Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
BÀI TẬP THAM KHẢO GIẢI TÍCH I
Nhóm ngành I - Hệ kĩ sư tài năng. Mã số : MI 1110
Chương 1
SỐ THỰC
1.1-1.5. Số thực.
1. Tìm giới hạn của các dãy số (nếu hội tụ) với số hạng tổng quát xnnhư
sau
a. xn=n−√n2−nb. xn=1
1.2+1
2.3+... +1
(n−1)n
c. xn=sin2n−cos3n
nd. xn=√ncosn
n+ 1
2. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số với số hạng tổng quát xnnhư
sau
a. x1=√2,xn+1 =√2 + xnb. x1>0,xn=1
2xn+1
xn
c. x1=1
2,xn+1 =4
3xn−x2
nb. x1=k
√5,xn+1 =k
√5xn;k∈N
e. xn=an
n!
Chương 2
GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
2.1-2.8. Giới hạn và liên tục
1. Tìm tập xác định của hàm số
a. y=4
plg(tanx)b. y= arcsin 2x
1+x
c. y= sinx+ cosxd. y= lg(1 + 2sinx)
2. Tìm miền giá trị của hàm số
a. y= lg(1 −2cosx)b. y= arcsinlg x
10
3. Tìm f(x)biết
1
Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
a. fx+1
x=x2+1
x2b. fx
1+x=x2
4. Tìm hàm ngược của hàm số
a. y= 2x+ 3 b. y=1−x
1+xc. y=1
2(ex+e−x)
d. y=√1−x2với −1≤x≤0, có x=−p1−y2,y ∈[0;1]
e. y= 2x+ 2−x, trên (−∞,0]
5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a. f(x) = ax+a−x(a > 0) b. f(x) = lnx+√1 + x2
c. f(x) = sinx+ cosx
6. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f(x)nào xác định trong một khoảng
đối xứng (−a,a),(a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.
7. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)
a. f(x) = Acosλx +Bsinλx b. f(x) = sinx2
c. f(x) = sinx+1
2sin2x+1
3sin3xd. f(x) = cos2x
e. y=√tanx
8. Tìm giới hạn
a. lim
x→1x100−2x+1
x50−2x+1 b. lim
x→a(xn−an)−nan−1(x−a)
(x−a)2,n ∈N
9. Tìm giới hạn
a. lim
x→+∞qx+√x+√x
√x+1 b. lim
x→+∞3
√x3+x2−1−x
c. lim
x→0
m
√1+αx−n
√1+βx
xd. lim
x→0
m
√1+αx n
√1+βx−1
x
10. Tìm giới hạn
a. lim
x→asinx−sina
x−ab. lim
x→+∞sin√x+ 1 −sin√x
c. lim
x→0
√cosx−3
√cosx
sin2xd. lim
x→01−cosxcos2xcos3x
1−cosx
11. Tìm giới hạn
a. lim
x→∞ x2−1
x2+1x−1
x+1 b. lim
x→0+(cos√x)1
x
c. lim
x→∞ [sin(ln(x+ 1)) −sin(lnx)]
2
Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
d. lim
x→∞ n2(n
√x−n+1
√x),x > 0
12. a. Khi x→0+cặp VCB sau có tương đương không?
α(x) = px+√xvà β(x) = esinx−cosx.
b. Cho α(x) = e−(1 + 2x)1
2x,β(x) = ex.
Chứng minh rằng α(x)∼β(x)khi x→0.
c. So sánh hai vô cùng bé sau trong quá trình x→1 :
α(x) = tan(πx) + e(x−1)2−1,β(x) = 1 + cos(πx) + lnx.
13. Tìm ađể hàm số liên tục tại x= 0
a. f(x) =
1−cosx
x2nếu x6= 0
anếu x= 0
b. g(x) =
ax2+bx + 1 với x≥0
acosx+bsinxvới x < 0
14. Điểm x= 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a. y=8
1−2cotxb. y=sin 1
x
e1
x+1 c. y=eax−ebx
x,(a6=b)
15. a. Tìm điểm gián đoạn của hàm số: f(x) = lim
n→∞
6
2 + x2n,x ∈R.
b. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số:
y=
1
2−log3|x|với x6= 0,±9
3với x= 0,±9.
16. Xét tính liên tục đều của hàm số
a. y=x−2b. y=
1
xvới x∈(0,1)
0với x= 0
c. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:
f(x) = sinx
x,0< x < π
. 17. Các hàm số sau đây liên tục tại giá trị xnào?
3
Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
a. f(x) =
0nếu xhữu tỉ,
1nếu xvô tỉ.b. g(x) =
0nếu xhữu tỉ,
xnếu xvô tỉ.
Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
3.1-3.10. Phép tính vi phân
1. a. Tìm đạo hàm của hàm số
f(x) =
1−xkhi x < 1
(1 −x)(2 −x)khi 1≤x≤2
x−2khi x > 2
b. Chứng minh rằng: 2arctanx+ arcsin 2x
1 + x2=π,x ≥1.
c. Tính f′(x), biết: f(x) =
3x+e−2
xkhi x6= 0,
0khi x= 0.
d. Chứng minh rằng hàm số f(x) = 2x+ ln(x2+ 1) có hàm số ngược
g(x) = f−1(x). Tính g′(2).
e. Chứng minh rằng 3arctanx+arctan(x+2) <4arctan(x+1),∀x > 0.
f. Tìm f′(x)biết d
dx[f(2017)] = x2.
2. Với điều kiện nào thì hàm số
f(x) =
xnsin 1
xkhi x6= 0
0khi x= 0 (n∈Z)
a. Liên tục tại x= 0 b. Khả vi tại x= 0 c. Có đạo hàm liên
tục tại x= 0
3. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x−a|ϕ(x), trong đó ϕ(x)là một hàm
số liên tục và ϕ(a)6= 0, không khả vi tại điểm x=a.
4. Tìm vi phân của hàm số
a. y=1
aarctan x
a,(a6= 0) b. y= arcsin x
a,(a6= 0)
4
Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
c. y=1
2alnx−a
x+a,(a6= 0) d. y= lnx+√x2+a
5. Tìm
a. d
d(x3)x3−2x6−x9b. d
d(x2)sinx
xc. d(sinx)
d(cosx)
6. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
a. lg11 b. 7
q2−0.02
2+0.02
7. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
a. y=x2
1−x, tính y(8) b. y=1+x
√1−x, tính y(100)
c. y=x2e2x, tính y(10) d. y=x2sinx, tính y(50)
e. y= (1 −x)2cosx, tính f51(0).
8. Tính đạo hàm cấp ncủa hàm số
a. y=x
x2−1b. y=1
x2−3x+2
c. y=x
3
√1+xd. y=eax sin(bx +c)
9. Chứng minh rằng phương trình xn+px +q= 0 với nnguyên dương
không thể có quá 2 nghiệm thực nếu nchẵn, không có quá 3 nghiệm thực
nếu nlẻ.
10. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f′(c)
g′(c)không áp
dụng được đối với các hàm số
f(x) = x2, g(x) = x3,−1≤x≤1
11.Chứng minh bất đẳng thức
a. |sinx−siny| ≤ |x−y|b. a−b
a<ln a
b<a−b
b,0< b < a.
c. b−a
1 + b2<arctanb−arctana < b−a
1 + a2.
d. Tồn tại hay không hàm số f(x)sao cho f(0) = −1,f(2) = 4 và
f′(x)≤2với mọi x?
12. Tìm giới hạn
a. lim
x→+∞qx+px+√x−√xb. lim
x→1x
x−1−1
lnx
c. lim
x→∞
e1
x−cos 1
x
1−√1−1
x2d. lim
x→0exsinx−x(1+x)
x3
5