Tài liệu Ôn thi đại học Tích phân ứng dụng

Chia sẻ: Hoàng Tử Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:94

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Ôn thi đại học Tích phân ứng dụng" cung cấp cho người đọc các kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng của tích phân, các bài tập tích phân ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Ôn thi đại học Tích phân ứng dụng

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP ÔN THI ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG u v a Gò Công Tây, năm 2014
to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ ) 2nd −LATEX−201401.1 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Copyright © 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
LỜI MỞ ĐẦU Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học “Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáo dạy Toán. Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi: – Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống. Trong các thứ thầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ? Tất cả học sinh đều im lặng. Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói: – Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước. Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên. Bỗng nhiên em thấy đoạn dây thép và nhớ lại các bài giảng của thầy. Em lấy dây thép uốn thành dấu tích phân rồi dùng nó kéo mũ lên. – Thầy: ?!?!?!” Chuyện vui nhưng cũng có vấn đề để suy nhẫm. Tích phân có ứng dụng gì? Chỉ cần chịu khó lên google là có kha khá kết quả (ˆ .ˆ ), nhưng học tích phân chỉ để lấy 1 điểm trong kì thi tuyển sinh thì đó là đích hướng tới của đại đa số học sinh. Trong các năm gần đây thì điểm số phần tích phân không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này giúp ích được cho ai đó. Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 06 tháng 08 năm 20141 —Nguyễn Hồng Điệp. 1 Còn vài ngày nữa là đại lễ Vu Lan năm Giáp Ngọ.
Mục lục LỜI MỞ ĐẦU iii MỤC LỤC iv I TÍCH PHÂN 1 1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Dạng phân thức 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 37 7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 iv
8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 75 1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 III BÀI TẬP TỔNG HỢP 81 1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 © Nguyễn Hồng Điệp v
I TÍCH PHÂN
1. CÁC CÔNG THỨC Chương I. TÍCH PHÂN 1 Các công thức 1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng R R 0d x = C d x = x +C x α+1 1 x α+1 x αd x = (ax + b)α d x = R R α+1 +C a α+1 +C 1 1 = a1 ln |ax + b| +C R R x dx = ln |x| +C ax+b dx e x d x = e x +C e ax+b d x = a1 e ax+b +C R R x u a x d x = lna a +C u 0 a u d x = lana + c R R cos(ax + b)d x = a1 sin(ax + b) +C R R cos xd x = sin x +C sin(ax + b)d x = − a1 cos(ax + b) +C ) R R sin xd x = − cos x +C 1 1 R R cos2 x dx = tan x +C cos2 ax dx = tan(ax) +C 1 1 R R sin2 x dx = − cot x +C sin2 ax dx = − cot(ax) +C 1.2 Tích phân xác định Định nghĩa Cho y = f (x) là một hàm số liên tục trên [a, b] và y = F (x) là một nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ a đến b được định nghĩa và kí hiệu như sau: Zb f (x)d x = F (b) − F (a) a Tính chất Z0 Za • f (x) d x = 0, f (x) d x = 0 0 a Zb Zb • k f (x)d x = k f (x)d x a a Zb Za • f (x)d x = − f (x)d x a b 2 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Zb Zb Zb £ ¤ • f (x) ± g (x) d x = f (x)d x ± g (x)d x a a a Zb Zc Zb • f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x a a c Zb • Nếu f (x) ≥ 0 trên [a; b] thì f (x)d x ≥ 0 a Zb Zb • Nếu f (x) ≥ g (x) trên [a; b] thì f (x)d x ≥ g (x)d x a a 2 Phương pháp phân tích Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau: Z2 Z3 x 2 − 2x (x 2 − 1)2 (a) I 1 = dx (b) I 2 = dx x3 x 1 1 Z1 Z1 ³p ex + 1 ´2 (c) I 3 = dx (d) I 4 = ex − 1 d x e 2x 0 0 Z2 6x − 3 (e) I 5 = dx x2 − x + 5 0 Giải Z2 µ 2 ¯¯2 ¶ µ ¶¯ 1 2 (a) Ta có: I 1 = − d x = ln |x| + ¯ = ln 2 − 1. x x2 x 1 1 Z3 Z3 µ ¶¯3 x 4 + 2x 2 + 1 ¶ µ 3 1 1 4 2 ¯ (b) Ta có: I 2 = dx = x + 2x + dx = x + x + ln |x| ¯¯ = 28 + ln 3. x x 4 1 1 1 Z1 µ Z1 1 −2x ¯¯1 3 1 ¶ µ ¶¯ 1 1 ¡ −x −2x ¢ −x 1 (c) Ta có: I 3 = x + 2x d x = e +e d x = −e − e = − − 2. e e 2 ¯ 0 2 e 2e 0 0 Z1 ³ p Z1 ³ x ´ x ´ ³ x ´¯1 p (d) Ta có: I 4 = x e −2 e +1 dx = e x − 2e 2 + 1 d x e x − 4e 2 + x ¯ = e − 4 e + 4. ¯ 0 0 0 Z2 2x − 1 u0 Z ¢¯2 d x = 3 ln |x 2 − x + 5| ¯0 (dạng ¡ (e) Ta có: I 5 = 3 2 d x) x −x +5 u 0 7 = 3 ln 5 © Nguyễn Hồng Điệp 3
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chương I. TÍCH PHÂN Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau: Z1 Z1 1 (a) I 1 = x(1 − x)2004 d x (b)I 2 = p p dx x −2− x −3 0 0 Giải Z1 Z1 2004 (a) Ta có: I 1 = [(x − 1) + 1](x − 1) dx = [(x − 1)2005 + (x − 1)2004 ] d x 0 0 Z1 Z1 = (x − 1)2005 d x + (x − 1)2004 d x 0 0 2006 ¸¯1 (x − 1)2005 ¯¯ · (x − 1) 1 = − =− . 2006 2005 ¯ 0 4022030 (b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu. Z1 ³p p ´ 2h 3 3 ¯4 i¯ 4 p Ta có: I 2 = x −1− x dx = (x + 1) − x ¯ = ( 2 − 1) 2 2 3 3 3 0 Bài toán tương tự Z4 1 2 p p 1. p p d x. Đáp số: 15 (6 6 − 5 5 + 1). x +2− x −3 3 π Z2 4 2. sin 7x sin 2x d x . Đáp số: 45 . − π2 π Z2 1 + sin 2x + cos 2x 3. d x. Đáp số: 1. sin x + cos x π 6 π Z4 ³π ´ π−2 4. sin2 − x d x. Đáp số: 8 . 4 0 π Z2 5. sin4 x d x . Đáp số: 3π 16 0 π Z4 6. tan2 x d x . Đáp số: 1 − π4 . 0 π Z2 7. tan3 x d x . Đáp số: 32 − ln 2. 0 4 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX Z16 1 8. p p d x. Đáp số: 12. x +9− x 0 Z5 1 9. p p d x. Đáp số: x +2+ x −2 2 Z1 µ ¶ 3 e2 10. e 2x + d x. Đáp số: 2 + 3 ln 2 − 12 x +1 0 Z1 x p 11. p d x. Đáp số: − 32 + 23 2 x + x2 + 1 0 3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Zb 1. Tính I = | f (x)| d x ta xét dấu f (x) trên [a, b] để khử dấu giá trị tuyệt đối. a Zb Zb 2. Tính I = max[ f (x), g (x)] d x, I = min[ f (x), g (x)] d x ta xét dấu hàm a a h(x) = f (x) − g (x) trên [a, b] để tìm min[ f (x), g (x)], max[ f (x), g (x)]. Z2 Ví dụ 3.1. Tính I = |x 2 − x| d x 0 Giải Cho x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =1 Bảng xét dấu x 0 1 2 x2 + x 0 − 0 + Z1 Z2 Khi đó: I = (−x 2 + x) d x + (x 2 − x) d x = 1 0 1 Z2πp Ví dụ 3.2. Tính I = 1 + sin x d x 0 © Nguyễn Hồng Điệp 5
3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX Chương I. TÍCH PHÂN Giải Z2πp Z2πr³ Z2π¯ x x ´2 x x ¯¯ Ta có: I = 1 + sin x d x = sin + cos d x = ¯sin + cos ¯ d x ¯ 2 2 2 2 0 0 0 x x x π Cho sin + cos = 0 ⇔ tan = −1 ⇔ x = − + k2π 2 2 2 2 3π Do x ∈ [0, 2π] ta có x = 2 Bảng xét dấu 3π x 0 2 2π x x − sin + cos 2 2 0 + 0 3π Z2 ³ Z2π ³ x x´ x x´ Khi đó: I = sin + cos d x + − sin + cos d x 2 2 2 2 0 3π 2 3π ³ x x ´¯¯ 2 ³ x x ´¯¯2π = 2 − cos + sin ¯ + 2 cos − sin ¯ 3π = 4 ln 2. 2 2 0 2 2 2 Z2 Ví dụ 3.3. Tính I = (|x| − |x − 1|) d x −1 Giải Bảng xét dấu chung x −1 0 1 2 x − 0 + + x −1 − − 0 + Z0 Z1 Z2 Khi đó: I = (−x + x − 1) d x + (x + x − 1) d x + (x − x + 1) d x −1 0 1 Z0 Z1 Z2 =− dx + (2x − 1) d x + d x = 0. −1 0 1 Z2 Ví dụ 3.4. Tính I = max{x 2 , 3x + 2} d x 0 Giải Xét hàm số h(x) = x 2 − 3x + 2 trên [0, 2] Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) 0 + 0 − 6 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX Do đó: • Với x ∈ [0, 1] thì max[x 2 , 3x + 2] = x 2 . • Với x ∈ [1, 2] thì max[x 2 , 3x + 2] = 3x − 2. Z1 Z2 2 17 Khi đó: I = x dx + (3x − 2) d x = . 6 0 1 Bài toán tương tự Z2 1. |x 2 − 1| d x . Đáp số: 4 −2 Z2 2. |x 2 − 3x + 2| d x . Đáp số: 59 2 −3 π Z2 p p 3. 5 − 4 cosx −4 sin x d x . Đáp số: 2 3 − 2 − π6 0 Z5 4. (|x + 2| − |x − 2|) d x . Đáp số: 8 −5 Z1 3 5. (|2x − 1| − |x|) d x . Đáp số: 2 −1 Z1 |x| 6. d x. Đáp số: 27 ln 34 x 4 − x 2 − 12 −1 Z4 p 5 7. x 2 − 6x + 9 d x . Đáp số: 2 1 Z1 p p 8. 4 − |x| d x . Đáp số: 2 − (5 − 3) −1 Z1 p p 2 2 9. |x| − x d x . Đáp số: 3 −1 Z3 10. |2x − 4| d x . Đáp số: 4 + ln12 . 0 Z3 p p 24+ 3+8 11. x 3 − 2x 2 + x d x . Đáp số: 15 . 0 © Nguyễn Hồng Điệp 7
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN π Z2 12. | sin x| d x . Đáp số: 2. − π2 Zπ p 13. 2 + 2 cos 2x d x . Đáp số: 4. 0 Zπ p p 14. 1 − sin 2x d x . Đáp số: 2 2. 0 Z2πp p 15. 1 + sin x d x . Đáp số: 4 2. 0 Z2 16. max(x, x 2 ) d x . Đáp số: 55 6 . 0 Z2 17. min(x, x 3 ) d x . Đáp số: 34 . 0 π Z2 18. min(sin x, cos x) d x 0 4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Thông thường khi gặp: • Một căn thức ta đặt t là căn thức. • Một phân thức ta đặt t là mẫu thức. • Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa. • Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ. 4.1 Dạng căn thức p n Khi gặp hàm dưới dấu tích phân cóp chứa biểu thức dạng f (x) nói chung n trong nhiều trường hợp ta đặt t = f (x) Z1 p Ví dụ 4.1. Tính x x 2 + 1 d x 0 8 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Giải p Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1p⇒ x 2 = tp 2 − 1 ⇒ xd x = t d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2 p Z1 p Z2 Khi đó: I = x 2 + 1.x d x = t .t d t 0p 1 p Z2 3 ¯¯ 2 t 1³ p ´ = t 2 d t = ¯¯ = 2 2 − 1 3 0 3 1 Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t . Bài này ta còn có thể giải theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20. p Z3 p Ví dụ 4.2. Tính I = x 3 x 2 + 1 d x 0 Giải p Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = 1 − t 2p⇒ xd x = −t d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 3 ⇒ t = 2 p Z3 p Z2 Z2 Khi đó: I = x x 2 + 1.x d x = (1 − t )t (−t ) d x = (t 3 − t 2 ) d x 2 0 0 0 ¶¯2 t 4 t 3 ¯¯ µ 4 = − = 4 3 0 3 ¯ Nhận xét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân xd x là x 3 d x = x 2 .xd x và ta thấy cần chuyển x 2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công. Bài toán tương tự Z1 x −1 1. p d x. Đáp số : 2−3 2 3x − 6x + 7 7 p 0 Zln x e 2x 2. p d x. Đáp số : 2 3 2 1 + ex p 0 Z5 p 3. x 2x − 1 d x . 5 Đáp số : 144 1 2 Z6 1 4. p d x. Đáp số: ln 32 − 16 2x + 1 + 4x + 1 2 © Nguyễn Hồng Điệp 9
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN π Z2 p 5. 1 + 4 sin x cos x d x . 0 p Z3 3 − 2 ln x Ví dụ 4.3. Tính p dx x 1 + 2 ln x 1 Giải p 1 Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ 2 ln x = t 2 − 1 ⇒ t d t = d x p p x Đổi cận: x =p1 ⇒ t = 1 ; x = 2 ⇒ tp= 2 p Z3 Z2 2 Z2 p 3 − 2 ln x 1 (3 − t + 1) 2 10 2 11 Khi đó: I = p · dx = · t d t = (4 − t ) d t = − 1 + 2 ln x x t 3 3 1 1 1 Bài toán tương tự p Z e3 3 − 2 ln x 5 1. p d x. Đáp số: 3 x 1 + 2 ln x 1 Ze p 1 + 3 ln x · ln x 116 2. d x (B-2004). Đáp số: 135 x 1 p 7 Ze p 3 ln x 1 + ln2 x 3. d x. Đáp số: ln 32 − 13 x 1 p 2Z 3 1 Ví dụ 4.4. Tính I = p d x (A-2003) p x 4 + x2 5 Giải p Đặt t = 4 + xp2 ⇒ x 2 = t 2 − 4 ⇒pxd x = t d t Đổi cận: x = 5 ⇒ t = 3 ; x = 2 3 ⇒ t = 4 p p 2Z 3 2Z 3 1 1 Khi đó: I = p dx = p ·x dx p x 4 + x2 p x2 4 + x2 5 5 Z4 Z4 Z4 1 1 1 = 2 ·t dt = 2 ·t dt = dt (t − 4)t t −4 t2 −4 3 3 3 Z4 Z4 1 1 1 1 = dt = − dt (t − 2)(t + 2) 4 t −2 t +2 3 3 1 1 5 = (ln |t − 2| − ln |t + 2|)|43 = · ln 4 4 3 Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân xd x ta thấy hàm ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x . Sau đó ta cần chuyển x 2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công. 10 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Bài toán tương tự Zln 8 1 1. p d x. Đáp số: ln 32 1 + ex ln 3 Zln 2p 2. ex − 1d x 0 4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau ¶m ax + b) n µ Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng , cx + d r ax + b) s ax + b) µ ¶ ..., ta đặt = t k với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số cx + d cx + d m r mũ , . . . , . n s Z63 1 Ví dụ 4.5. Tính I = p 3 p dx x +1+ x +1 0 Giải Đặt x + 1 = t 6 ⇒ x = t 6 − 1 ⇒ d x = 6t 5 d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 63 ⇒ t = 2 Z2 Z2 Z2 µ 6t 5 t3 ¶ 2 1 2 Khi đó: I = dt = 6 dt = t −t +1− d t = 11 + 6 ln t3 + t2 t +1 t +1 3 1 1 1 p 3 1 p 1 1 1 Nhận xét: do x + 1 = (x + 1) 3 , x + 1 = (x + 1) 2 và mẫu số chung của các số mũ , là 6 3 2 nên ta đổi biến x + 1 = t 6 . Bài toán tương tự Z729 1 1. p 3 p dx x− x 64 Z3 r 3 x −1 1 2. · d x. x +1 x +1 2 x+1 Hướng dẫn: đặt x−1 = t 3 và kết hợp phương pháp giải mục 5.3 trang 19. © Nguyễn Hồng Điệp 11
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN 4.3 Dạng phân thức 1 f (x) Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng nói chung g (x) trong nhiều trường hợp ta đặt t = g (x). Z4 p 2x + 1 Ví dụ 4.6. Tính I = p dx 1 + 2x + 1 0 Giải p p Đặt t = 1 + 2x + 1 ⇒ t − 1 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = (t − 1)2 ⇒ d x = (t − 1)d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 4 ⇒ t = 4 Z4 Z4 Z4 t −1 (t − 1)2 1 Khi đó: I = · (t − 1) d t = dt = t − 2 + d t = 2 + ln 2 t t t 2 2 2 p Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức t = 2x + 1 nhưng sẽ phức tạp hơn, p cách đổi biến t = 1 + 2x + 1 là phù hợp. Z1 x3 Ví dụ 4.7. Tính I = dx x2 + 1 0 Giải dt Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t − 1 ⇒ xd x = 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2 Z1 Z2 Z2 µ x2 t −1 1 ¶ 1 1 1 ln 2 Khi đó: I = ·x dx = · dt = 1− dx = − x2 + 1 t 2 2 t 2 2 0 1 1 Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2 ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân. Bài toán tương tự π Z2 sin3 x 1. dx 1 + cos x 0 1 Phương pháp giải tổng quát xem mục 6 trang 23 2 Xem mục 6 trang 23 12 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN 4.4 Dạng biểu thức lũy thừa Thông thường ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa. Z1 Ví dụ 4.8. Tính I − x 3 (x 4 − 1)5 d x. 0 Giải 1 Đặt t = x 4 − 1 ⇒ d t = 4x 3 d x ⇒ x 3 d x = x 3 4 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1 ; x = 1 ⇒ t = 0 Z0 1 6 ¯¯0 ¯ 1 5 1 Khi đó: I = t dt = t ¯ =− . 4 24 −1 24 −1 Nhận xét: do (x 4 )0 = 4x 3 nên ta khử được x 3 trong đề bài. Bài toán tương tự Z1 1. x 3 (1 + x 4 )3 d x . Đáp số: 15 16 . 0 Z1 2. x 3 (1 − x 3 )6 d x . Đáp số: 1 168 . 0 Z1 3. x 3 (1 − x)2014 d x 0 4.5 Biểu thức có logarit 1 Dạng thường gặp là biểu thức chứa và ln x . Ta thường đổi biến t = ln x hoặc x t = biểu thức chứa ln x . Ví dụ 4.9. Tính các tích phân sau: Ze Ze p 3 (1 + ln x)2 ln x. 1 + ln2 x (a) I 1 = dx (b) I 2 = dx x x 1 1 Giải 1 (a) Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t = x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2 Z2 ¯2 2 t 3 ¯¯ 7 Khi đó: I 1 = t d t = ¯ = . 3 1 3 1 © Nguyễn Hồng Điệp 13
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Chương I. TÍCH PHÂN p 3 ln x ln x 3 (b) Đặt t = 1 + ln2 x ⇒ t 3 = 1 + ln2 x ⇒ 3t 2 d t = 2 · dx ⇒ d x = · t 2d t p x x 2 3 Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2 p 3 Z2 ¯p 3 3 3 3 ¯ 2 3 p 4¯ 3 Khi đó: I 2 = t d t = · t ¯ = ( 16 − 1) 2 8 1 8 1 Bài toán tương tự Ze 2 1 1. d x. Đáp số: ln 2 x ln x e p ³ p ´ Z 3ln x + x 2 + 1 2. p d x. x2 + 1 0 Ze 1 3. p dx 1 x 9 − ln2 x Ze p p 1 + ln x 2 2−1 4. d x. Đáp số: 3 2x 1 Ze 3 1 5. p d x. Đáp số: 2. x 1 + ln x 1 5 Đổi biến sang lượng giác ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến Điều kiện p t ∈ − π2 , π2 £ ¤ 1 a2 − x2 x = a sin t x = a cos t t ∈ [0, π] p a t ∈ − π2 , π2 \ {0} £ ¤ 2 x2 − a2 x = sin t a x = cos t t ∈ [0, π] \ { π2 } ¢k a2 + x2 t ∈ − π2 , π2 ¡ ¡ ¢ 3 x = a tan t x = a cot t t ∈ (0, π) q q a+x a−x t ∈ 0, π2 £ ¤ 4 a−x hoặc a+x x = a cos 2t p x = a + (b − a) sin2 t t ∈ 0, π2 £ ¤ 5 (x − a)(b − x) 14 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC 5.1 Dạng 1 p Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a 2 − x 2 , a > 0, với bài tập có dạng này ta đặt h π πi • x = a sin t , t ∈ − , 2 2 • x = a cos t , t ∈ [0, π] p Z 3p Ví dụ 5.1. Tính I = 4 − x2 d x −1 Giải h −π π i Đặt x = 2 sin t , t ∈ , 2 2 ⇒ d x = 2 cos t d t −π p π Đổi cận: x = −1 ⇒ t = ; x = 3⇒t = 6 3 π π Z3 p Z3 p Khi đó: I = 4 − 4 sin2 t · 2 cos t d t = 4 cos t cos2 t d t π π h π π−i6 p −6 Do t ∈ − , ⇒ cos t > 0 ⇒ cos t = cos t 6 3 π π Z3 Z3 I = 4 cos2 t d t = 2 (1 + cos 2t ) d t − π6 − π6 π π 3 3 Z Z p =2 dt +2 cos2 t d t = π + 3 − π6 − π6 p Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t = 4 − x 2 thì sẽ gặp khó khăn do: 1. Từ t 2 = 4 − x 2 ⇒ t d t = −xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuấtphiện vi phân xd x thì ta phải chia cho x . Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến 3 có chứa x = 0 khi đó phép chia không hợp lệ. 2. Khi đổi sang biến t cần tính t theo x lại xuất hiện dấu căn mới, bài toán sau phức tạp hơn bài toán trước. (∗.∗) p p Đây là Ví dụ chứng tỏ không phải cứ thấy f (x) là đổi biến t = f (x). Có thể không thành công. 3 Z2 1 Ví dụ 5.2. Tính I = q¡ ¢3 dx p 9 − x2 −322 © Nguyễn Hồng Điệp 15