 Â 26. F.v/ D v 3C1 35. y D Œx 2 C .1 3x/5 3 27. y D sin.tan 2x// 36. y D sin.sin.sin x// 28. y D sec2 .mÂ / p q 29. y D sec2 x C tan2 x 37. y D x C x 1 r q p 30. y D x sin x 38. y D x C x C x Â Ã4 1 cos 2x 39. g.x/ D .2r sin r x C n/p 31. y D 1 C cos 2x r 40. y D cos4 .sin3 x/ t 32. f .t/ D p t 2C4 41. y D cos sin.tan x/ 33. y D cot2 .sin Â / 42. y D Œx C .x C sin2 x/3 4 Tìm công thức chính xác của dy=dx (dùng công thức hàm ẩn) biết : 43. x 3 C y 3 D 1 51. 4 cos x sin y D 1 p p Á Á 44. 2 x C y D 3 52. y sin x 2 D x sin y 2 45. x 2 C xy y2 D 4 53. tan .x=y/ D x C y 46. 2x 3 C x 2 y xy 3 D 2 54. x C y D 1 C x 2 y 2 p p 47. x 4 .x C y/ D y 2 .3x y/ 55. xy D 1 C x 2 y 48. y 5 C x 2 y 3 D 1 C x 4 y 56. x sin x C y sin y D 1 49. y cos x D x 2 C y 2 57. y cos x D 1 C sin .xy/ y 50. cos .xy/ D 1 C sin y 58. tan .x y/ D 1 C x2 59. Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho trước. a) y sin 2x D cos 2y; . =2; =4/ d) x 2 C 2xy y 2 C x D 2; .1; 2/ (hyperbola) b) sin.x C y/ D 2x 2y; . ; / Á2 Â 1 Ã c) x 2 C xy C y 2 D 3; .1; 1/ e) x 2 Cy 2 D 2x 2 C 2y 2 x ; 0; 2 (ellip) (cardioid) 60. a) Đường cong với phương trình y 2 D 5x 4 x 2 được gọi là kampyle of Eudoxus. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/.
D. Bài tập ứng dụng đạo hàm 19 b) Vẽ đồ thị của đường cong và tiếp tuyến của nó. 61. a) Đường cong với phương trình y 2 D x 3 C3x 2 được gọi là Tschirnhausen cubic. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/. b) Tìm điểm trên đường cong có tiếp tuyến nằm ngang. c) Vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến của nó. 62. Tìm công thức chính xác của y 00 p p a) 9x 2 C y 2 D 9 b) xC yD1 D. Bài tập ứng dụng đạo hàm 1. Mỗi cạnh của một hình vuông tăng với một tỷ lệ 6 cm=s. Tỷ lệ diện tích của hình vuông tăng lên bao nhiêu khi diện tích hình vuông là 16 cm2 ? 2. Chiều dài của một hình chữ nhật tăng với một tỷ lệ 8 cm=s và chiều rộng của nó tăng với một tỷ lệ 3 cm=s. Khi chiều dài là 20 cm và chiều rộng là 10 cm, diện tích của hình chữ nhật tăng lên nhanh như thế nào? 3. Một thùng hình trụ với bán kính 5 m đang được đổ đầy nước với tốc độ 3 m3 /phút. Chiều cao của nước tăng nhanh như thế nào? 4. Bán kính của một hình cầu tăng với một tỷ lệ 4 mm=s. Thể tích tăng nhanh như thế nào khi đường kính là 80 mm? p 5. Giả sử y D 2x C 1, ở đó x và y là những hàm số của t. a) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 4. b) Nếu dy=dt D 5, tìm dx=dt khi x D 12. 6. Giả sử 4x 2 C 9y 2 D 36, ở đó x và y là những hàm số của t. 1 2p a) Nếu dy=dt D , tìm dx=dt khi x D 2 và y D 5 3 3 2p b) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 2 và y D 5. 3 7. Nếu x 2 Cy 2 Cz 2 D 9, dx=dt D 5 và dy=dt D 4, tìm dz=dt khi .x; y; z/ D .2; 2; 1/. 8. Một hạt đang chuyển động dọc theo một hyperbol xy D 8. Khi nó đến điểm .4; 2/, toạ độ y giảm với tốc độ 3 cm=s. Toạ độ x của điểm thay đổi nhanh như thế nào tại thời điểm đó? 9-12 a) Chỉ ra những đại lượng được nêu trong bài toán. b) Ẩn số là gì? c) Vẽ một hình minh họa cho tình huống tại mỗi thời điểm t.
20 Chương 3. Đạo hàm d) Viết phương trình liên quan tới các đại lượng. e) Kết thúc giải quyết vấn đề. 9. Một chiếc máy bay bay theo chiều ngang ở độ cao 1 dặm, tốc độ 500 dặm/giờ, bay thẳng qua phía trên một trạm radar. Tìm tốc độ tăng cự ly giữa máy bay và trạm khi máy bay cách trạm 2 dặm. 10. Nếu một quả cầu tuyết tan chảy sao cho diện tích bề mặt của nó giảm với tốc độ 1 cm2 = phút, tìm tốc độ giảm của đường kính khi đường kính là 10 cm. 11. Một đèn đường được đặt ở trên cùng của cây cột điện cao 15-ft. Một người đàn ông cao 6 ft đi từ cột với tốc độ 5 ft/s theo một hướng thẳng. Bóng của người đàn ông đang di chuyển nhanh như thế nào khi ông ta cách cột 40 ft? 12. Vào buổi trưa, tàu A cách 150 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về phía đông với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng cách giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào lúc 4:00 PM? 13. Hai chiếc xe bắt đầu di chuyển từ cùng một điểm. Một chiếc đi về phía nam với tốc độ 60 mi/h và chiếc còn lại di chuyến về phía tây với tốc độ 25 mi/h. Khoảng cách giữa hai chiếc xe tăng lên ở mức nào hai giờ sau đó? 14. Một đèn chiếu trên mặt đất chiếu lên một bức tường cách 12 m. Nếu một người đàn ông cao 2 m đi từ đèn chiếu đến toà nhà với tốc độ 1:6 m/s, chiều dài của cái bóng trên bức tường giảm nhanh như thế nào khi ông ta cách 4 m từ toà nhà? 15. Một người đàn ông bắt đầu đi bộ về phía bắc với vận tốc 4 ft/s từ một điểm P . Năm phút sau, một người phụ nữ bắt đầu đi bộ về phía nam với vận tốc 5 ft/s từ một điểm 500 ft về phía đông của P . Ở tốc độ nào hai người di chuyển xa nhau 15 phút sau khi người phụ nữ bắt đầu di chuyển? 16. Một sân bóng chày hình vuông với chiều dài cạnh 90 ft. Một vận động viên bóng chày đánh vào bóng và chạy về mức đầu tiên với tốc độ 24 ft/s. a) Khoảng cách của anh ta so với mức hai giảm với tốc độ như thế nào khi anh ta là ở chính giữa của mức thứ nhất? b) Khoảng cách của anh ta so với mức thứ ba tăng với tốc độ như thế nào tại cùng một thời điểm?