Tài liệu ôn thi đại học Tích phân ứng dụng [mới nhất]

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP

ÔN THI ĐẠI HỌC

z = 0.8

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Gò Công Tây, năm 2014

to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ )

LỜI MỞ ĐẦU

Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học

“Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáo dạy Toán. Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi: – Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống. Trong các thứ thầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ? Tất cả học sinh đều im lặng. Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói: – Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước. Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên. Bỗng nhiên em thấy đoạn dây thép và nhớ lại các bài giảng của thầy. Em lấy dây thép uốn thành dấu tích phân rồi dùng nó kéo mũ lên. – Thầy: ?!?!?!”

Chuyện vui nhưng cũng có vấn đề để suy nhẫm. Tích phân có ứng dụng gì? Chỉ cần chịu khó lên google là có kha khá kết quả (ˆ .ˆ ), nhưng học tích phân chỉ để lấy 1 điểm trong kì thi tuyển sinh thì đó là đích hướng tới của đại đa số học sinh. Trong các năm gần đây thì điểm số phần tích phân không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này giúp ích được cho ai đó.

Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 06 tháng 08 năm 20141 —Nguyễn Hồng Điệp.

1Còn vài ngày nữa là đại lễ Vu Lan năm Giáp Ngọ.

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

iii

MỤC LỤC

iv

I TÍCH PHÂN

2 3 4

Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dạng phân thức 2 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân hàm hữu tỉ Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 7.4 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân hàm vô tỉ

1 2 2 2 3 5 8 8 11 12 13 13 14 15 17 19 21 22 23 23 23 25 27 27 28 29 37 41 44

Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 50 52 53 53 59 64 65 68 70 73

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1

75 76 76 76 79 79

III BÀI TẬP TỔNG HỢP

Các đề thi tuyển sinh 2002-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

81 82 88

I

TÍCH PHÂN

1. CÁC CÔNG THỨC

Chương I. TÍCH PHÂN

1 Các công thức

1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng

α+1 α+1

x d x = ln |x| +C

(cid:48)

+C +C d x = x d x = 1 a (cid:82) 0d x = C (cid:82) x (cid:82) 1 (cid:82) d x = x +C (cid:82) (ax + b) α (cid:82)

a sin(ax + b) +C a cos(ax + b) +C )

α+1 x α+1 a ln |ax + b| +C ax+b d x = 1 (cid:82) e ax+bd x = 1 (cid:82) e xd x = e x +C a e ax+b +C (cid:82) u (cid:82) axd x = ax aud x = au + c l na ln a (cid:82) cos(ax + b)d x = 1 (cid:82) cos xd x = sin x +C (cid:82) sin xd x = − cos x +C (cid:82) sin(ax + b)d x = − 1 (cid:82)

cos2x d x = tan x +C

(cid:82)

cos2ax d x = tan(ax) +C d x = − cot(ax) +C

1 sin2ax

1 sin2x

(cid:82) d x = − cot x +C (cid:82)

1.2 Tích phân xác định

Định nghĩa

Cho y = f (x) là một hàm số liên tục trên [a, b] và y = F (x) là một nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ a đến b được định nghĩa và kí hiệu như sau:

b (cid:90)

f (x)d x = F (b) − F (a)

Tính chất

0 (cid:90)

a (cid:90)

b (cid:90)

f (x) d x = 0, f (x) d x = 0 •

b (cid:90)

a (cid:90)

• k f (x)d x = k f (x)d x

• f (x)d x = − f (x)d x

Chương I. TÍCH PHÂN

2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

b (cid:90)

c (cid:90)

g (x)d x f (x)d x ± (cid:163) f (x) ± g (x)(cid:164)d x = •

b (cid:90)

• f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x

b (cid:90)

f (x)d x ≥ 0 • Nếu f (x) ≥ 0 trên [a; b] thì

f (x)d x ≥ g (x)d x • Nếu f (x) ≥ g (x) trên [a; b] thì

2 Phương pháp phân tích

Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:

2 (cid:90)

3 (cid:90)

(b) I2 =

(a) I1 =

1 1 (cid:90)

d x d x x2 − 2x x3 (x2 − 1)2 x

(d) I4 =

0 2 (cid:90)

(cid:179)(cid:112) (cid:180)2 e x − 1 d x e x + 1 e2x d x

(e) I5 =

d x 6x − 3 x2 − x + 5

Giải

2 (cid:90)

(cid:182) − (cid:181) ln |x| + d x = = ln 2 − 1.

(a) Ta có: I1 =

(cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:181) 1 x 2 x2 2 x

3 (cid:90)

(cid:182) (cid:181) d x = d x = x4 + x2 + ln |x| = 28 + ln 3. x3 + 2x +

(b) Ta có: I2 =

(cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) x4 + 2x2 + 1 x 1 x (cid:181) 1 4

1 (cid:90)

−2x

−x −

−x + e

−2x(cid:162) d x =

(cid:182) + = − − d x = (cid:161)e (cid:181) −e e

(c) Ta có: I3 =

(cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:181) 1 e x 1 e2x 1 2 1 e 1 2e2 . 3 2

1 (cid:90)

2 + 1

2 + x

(cid:112) (cid:112) (cid:179) (cid:180) (cid:180) (cid:179) e x − 2 = e − 4 e x + 1 d x = e x − 2e d x (cid:179) e x − 4e e + 4.

(d) Ta có: I4 =

(cid:48)

2 (cid:90)

(cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175)

d x) d x = 3 (cid:161)ln |x2 − x + 5|(cid:162)(cid:175) (cid:175)

(e) Ta có: I5 = 3

2 0 (dạng

0 = 3 ln

2x − 1 x2 − x + 5 (cid:90) u u

7 5

2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Chương I. TÍCH PHÂN

Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:

1 (cid:90)

(a) I1 =

(b)I2 =

(cid:112) (cid:112) x(1 − x)2004 d x d x 1 x − 2 − x − 3

Giải

1 (cid:90)

[(x − 1) + 1](x − 1)2004 d x = [(x − 1)2005 + (x − 1)2004] d x

(a) Ta có: I1 =

1 (cid:90)

= (x − 1)2004 d x (x − 1)2005 d x +

0 (cid:183) (x − 1)2006 2006

0 (x − 1)2005 2005

= − = − . (cid:184)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 4022030

(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu.

1 (cid:90)

3 2

2 − x

Ta có: I2 =

(cid:28) Bài toán tương tự

(cid:112) (cid:112) (cid:179)(cid:112) (cid:180) (cid:104) = d x = x − 1 − x ( 2 − 1) (x + 1) (cid:105)(cid:175) (cid:175) (cid:175) 2 3 4 3

4 (cid:90)

Đáp số: 2

15 (6

π 2(cid:90)

(cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:112) 6 − 5 5 + 1). d x. 1 x + 2 − x − 3

Đáp số: 4 45 .

− π 2

π 2(cid:90)

sin 7x sin 2x d x.

Đáp số: 1.

π 6

π 4(cid:90)

d x. 1 + sin 2x + cos 2x sin x + cos x

Đáp số: π−2 8 .

π 2(cid:90)

(cid:180) − x d x. sin2 (cid:179) π 4

Đáp số: 3π 16

π 4(cid:90)

sin4 x d x.

Đáp số: 1 − π 4 .

π 2(cid:90)

tan2 x d x.

Đáp số: 3 2

− ln 2. tan3 x d x.

Chương I. TÍCH PHÂN

3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX

16 (cid:90)

Đáp số: 12.

5 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x. 1 x + 9 − x

Đáp số:

(cid:112) (cid:112) d x. 1 x + 2 + x − 2

1 (cid:90)

10.

Đáp số: e2 2

(cid:182) (cid:181) e2x + d x. + 3 ln 2 − 1 2 3 x + 1

1 (cid:90)

11.

Đáp số: − 2 3

(cid:112) 2 d x. + 2 3 x (cid:112) x2 + 1 x +

3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max

b (cid:90)

1. Tính I =

b (cid:90)

2. Tính I =

max[ f (x), g (x)] d x, I =

min[ f (x), g (x)] d x ta xét dấu hàm

| f (x)| d x ta xét dấu f (x) trên [a, b] để khử dấu giá trị tuyệt đối.

trên [a, b] để tìm min[ f (x), g (x)], max[ f (x), g (x)].

2 (cid:90)

h(x) = f (x) − g (x)

|x2 − x| d x

Ví dụ 3.1. Tính I =

Giải

Cho x2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 Bảng xét dấu

1 2

2 (cid:90)

1 (cid:90)

0 0 − 0 + x x2 + x

Khi đó: I =

(−x2 + x) d x + (x2 − x) d x = 1

2π (cid:90)

(cid:112) 1 + sin x d x

Ví dụ 3.2. Tính I =

3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX

Chương I. TÍCH PHÂN

Giải

2π (cid:90)

Ta có: I =

2π (cid:90) (cid:175) (cid:175) (cid:175)sin

0 + cos

Cho sin

0 x 2

Do x ∈ [0, 2π] ta có x =

(cid:112) (cid:114)(cid:179) (cid:180)2 + cos d x = + cos 1 + sin x d x = sin (cid:175) (cid:175) (cid:175) d x x 2 x 2 x 2 x 2 π = −1 ⇔ x = − + k2π x 2 x 2 2

Bảng xét dấu

= 0 ⇔ tan 3π 2

3π 2

2π

3π 2(cid:90)

2π (cid:90)

0 0 + 0 − x + cos x 2 sin x 2

Khi đó: I =

3π 2

2π

3π 2

(cid:180) (cid:180) − (cid:179) sin + cos d x + (cid:179) sin + cos d x x 2 x 2 x 2 x 2

3π 2

2 (cid:90)

= 4 ln 2. = 2 (cid:179) − cos + sin (cid:179) cos + 2 − sin (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) x 2 x 2 x 2 x 2

(|x| − |x − 1|) d x

Ví dụ 3.3. Tính I =

−1

Giải

Bảng xét dấu chung

x −1 1 2

0 (cid:90)

1 (cid:90)

2 (cid:90)

0 − 0 + − x x − 1 + − 0 +

Khi đó: I =

1 (cid:90)

−1 0 (cid:90)

2 (cid:90)

(−x + x − 1) d x + (x + x − 1) d x + (x − x + 1) d x

−1

2 (cid:90)

= − d x + (2x − 1) d x + d x = 0.

Ví dụ 3.4. Tính I =

max{x2, 3x + 2} d x

Giải

Xét hàm số h(x) = x2 − 3x + 2 trên [0, 2] Bảng xét dấu

x 1 2

h(x) 0 0 + 0 −

Chương I. TÍCH PHÂN

3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX

Do đó:

• Với x ∈ [0, 1] thì max[x2, 3x + 2] = x2.

1 (cid:90)

2 (cid:90)

• Với x ∈ [1, 2] thì max[x2, 3x + 2] = 3x − 2.

Khi đó: I =

(cid:28) Bài toán tương tự

2 (cid:90)

x2 d x + (3x − 2) d x = . 17 6

Đáp số: 4

−2

2 (cid:90)

|x2 − 1| d x.

Đáp số: 59 2

−3

|x2 − 3x + 2| d x.

π 2(cid:90)

Đáp số: 2

5 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) 5 − 4 cosx −4 sin x d x. 3 − 2 − π 6

Đáp số: 8

−5

1 (cid:90)

(|x + 2| − |x − 2|) d x.

Đáp số: 3 2

−1

1 (cid:90)

(|2x − 1| − |x|) d x.

Đáp số: 2

7 ln 3

−1

4 (cid:90)

d x. |x| x4 − x2 − 12

Đáp số: 5 2

(cid:112) x2 − 6x + 9 d x.

1 (cid:90)

Đáp số: 2 − (5 −

−1

(cid:112)

1 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) 3) 4 − |x| d x.

Đáp số: 2

−1

3 (cid:90)

10.

(cid:112)|x| − x d x.

Đáp số: 4 + 1

ln 2 .

3 (cid:90)

|2x − 4| d x.

3+8

11.

(cid:112) Đáp số: 24+ 15

(cid:112) x3 − 2x2 + x d x.

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

Chương I. TÍCH PHÂN

π 2(cid:90)

12.

Đáp số: 2.

− π 2

| sin x| d x.

π (cid:90)

13.

Đáp số: 4.

(cid:112) 2 + 2 cos 2x d x.

π (cid:90)

14.

Đáp số: 2

(cid:112) (cid:112) 1 − sin 2x d x. 2.

2π (cid:90)

15.

Đáp số: 4

2 (cid:90)

max(x, x2) d x.

16.

Đáp số: 55 6 .

2 (cid:90)

17.

min(x, x3) d x.

Đáp số: 4 3 .

π 2(cid:90)

18.

min(sin x, cos x) d x

(cid:112) (cid:112) 1 + sin x d x. 2.

4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

Thông thường khi gặp:

• Một căn thức ta đặt t là căn thức.

• Một phân thức ta đặt t là mẫu thức.

• Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.

• Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ.

4.1 Dạng căn thức

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng n(cid:112) trong nhiều trường hợp ta đặt t = n(cid:112)

1 (cid:90)

f (x) nói chung f (x)

(cid:112) x x2 + 1 d x

Ví dụ 4.1. Tính

Chương I. TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

Giải

(cid:112)

Đặt t = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x =

(cid:112) (cid:112) 2

1 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:112)

x2 + 1 ⇒ t 2 = x2 + 1 ⇒ x2 = t 2 − 1 ⇒ xd x = t d t 1 ⇒ t = (cid:112) (cid:90) (cid:112) t .t d t x2 + 1.x d x =

(cid:112) (cid:90)

2 t 2 d t =

(cid:112) (cid:180) = = 2 − 1 (cid:179) 2 (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 3 3 1 3

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t. Bài này ta còn có thể giải theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20. (cid:112) (cid:90)

x3(cid:112) x2 + 1 d x

Ví dụ 4.2. Tính I =

Giải

Đặt t = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =

(cid:112) (cid:90)

2 (cid:90)

(cid:112) x2 + 1 ⇒ x2 = 1 − t 2 ⇒ xd x = −t d t (cid:112) 3 ⇒ t = 2

Khi đó: I =

x2(cid:112) (t 3 − t 2) d x x2 + 1.x d x = (1 − t )t (−t ) d x =

0 (cid:181) t 4 4

− = = (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 3 3 4 3

Nhận xét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân xd x là x3d x = x2.xd x và ta thấy cần chuyển x2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

3 Đápsố:2− (cid:112)

ln x (cid:90)

(cid:112) d x. x − 1 3x2 − 6x + 7

Đápsố:2

(cid:112)

(cid:112) d x. e2x 1 + e x

5 (cid:90)

5 Đápsố:144

1 2

6 (cid:90)

(cid:112) x 2x − 1 d x.

Đáp số: ln 3 2

d x. − 1 6 1 (cid:112) 2x + 1 + 4x + 1

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

Chương I. TÍCH PHÂN

π 2(cid:90)

(cid:112) (cid:90)

(cid:112) 1 + 4 sin x cos x d x.

3 − 2 ln x (cid:112) d x

Ví dụ 4.3. Tính

x 1 + 2 ln x

Giải

Đặt t = Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = (cid:112) 3 (cid:90)

(cid:112) (cid:90)

2 (4 − t 2) d t =

Khi đó: I =

(cid:28) Bài toán tương tự

(cid:112) (cid:90)

(cid:112) 1 + 2 ln x ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ 2 ln x = t 2 − 1 ⇒ t d t = d x 1 x (cid:112) (cid:112) 2 (cid:112) 2 ⇒ t = 2 2 · − d x = · t d t = 1 x (3 − t 2 + 1) t 10 3 11 3 3 − 2 ln x (cid:112) 1 + 2 ln x

Đáp số: 5 3

3 − 2 ln x (cid:112) d x. x 1 + 2 ln x

e (cid:90)

(cid:112)

Đáp số: 116 135

(cid:112)

3(cid:112)

e (cid:90)

d x (B-2004). 1 + 3 ln x · ln x x

Đáp số: ln 3 2

(cid:112) 2 (cid:90)

ln x d x. − 1 3 1 + ln2 x x

(cid:112)

Ví dụ 4.4. Tính I =

(cid:112)

d x (A-2003) 1 4 + x2 x

Giải

(cid:112)

Đặt t = Đổi cận: x =

(cid:112) (cid:112)

Khi đó: I =

(cid:112)

5 4 (cid:90)

4 (cid:90)

5 4 (cid:90)

4 + x2 ⇒ x2 = t 2 − 4 ⇒ xd x = t d t 3 ⇒ t = 4 (cid:112) 2 (cid:90) 5 ⇒ t = 3 ; x = 2 (cid:112) 2 (cid:90) (cid:112) (cid:112) d x · x d x 1 4 + x2 x 1 4 + x2 x2

3 4 (cid:90)

4 (cid:90)

= = · t d t · t d t = d t 1 (t 2 − 4)t 1 t 2 − 4 1 t 2 − 4

3 =

= − d t = d t 1 (t − 2)(t + 2) 1 t + 2 1 4

3 1 4

= · ln (ln |t − 2| − ln |t + 2|)|4 3 1 t − 2 1 4

5 3 Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân xd x ta thấy hàm ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x. Sau đó ta cần chuyển x2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.

Chương I. TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

(cid:28) Bài toán tương tự

ln 8 (cid:90)

Đáp số: ln 3 2

ln 3

(cid:112) d x. 1 1 + e x

ln 2 (cid:90)

(cid:112) e x − 1 d x

4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng

(cid:182) m n

ta đặt

mũ

(cid:181) ax + b) cx + d (cid:182) r s . . . , = t k với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số ax + b) cx + d

63 (cid:90)

(cid:181) ax + b) cx + d m , . . . , n r s

(cid:112) d x

Ví dụ 4.5. Tính I =

(cid:112) 3 1 x + 1 + x + 1

Giải

Đặt x + 1 = t 6 ⇒ x = t 6 − 1 ⇒ d x = 6t 5d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 63 ⇒ t = 2

2 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:181) (cid:182) d t = t 2 − t + 1 − d t = 11 + 6 ln 1 t + 1 2 3 6t 5 t 3 + t 2 d t = 6 t 3 t + 1

1 3 ,

1 2 và mẫu số chung của các số mũ

là 6

(cid:28) Bài toán tương tự

729 (cid:90)

(cid:112) x + 1 = (x + 1) , x + 1 = (x + 1) 1 3 1 2 (cid:112) Nhận xét: do 3 nên ta đổi biến x + 1 = t 6.

3 (cid:90)

(cid:112) d x (cid:112) 3 1 x − x

· d x. (cid:114) x − 1 x + 1 1 x + 1

2 Hướng dẫn: đặt x+1 x−1

= t 3 và kết hợp phương pháp giải mục 5.3 trang 19.

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

Chương I. TÍCH PHÂN

4.3 Dạng phân thức 1

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng

nói chung

trong nhiều trường hợp ta đặt t = g (x).

f (x) g (x)

4 (cid:90)

(cid:112)

2x + 1 (cid:112) d x

Ví dụ 4.6. Tính I =

1 + 2x + 1

Giải

Đặt t = 1 +

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 4 ⇒ t = 4

4 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) 2x + 1 ⇒ t − 1 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = (t − 1)2 ⇒ d x = (t − 1)d t

Khi đó: I =

t − 2 + · (t − 1) d t = d t = d t = 2 + ln 2 t − 1 t (t − 1)2 t 1 t

(cid:112) 2x + 1 nhưng sẽ phức tạp hơn, (cid:112)

Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức t = cách đổi biến t = 1 +

1 (cid:90)

2x + 1 là phù hợp.

d x

Ví dụ 4.7. Tính I =

Giải

x3 x2 + 1

d t Đặt t = x2 + 1 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ xd x = 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2

1 (cid:90)

2 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:181) (cid:182) − · · x d x = d t = 1 − d x = x2 x2 + 1 t − 1 t 1 2 1 2 1 t 1 2 ln 2 2

Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2 ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân.

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

1Phương pháp giải tổng quát xem mục 6 trang 23 2Xem mục 6 trang 23

d x sin3 x 1 + cos x

Chương I. TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

4.4 Dạng biểu thức lũy thừa

Thông thường ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.

1 (cid:90)

x3(x4 − 1)5 d x.

Ví dụ 4.8. Tính I −

Giải

Đặt t = x4 − 1 ⇒ d t = 4x3d x ⇒ x3d x = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1 ; x = 1 ⇒ t = 0

0 (cid:90)

x3 1 4

Khi đó: I =

−1

= − t 5 d t = t 6 . (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 24 1 24 1 4

Nhận xét: do (x4)

(cid:48) = 4x3 nên ta khử được x3 trong đề bài.

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

Đáp số: 15 16 .

1 (cid:90)

x3(1 + x4)3 d x.

Đáp số: 1

168 .

1 (cid:90)

x3(1 − x3)6 d x.

x3(1 − x)2014 d x

4.5 Biểu thức có logarit

và ln x. Ta thường đổi biến t = ln x hoặc

Dạng thường gặp là biểu thức chứa t = biểu thức chứa ln x.

1 x

Ví dụ 4.9. Tính các tích phân sau:

3(cid:112)

e (cid:90)

(a) I1 =

(b) I2 =

ln x. d x d x 1 + ln2 x x (1 + ln x)2 x

Giải

(a) Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t =

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2

2 (cid:90)

1 x

Khi đó: I1 =

= t 2 d t = . (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 3 3 7 3

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

1 + ln2 x ⇒ t 3 = 1 + ln2 x ⇒ 3t 2d t = 2 · d x ⇒ d x = · t 2d t

(b) Đặt t = 3(cid:112)

(cid:112) 3

(cid:112) 3 (cid:90)

ln x x ln x x 3 2 2

Khi đó: I2 =

(cid:28) Bài toán tương tự

e2 (cid:90)

= · t 4 (cid:112) ( 3 (cid:112) Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 3 2 t 3 d t = 16 − 1) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 8 3 2 3 8

Đáp số: ln 2

d x. 1 x ln x

(cid:112) (cid:90)

e (cid:90)

(cid:112) (cid:179) (cid:180) ln x2 + 1 x + (cid:112) d x. x2 + 1

1 d x (cid:112) x 9 − ln2 x

(cid:112)

e (cid:90)

(cid:112)

Đáp số: 2

2−1 3

e3 (cid:90)

d x. 1 + ln x 2x

Đáp số: 2.

(cid:112) d x. 1 1 + ln x x

5 Đổi biến sang lượng giác

ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến

π 2

(cid:112) a2 − x2 x = a sin t x = a cos t (cid:112) x2 − a2

3 (cid:161)a2 + x2(cid:162)k

π 2

(cid:164) \ {0} π 2 }

x = a sin t x = a cos t x = a tan t x = a cot t

a−x hoặc (x − a)(b − x)

(cid:164) x = a cos 2t (cid:113) a−x a+x (cid:113) a+x (cid:112) (cid:164) x = a + (b − a) sin2 t

Điều kiện t ∈ (cid:163)− π (cid:164) 2 , t ∈ [0, π] t ∈ (cid:163)− π π 2 , 2 t ∈ [0, π] \ { t ∈ (cid:161)− π (cid:162) 2 , t ∈ (0, π) t ∈ (cid:163)0, t ∈ (cid:163)0,

π 2 π 2

Chương I. TÍCH PHÂN

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

5.1 Dạng 1

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng ta đặt

(cid:112) a2 − x2, a > 0, với bài tập có dạng này

(cid:112) (cid:90)

3 (cid:112)

π π (cid:105) (cid:104) − • x = a sin t , t ∈ , 2 2 • x = a cos t , t ∈ [0, π]

4 − x2 d x

Ví dụ 5.1. Tính I =

−1

Giải

Đặt x = 2 sin t , t ∈

π (cid:105)

; x =

π 3(cid:90)

(cid:112) π 2 −π 3 ⇒ t = (cid:104) −π , 2 ⇒ d x = 2 cos t d t Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 3 6

Khi đó: I =

− π 6

(cid:112) (cid:112) 4 − 4 sin2 t · 2 cos t d t = 4 cos t cos2 t d t

− π 6 π (cid:105)

Do t ∈

π 3(cid:90)

(cid:112) π (cid:104) − , ⇒ cos t > 0 ⇒ cos t = cos t 6 3

− π 6

I = 4 cos2 t d t = 2 (1 + cos 2t ) d t

− π 6 π 3(cid:90)

π 3(cid:90)

− π 6

(cid:112) d t + 2 cos2 t d t = π + 3 = 2

(cid:112) 4 − x2 thì

Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t = sẽ gặp khó khăn do:

1. Từ t 2 = 4 − x2 ⇒ t d t = −xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuất hiện 3 có

vi phân xd x thì ta phải chia cho x. Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến chứa x = 0 khi đó phép chia không hợp lệ.

2. Khi đổi sang biến t cần tính t theo x lại xuất hiện dấu căn mới, bài toán sau phức

tạp hơn bài toán trước. (∗.∗)

(cid:112)

Đây là Ví dụ chứng tỏ không phải cứ thấy (cid:112) thành công.

3 2(cid:90)

f (x) là đổi biến t = (cid:112) f (x). Có thể không

d x

Ví dụ 5.2. Tính I =

(cid:112)

− 3

1 (cid:113)(cid:161)9 − x2(cid:162)3

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

Giải

Đặt x = 3 cos t với t ∈ [0, π]

; x =

Đổi cận: x = −

3π 4(cid:90)

π 3(cid:90)

(cid:112) π 2 ⇒ d x = −3 sin t d t 3 ⇒ t = ⇒ t = 3π 4 3 3 2 2

Khi đó I =

π 3

3π 4

d t = d t 3 sin t 33 · | sin3 t | −3 sin t (cid:113)(cid:161)9 sin2 t (cid:162)3

Do t ∈ (cid:163) π

3 , 3π

3π 4(cid:90)

3π 4

(cid:164) ⇒ sin t > 0 ⇒ | sin3 t | = sin3 t (cid:112)

π 3

= = d t = d t = − cot t (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 9 1 9 3 + 3 27 3 sin t 33 · sin3 t 1 sin2 t

(cid:113)(cid:161)9 − x2(cid:162)3 là không thích hợp.

Nhận xét: trong bài này nếu đặt t =

(cid:28) Bài toán tương tự

3 2(cid:90)

1 (cid:112)

Đáp số:

1 (cid:90)

d x. 1 (cid:113)(cid:161)9 − x2(cid:162)3

Đáp số: 3π 16

(cid:112)

2 2(cid:90)

(cid:113) (cid:161)1 − x2(cid:162)3 d x.

Đáp số: π 8

(cid:112)

1 (cid:90)

(cid:112) d x. − 1 4 x2 1 − x2

Đáp số: π 2

3 2

− d x. x2 + 1 (cid:112) 4 − x2

1 (cid:90)

(cid:112)

Đáp số: 1 − π 4

(cid:112)

2 2

(cid:112) (cid:90)

d x. 1 − x2 x2

Đáp số: π 2

(cid:112) − 1 d x. x2 4 − x2

Dạng tổng quát

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng này ta đặt

(cid:112) a2 − b2x2, a > 0, với bài tập có dạng

Chương I. TÍCH PHÂN

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

π π (cid:105) (cid:104) − • x = sin t , t ∈ , 2

(cid:28) Bài tập

(cid:112)

1 (cid:90)

3π

• x = 2 cos t , t ∈ [0, π] a b a b

Đáp số: 2

3 .đặt:x=2(cid:112)

1 (cid:90)

x2(cid:112) 4 − 3x2 d x. + 1 12 sint

4−(x−1)2

0 Đáp số: π 6

.Đặtx−1=2sint

dx (cid:112)

0 .Hd:I=(cid:82)1

(cid:112) 3−1 (cid:90)

(cid:112) d x. 1 −x2 + 2x + 3

Đáp số: π 3

−1

d x. 1 x2 + 2x + 2

5.2 Dạng 2

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng ta đặt

(cid:112) x2 − a2, a > 0, với bài tập có dạng này

π (cid:180) • x = , t ∈ (cid:179) 0,

6 (cid:90)

π (cid:179) (cid:180) • x = 2 cos t , t ∈ 0, a sin t a cos t 2

(cid:112) d x

Ví dụ 5.3. Tính

(cid:112)

x 1 x2 − 9

Giải

Đặt x =

với t ∈

π (cid:179) (cid:180) 0, 2

Đổi cận: x = 3

; x = 6 ⇒ t =

π 4(cid:90)

π 6(cid:90)

3 sin t ⇒ d x = − (cid:112) d t π π 3 cos t sin2 x 2 ⇒ t = 4 6

Khi đó: I =

π 3

π 4

π 4(cid:90)

d t d t = cos t (cid:115) (cid:114) 9 · sin2 x · − 9 3 sin t · −3 cos t 3 sin t sin2 t cos2 t sin2 t

π 6

π cos t = d t = d t = 1 3 36 1 3 sin t · cos t sin t

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:112) x2 + 9 sẽ xuất hiện tích phân có dạng

Nhận xét: bài này ta còn có thể đổi biến t = (cid:112) 3 (cid:90)

(cid:112)

2 2(cid:90)

d t ta áp dụng phương pháp giải ở mục 5.3 trang 19. 1 t 2 + 9

(cid:112) d x

Ví dụ 5.4. Tính

1 4x2 − 1

Giải

Đặt x =

, t ∈

π (cid:179) (cid:180) 0, 2

; x =

π 4(cid:90)

1 2 cos t ⇒ d x = d t (cid:112) π ⇒ t = sin t 2 cos2 t π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3 4 2 2

Khi đó: I =

π 3

d t 1 cos t

Đặt u = sin t ⇒ d u = cos t d t π

Đổi cận: t =

; t =

π 4(cid:90)

(cid:112) (cid:112) π ⇒ u = ⇒ u = 3 2 3 4 2 2

Khi đó: I =

π 3

(cid:112)

π 3 (cid:112)

· cos t d t = · cos t d t 1 cos2 t 1 sin2 t − 1

2 2(cid:90)

(cid:112)

3 2

(cid:182) = − d u = d u 1 2 (cid:181) 1 u − 1 1 u + 1

3 2 1 2

(cid:33) = 1 u2 − 1 (cid:195) (cid:112) (cid:112) ln 2 + 1 3 + 1

(cid:112)

Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợp nhưng đây chưa phải 4x2 − 1 thì bài giải là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theo hướng khác t = 2x + gọn hơn nhiều. Qua đó cho thấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìm được lời giải đẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người.

(cid:28) Bài toán tương tự

(cid:112)

2 2(cid:90)

Đáp số: 1

2 ln

(cid:112) (cid:90)

(cid:180) (cid:112) d x. (cid:179) (cid:112) 2+1(cid:112) 3+1 1 1 − x2

Đáp số: π 12

2(cid:112) 3

(cid:112) d x. 1 x2 − 1 x

Chương I. TÍCH PHÂN

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

(cid:112)

4(cid:112) 3(cid:90)

(cid:112)

Đáp số: π 48

3 32

− d x. x2 − 4 x3

5.3 Dạng 3

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng (cid:161)a2 + x2(cid:162)k này ta đặt

, a > 0, với bài tập có dạng

(cid:112) 3 (cid:90)

π π (cid:180) (cid:179) − • x = a tan t , t ∈ , 2 2 • x = a cot t , t ∈ (0, π)

d x

Ví dụ 5.5. Tính

1 x2 + 9

Giải

π π (cid:179) (cid:180) − , 2

Đặt x = 3 tan t , t ∈ 3 cos2 t Đổi cận: x = 3 ⇒ t =

; x = 3

π 3(cid:90)

⇒ d x = (cid:112) 2 d t π π 3 ⇒ t = 3 4

Khi đó: I =

π 4

π 3(cid:90)

· d t = d t 1 3 1 9 tan2 t + 9 3 cos2 t 1 (cid:161)1 + tan2(cid:162) cos2 t

π 4

2 (cid:90)

π = · cos2 t d t = d t = 1 3 1 3 1 cos2 t 36

d x

Ví dụ 5.6. Tính

1 x2 + 4

Giải

Đặt x = 2 cot t , t ∈ (0, π)

; x = 2 ⇒ t =

π 4(cid:90)

⇒ d x = d t π π 2 cos2 t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 4

Khi đó: I =

π 4(cid:90)

· d t = d t 1 4 cot2 t + 4 2 sin2 t 1 (cid:161)1 + cot2(cid:162) sin2 t

1 2 π 4(cid:90) π = d t = · sin2 t d t = 1 2 1 2 8 1 sin2 t

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

1 (cid:90)

(cid:112) x 1 + x2 d x

Ví dụ 5.7. Tính

Giải

Đặt x = tan t , t ∈

π π (cid:179) (cid:180) − , 2

π 4(cid:90)

2 d t ⇒ d x = π 1 cos2 t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 4

Khi đó: I =

(cid:112) · · tan t 1 + tan2 t · d t = d t 1 cos2 t sin t cos t 1 cos t 1 cos2 t

0 π 4(cid:90)

(cid:112) (cid:180) = 2 − 1 (cid:179) 2 d t = · · · = sin t cos4 t 1 3

Nhận xét: đây là cách giải đúng và dĩ nhiên có thể chấp nhận được nhưng ta còn có cách giải khác ngắn gọn hơn ở Ví dụ 4.1 trang 8. Phép đổi biến x = tan t có thể dùng được nhưng không thích hợp trong trường hợp này.

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

Đáp số: 3π 32

2 (cid:90)

1 + 1 4 (cid:161)1 + x2(cid:162)3 d x.

Đáp số: 1 32

(cid:112)

(cid:112) (cid:90)

1 + 1(cid:162) (cid:161) π 2 (cid:161)x2 + 4(cid:162)2 d x.

Đáp số:

3+1 2

(cid:112)

−

3 3

d x. 1 (cid:113)(cid:161)1 + x2(cid:162)3

(cid:112)

(cid:112) (cid:90)

Đáp số: ln (cid:161)2 +

3−2 3

(cid:112) (cid:112) (cid:112) 3(cid:162) (cid:161) 2 − 1(cid:162) + 3 d x. 1 + x2 x2

Dạng tổng quát

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng (cid:161)a2 + b2x2(cid:162)k, với bài tập có dạng này ta đặt

π π (cid:180) (cid:179) − • x = tan t , t ∈ , 2

• x = 2 cot t , t ∈ (0, π) a b a b

Chương I. TÍCH PHÂN

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

1 (cid:90)

Ví dụ 5.8. Tính I =

1 (cid:161)1 + 3x2(cid:162)2 d x

Giải

Đặt x =

,t ∈

π π (cid:180) (cid:179) − 1 (cid:112) , 2

π 3(cid:90)

1 (cid:112) 2 (cid:161)1 + tan2 t (cid:162) d t 3 ⇒ d x = π 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 3

Khi đó: I =

π 3(cid:90)

· 1 (cid:112) 1 (cid:112) (cid:161)1 + tan2 t (cid:162) d t = d t 1 1 + tan2 t 3 3 1 (cid:161)1 + tan2(cid:162)2

(cid:28) Bài toán tương tự

(cid:112)

3 3(cid:90)

+ = 1 (cid:112) π (cid:112) 1 (cid:112) cos2 t d t = (1 + cos t ) d t = 1 8 3 6 3 2 3

Đáp số: 1 48

3 4

0 (cid:90)

(cid:180) − (cid:179) π 3 x2 (cid:161)4x2 + 9(cid:162)2 d x.

Đáp số: π 4

− 1 2

(cid:112)

1 (cid:90)

Đáp số:

d x. 1 2x2 + 2x + 1

π 3 18

d x. x x4 + x2 + 1

5.4 Dạng 4

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

hoặc

, với bài tập có

dạng này ta đặt x = a cos 2t , t ∈

1 (cid:90)

(cid:114) a + x a − x (cid:114) a − x a + x π (cid:104) (cid:105) 0, 2

d x

Ví dụ 5.9. Tính I =

−1 π

1 + x 1 − x

Đặt x = cos 2t , t ∈

(cid:104) (cid:105) 0,

; x = 0 ⇒ t =

π π 2 ⇒ d x = −2 sin 2t Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 2 4

5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

π 2(cid:90)

Khi đó: I =

π 4

π 4 π 2(cid:90)

π 2(cid:90)

(cid:112) · (−2 sin 2t ) d t = cot2 t · (−2 sin 2t ) d t (cid:114) 1 + cos 2t 1 − cos 2t

π 4

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

π = (cid:161)−4 cos2 t (cid:162) d t = −2 cot t (−2 sin 2t ) d t = (1 + cos 2t ) d t = −2 − 2

Đáp số: π 2

− 1 d x. (cid:114) 1 − x 1 + x

(cid:112) (cid:90)

Đáp số: π 2

2 (cid:114) 2 + x 2 − x

(cid:112) + 2 − 2 d x.

5.5 Dạng 5

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng ta đặt x = a + (b − a) sin2 t , t ∈

3 2(cid:90)

(cid:112) (x − a)(b − x), với bài tập có dạng này π (cid:104) (cid:105) 0, 2

(cid:112) (x − 1)(x − 2) d x

Ví dụ 5.10. Tính I =

5 4

Giải

Đặt x = 1 + sin2 t , t ∈

π (cid:104) (cid:105) 0, 2

; x =

Đổi cận: x =

π ⇒ t = ⇒ d x = 2 sin t d t π 5 ⇒ t = 4 6 3 2 4

π 4(cid:90)

Khi đó: I =

π 6

(cid:28) Bài tập tổng hợp

(cid:112) (cid:90)

(cid:112) π + sin2 2t d t = 1 − cos 4t d t = 1 2 1 4 3 32 48

Đáp số: π 12

2(cid:112) 3

(cid:112) d x. 1 x2 − 1 x

Chương I. TÍCH PHÂN

6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

6 Tích phân hàm hữu tỉ

6.1 Tích phân chứa nhị thức

Dạng I =

(cid:90) 1

(ax + b)n d x ta đổi biến t = ax + b

6.2 Tích phân chứa tam thức

(cid:51) Dạng 1

1. ∆ > 0

(cid:90) I = d x, xét các trường hợp của ∆ = b2 − 4ac 1 ax2 + bx + c

Khi đó: I =

(cid:90) d x 1 a(x − x1)(x − x2)

2. ∆ = 0

(cid:182) (cid:90) (cid:181) = − d x 1 a(x1 − x2) 1 x − x1 1 x − x2

Khi đó: I =

(cid:90) 1

3. ∆ < 0

1 a (x − x0)2 d x (tích phân hàm chứa nhị thức).

Khi đó: I =

(cid:90) 1

(cid:112) 3−1 (cid:90)

(x + A)2 + B 2 d x (đổi biến sang lượng giác3 xem mục 5 trang 14). 1 a

d x

Ví dụ 6.1. Tính I =

−1

1 x2 + 2x + 2

Giải

(cid:112) 3−1 (cid:90)

Ta có: I =

−1

d x

Đặt x + 1 = tan t , t ∈

Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0 ; x =

π 3(cid:90)

π π (cid:180) 1 (x + 1)2 + 1 (cid:179) − , 2 2 ⇒ d x = (1 + t 2)d t (cid:112) π 3 − 1 ⇒ t = 3

Khi đó: I =

3Dạng 3

π d t = d t = . (1 + t 2) (1 + t 2) 3

6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

−1 (cid:90)

(a)

(b)

−2 4 (cid:90)

d x d x 1 2x2 + 5x + 2 1 x2 + 2x + 5

0 2 (cid:90) (c)

(d)

5 4 2 (cid:90)

1 (cid:90)

d x d x 1 2x2 − 5x + 7 1 x2 − 7x + 10

(e)

(f)

0 π 2(cid:90)

d x d x 1 4x2 − 24x + 36 x x4 − 2x2 + 2

(h)

4 (cid:90) (g)

π 6

2 π 6(cid:90)

d x d x 2x x4 − 3x2 + 2 cos x sin2 x − 6 sin x + 2

(i)

(cid:51) Dạng 2

d x 1 3 sin2 x − 6 sin x cos x + 5 cos2 x

Tích phân có dạng I =

(cid:90) mx + n d x ta phân tích ax2 + bx + c

(cid:48) + B

từ đó ta đưa được về các dạng tích phân biết cách giải.

3 (cid:90)

mx + n = A(ax2 + bx + c)

d x

Ví dụ 6.2. Tính I =

2x + 3 x2 − 3x + 2

Giải

Phân tích: 2x + 3 = A(2x − 3) + B = 2Ax − 3A + B Đồng nhất hệ số hai vế ta được:

3 (cid:90)

(cid:40) (cid:40) ⇔ = 2 2A −3A + B = 3 A = 1 B = 6

Khi đó: I =

3 (cid:90)

d x = d x + 6 d x (2x − 3) + 6 x2 − 3x + 2 2x − 3 x2 − 3x + 2 1 x2 − 3x + 2

3 4

= ln d x = ln |x2 − 3x + 2|(cid:175) (cid:175) • I1 = = I1 + I2 2x − 3 x2 − 3x + 2 5 6

Chương I. TÍCH PHÂN

6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

6.3 Dạng tổng quát

(cid:51) Phân tích phân thức

Cho f (x) là đa thức bậc bé hơn n khi đó ta có phân tích

• = + + · · · + f (x) (x − a)n A1 (x − a)n An+1 a − a

(cid:48) A 1 (x − b)n

(cid:48) A n+1 x − b

Ta qui đồng, khử mẫu và xác định các hệ số Ai bằng phương pháp đồng nhất thức hoặc trị số riêng.

= + + · · · + + · · · + • f (x) (x − a)m(x − b)n A2 (x − a)n−1 A1 (x − a)m A2 (x − a)m−1 Am+1 x − a

Ví dụ 6.3.

= + = A + B (x − 2) (x − 2)2 A (x − 2)2 B x − 2 x + 2 (x − 2)2 Cho x + 2 = A + B (x − 2). Lần lượt cho x = 0, 2 ta được hệ phương trình:

(cid:40) (cid:40) ⇔ A − 2B = 2 = 4 A A = 4 B = 1

x2 − 4x x3 − 4x2 + 5x − 2

Qui đồng mẫu số và khử mẫu hai vế ta được:

= = = f (x) = Ta có: x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)2(x − 2) Do đó: f (x) = x2 − 4x (x − 1)2(x − 2) A (x − 1)2 B x − 1 C x − 2

Lần lượt cho x = 1, 2, 0 ta được hệ phương trình:

x2 − 4x = A(x − 2) + B (x − 1)(x − 2) +C (x − 1)2

⇔ = 1 = 4

(cid:51) Dạng tổng quát

Để tính bài toán tích phân có dạng phân thức 4 I =

   B +C A − 3B − 2C −2A + 2B +C = 0  A = 3  B = 5  C = −4

1. Xét xem

đã là phân thức thực sự chưa. Cụ thể:

d x ta thực hiện theo các bước: (cid:90) f (x) g (x)

(a) Nếu bậc f (x) nhỏ hơn bậc của g (x) ta đã có phân thức thực sự.

4Ta chỉ xét trường hợp mẫu có nghiệm

f (x) g (x)

6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

(b) Nếu bậc của f (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g (x) ta chia f (x) cho g (x) để làm

xuất hiện phân thức thật sự.

2. Căn cứ vào dạng tích của mẫu thức mà ta phân tích thành tổng các phân thức đơn

giản.

Ví dụ 6.4. Tính I = 34

x2 − 4x x3 − 4x2 + 5x − 2

Giải

là phân thức thật sự. Cách phân tích đã xét trong Ví dụ 6.3 trang

Ta có: 62.

x2 − 4x x3 − 4x2 + 5x − 2

4 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:181) (cid:182) + − d x 3 (x − 1)2 5 x − 1 4 x − 2

3 (cid:181) −

= = + 5 ln |x − 1| − 4 ln |x − 2| + 5 ln − 4 ln 2. (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 x − 1 1 2 3 2

Nhận xét:

1) Biểu thức x4 + a4(a > 0) được phân tích thành

(cid:179) x4 − a4 = x2 + (cid:112) 2ax + a2(cid:180) (cid:179) x2 − (cid:112) 2ax + a2(cid:180)

2) Phương pháp trên giải quyết bài toán tích phân hàm hữu tỉ nhưng nói chung còn dài dòng. Khi ta kết hợp với các phương pháp khác thì bài toán được giải quyết gọn hơn.

(cid:28) Bài toán tương tự

2 (cid:90)

Đáp số: − 1

8 ln 5

2 ln 5 2 .

3 (cid:90)

+ ln 2 − 1 d x. 1 x3 + x

Đáp số: 1 − 2 ln 3 2

2 ln 2 + 1

4 3 .

1 (cid:90)

+ 3 d x. x3 − 2 x3 − x

Đáp số: 3

2 ln 2 − 2 ln 3

2 ln 4

(cid:112)

+ 1 d x. x + 4 x3 + 6x2 + 11x + 6

3 2(cid:90)

Đáp số: − 1

2 ln(2 −

2 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) 3) + 3 + 3 2 . 1 (1 − x2)2 d x.

1 − x5 x + x6 d x.

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1 (cid:90)

Đáp số:1 − 1

2 ln 3 − arctan 1

1 (cid:90)

d x. x4 x4 − 16

Đáp số: 1

4 ln 25

34 arctan 1

7π 128 .

16 x2 + x + 1 (x2 + 4)(x2 + 2x + 5)

1 (cid:90)

− 52 d x.

1 (cid:112)

Đáp số:

(cid:112) (cid:179) 2− (cid:112) 2+

2 2

(cid:180) ln d x. x2 − 1 x4 + 1

7 Tích phân hàm lượng giác

7.1 Các công thức lượng giác

(a). Công thức cộng

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a

(cid:180) = + x tan tan (a + b) =

(b). Công thức nhân

(cid:180) = − x tan tan (a − b) = tan a + tan b 1 − tan a tan b tan a − tan b 1 + tan a tan b cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 1 + tan x 1 − tan x 1 − tan x 1 + tan x (cid:179) π 4 (cid:179) π 4

• Công thức nhân đôi

=2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x

cot 2x = tan 2x = 2 tan x 1 − tan2 x cot2 x − 1 2 cot x

• Công thức hạ bậc

sin2 x = cos2 x = 1 + cos 2x 2

tan2 x = 1 − cos 2x 2 1 − cos 2x 1 + cos 2x

• Công thức nhân ba

sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x tan 3x = 3 tan x − tan3 x 1 − tan2 x

cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x

(c). Công thức theo tan x 2

Đặt t = tan x

2 thì

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

sin x = tan x = 2t 1 − t 2

(d). Công thức biến đổi tổng thành tích

cos x = 2t 1 + t 2 1 − t 2 1 + t 2

(cid:182) (cid:182) (cid:182) (cid:182) cos cos sin (a + b) = 2 sin cos (a + b) = 2 cos

(cid:182) (cid:182) (cid:182) (cid:182) sin sin cos (a − b) = −2 sin sin (a − b) = 2 cos (cid:181) a − b 2 (cid:181) a − b 2 (cid:181) a − b 2 (cid:181) a − b 2

tan (a + b) = cot (a + b) =

tan (a − b) = cot (a − b) = (cid:181) a + b 2 (cid:181) a + b 2 sin (a + b) cos a cos b sin (a − b) cos a cos b (cid:112) (cid:112) π π (cid:179) (cid:181) a + b 2 (cid:181) a + b 2 sin (a + b) sin a sin b sin (a − b) sin a sin b (cid:179) (cid:180) (cid:180) sin a + cos a = 2 sin a + a − sin a − cos a =

(e). Công thức biến đổi tích thành tổng

(cid:112) 2 sin (cid:112) π (cid:179) (cid:179) (cid:180) (cid:180) = = − 2 cos 4 π a − 2 cos 4 a − 4 4

sin a. sin b = cos a. cos b = [cos (a − b) − cos (a + b)] [cos (a − b) + cos (a + b)] 1 2

sin a. cos b = [sin (a − b) + sin (a + b)] 1 2 1 2

7.2 Dạng tổng quát

Khi gặp tích phân hàm lượng giác trong trường hợp tổng quát ta có thể đổi biến t = tan

. Khi đó:

x 2

π 2(cid:90)

d x = 2d t 1 + t 2 ; sin x = 2t 1 + t 2 ; cos x = 1 − t 2 1 + t 2

d x

Ví dụ 7.1. Tính I =

1 4 + 5 sin x

Giải

Đặt t = tan

2t 1 + t 2

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 (cid:90)

1 (cid:90)

x 2 ⇒ d x = ⇒ sin x = 2t d t 1 + t 2 π ⇒ t = 1 2

Khi đó: I =

1 · d t 2 1 + t 2 d t = 1 2t 2 + 5t + 2 4 + 5 · 2t 1 + t 2

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1 (cid:90)

(cid:195) (cid:33) = − d t (cid:162) d t = 1 3 1 t + 2 1 2(t + 2) (cid:161)t + 1 2

0 1 = 0

0 1 3

π 2(cid:90)

= (cid:161)ln ln 2. (cid:175) − ln |t + 2|(cid:162)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)t + 1 2 1 t + 1 2 1 3

d x

Ví dụ 7.2. Tính I =

1 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

Giải

π 2(cid:90)

Ta có: I =

Đặt t = tan x ⇒ sin 2x =

1 d x = d x 1 sin 2x − cos 2x + sin 2x − 1 − cos 2x 2 1 + cos 2x 2

2t 1 + t 2 và cos 2t = 1 − t 2 1 + t 2

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 (cid:90)

1 (cid:90)

⇒ d x = d t 1 + t 2 π ⇒ t = 1 4

Khi đó: I =

1 (cid:90)

1 · d t 1 1 + t 2 d t = 1 t 2 + 2t + 1 − 2t 1 + t 2

= (cid:112) 1 (cid:112) (cid:195) (cid:112) (cid:112) (cid:112) d t = − ln 2 − 1) 2 2 2 + t − 1 2 − t − 1 1 − t 2 1 + t 2 1 2 − 1)(t − (cid:33)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)

(t + = · · · (ˆ.ˆ).

7.3 Các trường hợp đơn giản

Phương pháp tổng quát giải bài toán tích phân hàm lượng giác là đổi biến t = tan

(cid:51) Dạng 1

x 2 nhưng trong một số trường hợp phương pháp này trở nên phức tạp, dài dòng. Ta có cách giải riêng đối với một số dạng đặc biệt.

• Hàm số là lẻ đối với sin ta đặt t = cos x.

• Hàm lẻ đối với cos ta đặt t = sin x.

Ví dụ 7.3.

1. Xét hàm f (sin x, cos x) = cos3 x sin2 x

Ta có: f (sin x, − cos x) = (− cos x)3 sin2 x = − cos3 x sin2 x

= − f (sin x, cos x) ⇒ Đây là trường hợp hàm lẻ đối với cos

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

2. Xét hàm số f (sin x, cos x) = (sin x + sin3 x) cos x Ta có: f (− sin x, cos x) = (cid:163)− sin x + (− sin x)3(cid:164) cos x

= (− sin x − sin3 x) cos x = −(sin x + sin3 x) cos x = − f (sin x, cos x) ⇒ Đây là trường hợp hàm lẻ đối với sin

Ví dụ 7.4. Tính tích phân sau:

π 2(cid:90)

(a) I =

π 2(cid:90)

cos3 x sin2 x d x

(b) I =

d x sin 2x cos x 1 + cos x

Giải

(a) Đặt t = sin x ⇒ cos2 x = 1 − t 2 ⇒ d t = cos xd x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =

1 (cid:90)

π 2(cid:90)

π ⇒ t = 1 2

Khi đó: I =

0 1

0 1 (cid:90)

cos2 x. sin2 x. cos x d x = (cid:161)1 − t 2(cid:162) t 2 d t

= − = (cid:161)t 2 − t 4(cid:162) d t = (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:181) t 3 3 t 5 5 2 15

(b) Nhận xét:

đây là trường hợp hàm lẻ đối với sin.

= sin 2x cos x 1 + cos x 2 sin x cos2 x 1 + cos x

Đặt t = cos x ⇒ sin2 x = cos x ⇒ sin xd x = −d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x =

1 (cid:90)

π 2(cid:90)

π ⇒ t = 0 2

Khi đó: I =

d x = − d t 2 sin x cos2 x 1 + cos x 2t 2 1 + t

1 (cid:90)

0 = 2 ln 2 − 1

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

(cid:181) (cid:182) t − 1 + d t = 2 = 2 − t + ln (1 + t ) (cid:184)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 t + 1 (cid:183) t 2 2

Đáp số: 1 24

sin3 x cos5 x d x.

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

π 2(cid:90)

Đáp số: 8 15

π 2(cid:90)

cos5 x d x.

(cid:112)

π 2(cid:90)

cosx sin3 x d x

Đáp số: π 2 12

(cid:51) Dạng 2

Hàm bậc chẵn đối với sin và cos. Đặt t = tan x ⇒ d x =

(cid:112) d x. cos x 7 + cos 2x

Công thức thường sử dụng: cos2 x =

d t 1 + t 2

1 1 + t 2 ; sin x = t 2 1 + t 2

Ví dụ 7.5. Tính tích phân sau

π 4(cid:90)

(a) I =

π 3(cid:90)

tan5 x d x

(b) I =

π 4

d x 1 sin2 x cos4 x

Giải

là hàm chẵn đối với sin x, cos x

Đặt t = tan x ⇒ d x =

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =

sin5 x (a) Nhận xét: hàm tan5 x = cos5 x 1 1 + t 2 d t π ⇒ t = 1 4

1 (cid:90)

Khi đó: I =

(b) Đặt t = tan x ⇒ d t = (cid:161)1 + tan2 x(cid:162) d x ⇒ d t = (cid:161)1 + t 2(cid:162) d x

(cid:182) (cid:181) − + = − + t 3 − t + d t = ln (cid:161)t 2 + 1(cid:162) ln 2. (cid:184)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 5 1 + t 2 d t = t t 2 + 1 (cid:183) t 4 4 t 2 2 1 2 1 4 1 2

Ta được: sin2 x =

⇒ d x =

1 1 + t 2 d t t 2 1 + t 2 và cos2 x = 1 1 + t 2

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:112) (cid:90)

Khi đó I =

3 (cid:181)

· d t (cid:182)2 1 1 + t 2 d t = (cid:161)1 + t 2(cid:162)2 t 2 · 1 (cid:181) 1 1 + t 2 t 2 1 + t 2

1 (cid:112) (cid:90)

(cid:112) (cid:90)

(cid:112)

0 (cid:181) t 3 3

0 −4 + 4 3

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

(cid:182) = t 2 + 2 + d t = d t t 4 + 2t 2 + 1 t 2 1 t 2 (cid:112) 3 = = + 2t − (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 t

Đáp số: 25 12

π 4

π 2(cid:90)

d x. cot x + 1 sin4 x

Đáp số: 8 5

π 6

π 4(cid:90)

cos3 x (cid:112) d x. − 19 (cid:112) 10 sin x

Đáp số: ln

(cid:112) (cid:179) 2+ (cid:112) 2−

2 2

π 2(cid:90)

(cid:180) 1 2 d x. 1 cos x

Đáp số: 8 15

π 4(cid:90)

cos5 x d x.

Đáp số: 1 + ln 3

π 6

π 2(cid:90)

d x. 1 sin3 c cos x

Đáp số: 13 15

π 4

π 4(cid:90)

cot6 x d x. − π 4

Đáp số: 1

6 ln 2

(cid:51) Dạng 3

b (cid:90)

Dạng I =

d x. 1 sinx +2 sin x cos x − 8 cos2 x

hợp đặc biệt của Dạng 2 nhưng ta có thể giải gọn hơn bằng cách:

sinm cosn d x trong đó m, n là các số nguyên dương chẵn. Loại này là trường

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1. Nhóm lũy thừa chung của sin x và cos x để sử dụng công thức sin x cos x =

2. Phần còn lại dùng cos2 x =

và sin2 x =

để giảm dần bậc của

sin 2x. 1 2

π 2(cid:90)

1 + cos 2x 2 1 − cos 2x 2 sin x, cos x.

cos4 x sin2 x d x

Ví dụ 7.6. Tính I =

Giải

π 2(cid:90)

Ta có: I =

cos2 x sin2 x. cos2 x d x = sin2 2x cos2 x d x 1 4

π 2(cid:90)

0 π 2(cid:90)

(cid:182) = sin2 2x (cid:161)sin2 2x + sin2 2x cos 2x(cid:162) d x d x = 1 8 (cid:181) 1 + cos 2x 2 1 4

= sin2 2x d x + sin2 2x cos 2x d x = I1 + I2 1 8 1 8

π 2(cid:90)

π 2

0 π 2(cid:90)

(cid:181) π = sin2 2x d x = x − (1 − cos 4x) d x = • I1 = (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 16 sin 4x 4 32 1 16 1 8

sin2 2x cos 2x d x • I2 = 1 8

d t

⇒ t = 0

(cid:28) Bài toán tương tự

π 4(cid:90)

π 2(cid:90)

π 1 Đặt t = sin 2x ⇒ cos 2xd x = 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = π 2 ⇒ I2 = 0 Vậy I = 32

0 π 6(cid:90)

0 π 2(cid:90)

1) sin2 x cos4 x d x 2) sin2 x cos2 x d x

(cid:51) Dạng 4

3) cos4 x d x 4) sin6 x d x

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

b (cid:90)

1. I =

d x . Đổi biến t = tan x và áp dụng công thức 1 sin2m x cos2n x

b (cid:90)

2. I =

, sin2 x = cos2 x = 1 1 + tan2 x tan2 x 1 + tan2 x

b (cid:90)

3. I =

d x. Đổi biến t = tan x. tanm x cos 2nx

b (cid:90)

4. I =

d x. Đổi biến t = cot x. cotm x sin2n x

b (cid:90)

d x. Ta đưa về tan x sau đó tùy trường hợp mà đổi biến t = tan x hoặc sinm x cos2n x

b (cid:90)

5. I =

t = cot x. Dạng I = d x có cách làm tương tự. cosm x sin2n x

b (cid:90)

bài cụ thể. Dạng I =

tanm x d x. Ta sử dụng công thức tan2 x = − 1 sau đó đổi biến tùy từng 1 cos2 x

b (cid:90)

6. Dạng I =

cotm x d x có cách giải tương tự.

b (cid:90)

d x. 1 sinn x

Biến đổi: I =

2 a Đổi biến t = tan x 2 (xem mục 7.2 trang 28).

b (cid:90)

d x = d x 1 2n sinn x 1 2n tann x 1 2 cosn x 1 2 cos2n x

7. Dạng I =

Ta đưa về dạng trên bằng cách đổi biến t =

d x 1 cosn x π − x. 2

Ví dụ 7.7. Tính các tích phân sau:

π 3(cid:90)

π 4(cid:90)

tan2 x d x tan3 x d x

Giải

π 4(cid:90)

a) Ta có: I =

π 4 0

(cid:181) (cid:182) π = 1 − − 1 d x = (tan x − x)| 4 1 cos2 x

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

π 3(cid:90)

b) Ta có: I =

0 π 3(cid:90)

(cid:181) (cid:182) tan x. tan2 x d x = tan x − 1 d x 1 cos2 x

π 3(cid:90)

= tan x · d x − tan x d x = I1 − I2 1 cos2 x

Đặt t = tan x ⇒ d t =

tan x · d x • I1 = 1 cos2 x

(cid:112) d x π ⇒ t = 3 3

3 t d t =

Khi đó: I =

π 3(cid:90)

1 cos2 x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = (cid:112) (cid:90) = (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 2 2 3 2

Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin xd x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = π 3

tan x d x • I2 =

1 2(cid:90)

⇒ t = 1 2

Khi đó: I = −

1 2 1

1 − ln 2.

Vậy I =

d x = − ln |t || = − ln = ln 2 1 2 1 t

(cid:28) Bài toán tương tự

π 4(cid:90)

π 2(cid:90)

3 2

0 π 4(cid:90)

0 π 2(cid:90)

d x d x tan2 x cos6 x 1 cos4 x

π 4

π 4(cid:90)

π (cid:90)

tan5 x d x cot6 x d x

π (cid:90)

π 4 π 4(cid:90)

tan4 x d x cot3 x d x

π 6

π 4 π 4(cid:90)

π 4(cid:90)

d x d x 1 sin4 x 1 sin4 x cos4 x

10)

π 6 π 2(cid:90)

π (cid:90)

d x d x 1 cos4 x + sin4 x 1 a sin2 x + b cos2 x

11)

12)

(cid:179) (cid:180) d x d x tan2 x 3 + tan4 x 4 sin2 x − cos2 x sin4 x + cos4 x

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

π 6(cid:90)

π 2(cid:90)

14)

13)

π 3 π 2(cid:90)

d x d x 1 cos x 1 sin x

15)

π 3

(cid:51) Dạng 5

d x 1 sin3 x

Để tính

thành tổng

(cid:90) (cid:90) (cid:90) sin a cos b d x; sin a sin b d x; cos a cos b d x ta áp dụng công thức biến đổi tích

sin a cos b = [sin(a + b)x + sin(a − b)x]

sin a sin b = [cos(a − b)x − cos(a + b)x]

cos a cos b = [cos(a + b)x + cos(a − b)x] 1 2 1 2 1 2

Ví dụ 7.8. Tính các tích phân sau:

π 2(cid:90)

(a) I1 =

− π 2

π 2(cid:90)

sin 7x cos 2x d x

(b) I2 =

π 6

d x 1 + sin 2x + cos 2x sin x + cos x

Giải

π 2(cid:90)

(a) Ta có: I1 =

− π 2

(cos 5x − cos 9x) d x = 4 45 1 2

π 2(cid:90)

(b) Ta có: I2 =

π 6

(cid:182) − d x (cid:181) 1 + sin 2x sin x + cos x cos 2x sin x + cos x

π 2(cid:90)

π 6

π 2(cid:90)

(cid:184) = + d x (cid:183) (sin x + cos x)2 sin x + cos x cos2 x − sin2 x sin x + cos x

π 6

= cos x d x = 1. (sin x + cos x + cos x − sin x) d x = 2

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

(cid:28) Bài toán tương tự

π (cid:90)

π 8(cid:90)

π (cid:90)

0 π 6(cid:90)

sin sin 3x cos 5x d x cos d x x 3 x 4

cos x cos2 3x d x sin x cos 2x cos 3x d x

7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác

(cid:51) Dạng 1

Dạng I =

(cid:90) d x ta áp dụng cách giải tổng quát: 1 a sin x + b cos x + c

Đặt t = tan

Khi đó: sin x =

⇒ d x = x 2

π 2(cid:90)

2t d t 1 + t 2 . 2t 1 + t 2 , cos x = 1 − t 2 1 + t 2

d x

Ví dụ 7.9. Tính I =

1 sin x + cos x + 1

Giải

Đặt t = tan

⇒ d x = 2 1 + t 2 d t π ⇒ t = 1 x 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =

Khi đó: sin x + cos x + 1 = 1 (cid:90)

Do đó: I =

(cid:28) Bài toán tương tự

π (cid:90)

+ + 1 = 2t + 2 1 + t 2 2 2t 1 + t 2 (cid:182) · = ln 2. d t = d t = ln |t + 1|1 0 (cid:181) 1 + t 2 2t + 2 2 1 + t 2 1 − t 2 1 + t 2 1 (cid:90) 1 t + 1

Đáp số: π

π (cid:90)

d x. 1 sin x + 1

Đáp số: 1

2 ln 5

π 2

π 2(cid:90)

d x. 1 3 sin x − 2 cos x + 3

Đáp số: − 1 6

d x. 1 4 sin x + 3 cos x + 5

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:51) Dạng 2

Tích phân có dạng I =

Ta tìm hai số A, B thỏa mãn Tử số = A(Mẫu số)

(cid:48) + B (Mẫu số)

π 4(cid:90)

d x (cid:90) m sin x + n cos x a sin x + b cos x

d x

Ví dụ 7.10. Tính I =

2 sin x + 16 cos x 2 sin x + 3 cos x

Giải

Ta tìm hai số A, B thỏa mãn: 2 sin x + 16 cos x = A(2 sin x + 3 cos x)

(cid:48) + B (2 sin x + 3 cos x) = A(2 cos x − 3 sin x) + B (2 sin x + 3 cos x) ta được hệ phương trình:

Lần lượt cho x = 0,

π 4(cid:90)

(cid:40) (cid:40) ⇔ A = 2 B = 4 2A + 3B = 16 −3A + 2B = 2

Khi đó: I = 2

d x + 4 d x 2 cos x − 3 sin x 2 sin x + 3 cos x

0 + π = 2 ln

π 4 0

(cid:28) Bài toán tương tự

π (cid:90)

5 (cid:112) + π. = 2 ln(2 sin x + 3 cos x)| 3 2

Đáp số: −3 ln 4 + π.

π 2

(cid:51) Dạng 3

Tích phân dạng I =

d x. 11 sin x + 10 cos x 4 sin x − cos x

(cid:48) +B (Mẫu số)+C . Khi đó đưa về được các dạng

Ta tìm 3 số A, B,C thỏa : Tử số = A(Mẫu số) tích phân đã biết cách giải.

π 2(cid:90)

d x. (cid:90) m sin x + n cos x + k a sin x + b cos x + c

d x

Ví dụ 7.11. Tính I =

3 sin x + 5 cos x + 2 sin x + cos x + 1

Giải

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Ta tìm ba số A, B,C thỏa mãn: 3 sin x + 5 cos x + 1 = A(3 sin x + 5 cos x + 1)

(cid:48) + B (3 sin x + 5 cos x + 1) +C

Lần lượt cho x = 0,

= A(3 cos x − 5 sin x) + B (3 sin x + 5 cos x + 1) +C π , π ta được hệ phương trình: 2

    ⇔

π 2(cid:90)

 A = 1 B = 4  C = −2 A + 2B +C = 7 −A + 2B +C = 5 −A + B +C = −5

Khi đó: I =

d x − 2 d x + 4 d x cos x − sin x sin x + cos x + 1 1 sin + cos x + 1

π 2(cid:90)

= I1 + 4I2 − 2I3

π 2 0

0 π 2(cid:90)

d x = ln | sin x + cos x + 1|| = 0. • I1 = cos x − sin x sin x + cos x + 1

π 2 0

0 π 2(cid:90)

π = d x = x| . • I2 = 2

Vậy: I = 2π − 2 ln 2.

(cid:51) Dạng 4

d x = ln 2 (tích phân này đã được trình bày ở Ví dụ 7.9) • I3 = 1 sin + cos x + 1

Tích phân dạng I =

(cid:90) m sin x + n cos x + k

(cid:48) + B (Mẫu số). Khi đó đưa về được các dạng tích

Ta tìm 2 số A, B thỏa : Tử số = A(Mẫu số) phân đã biết cách giải.

π 2(cid:90)

(a sin x + b cos x + c)2 d x.

Ví dụ 7.12. Tính I =

5 cos x + sin x (sin x + cos x)2 d x

Giải

Ta tìm 2 số A, B thỏa

sin x + 5 cos x = A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x)

Lần lượt cho x = 0,

ta được hệ phương trình:

(cid:40) (cid:40) ⇔ A + B = 5 −A + B = 1 A = 2 B = 3

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

π 2(cid:90)

Khi đó: I = 2

π 2(cid:90)

π 2

d x = 2I1 + 3I2. cos x − sin x (sin x + cos x)2 d x + 3 1 sin x + cos x

= 0 (hoặc ta có thể đổi biến t = sin x + cos x.) • I1 = (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) cos x − sin x (sin x + cos x)2 d x = − 1 sin x + cos x

0 π 2(cid:90)

(Ví dụ 7.9 ) ta tính được I2 =

Vậy I = 3

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

(cid:112) (cid:112) 2 ln( 2 + 1) d x. Đổi biến t = tan • I2 = x 2 1 sin x + cos x (cid:112) (cid:112) 2 ln( 2 + 1).

Đáp số: − 1 4

(cid:51) Dạng 5

b (cid:90)

Tích phân dạng I =

+ ln 6. 3 sin x + 29 cos x (3 sin x + 4 cos x)2 d x.

m sin x + n cos x (a sin x + b cos x)2 d x

Cách giải

1. Ta tìm hai số A, B thỏa

Tử số = A(Mẫu số)

(cid:48) + B (Mẫu số)

b (cid:90)

2. Khi đó : I = A

a cos x − b sin x (a sin x + b cos x)3 d x + B 1 (a sin x + b cos x)3 d x

3. Tính I1 : đổi biến t = a sin x + b cos x.

b (cid:90)

4. Tính I2 =

= AI1 + B I2.

a Ta biến đổi mẫu số

1 (a sin x + b cos x)3 d x

a sin x + b cos x = (cid:112) a2 + b2. cos(x − α)

với sin α =

, cos α

và (cid:82) d x cos2 x

π 2(cid:90)

(cid:112) (cid:112) = tan x +C . a a2 + b2 b a2 + b2

Ví dụ 7.13. Tính I =

4 cos x − 7 sin x (2 sin x + cos x)3 d x

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giải

Tìm hai số A, B thỏa

4 cos x − 7 sin x = A(2 cos a − sin x) + B (2 sin x + cosx)

ta được hệ phương trình

Lần lượt cho x = 0,

π 2(cid:90)

Khi đó: I = 3

2 (cid:40) (cid:40) = 4 ⇔ 2A + B −A + 2B = −7 A = 3 B = −2

0 = I1 + I2.

π 2(cid:90)

2 cos x − sin x (2 sin x + cos x)3 d x − 2 1 (2 sin x + cos x)3 d x

• I1 = 2 cos x − sin x (2 sin x + cos x)3 d x

Đặt t = 2 sin x + cos x ta tính được I1 = −

π 2(cid:90)

= (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 2t 2 3 8

0 Ta biến đổi:

• I2 = 1 (2 sin x + cos x)3 d x

(cid:112) (cid:182) 1 (cid:112) sin x + − cos x 2 sin x + cos x = 5 (cid:181) 2 (cid:112) 5 5 (cid:112) (cid:112) a2 + b2 = 5 làm nhân tử chung)

(đặt Đặt sin α =

, cos α = (cid:112)

Ta có: 2 sin x + cos x =

π 2(cid:90)

2 (cid:112) 1 (cid:112) 5 5 (cid:112) 5(sin x sin α + cos α cos x) = 5 cos(x − α)

Khi đó: I2 =

π 2 0

= d x = tan(x − α)| (cot α + tan α) = 1 2 1 5 1 5

Vậy : I = 3I1 − 2I2 =

(cid:28) Bài toán tương tự

π (cid:90)

Đáp số: − 7 9 .

. 1 5 cos2(x − α) 1 8

π 2

18 cos x − sin x (3 sin x − 2 cos x)3 d x.

7.5 Dùng hàm phụ

Đôi khi thay vì tính trực tiếp tích phân của hàm số f (x), ta có thể kết hợp với một hàm số khác g (x) bàng cách tính tích phân của hàm a f (x) + bg (x) và c f a(x) + d g (x). Dựa vào sự liên kết như vậy ta tính được tích phân dễ dàng

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Chương I. TÍCH PHÂN

hơn. Dạng này thường được áp dụng đối với hàm số lượng giác.

π 2(cid:90)

cos2 x. cos 2x d x

Ví dụ 7.14. Tính I =

Giải

π 4(cid:90)

Xét thêm J =

π 4(cid:90)

0 π 4(cid:90)

sin2 x. sin 2x d x

Ta có: I + J =

0 =

(cos2 x + sin2 x) cos 2x d x = cos 2x d x

π 4 0

π 4(cid:90)

= sin 2x| 1 2 1 2

(cos2 x − si n2x) cos 2x d x = cos2 2x d x I − J =

0 π 4(cid:90)

π 4

Ta có hệ phương trình:

(cid:181) π = = d x = sin 4x x + (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 + cos 4x 2 1 4 1 2 8

(cid:40) (cid:40) ⇔

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

I + J = 1 2 I − J = π 8 I = 1 4 J = 1 4 + π 16 − π 16

(cid:28) Bài tập tổng hợp

π 2(cid:90)

d x cos4 x sin4 x + cos4 x

Đáp số: 5 2

π 4

π 4(cid:90)

− ln 2 − π d x. cos 2x.(cot +2) sin2 x

Đáp số: 8 15

d x. sin2 x cos6 x

π 2(cid:90)

Đáp số: ln(

π 6

(cid:112) cos3 x (cid:112) 2 + 1) d x. sin x

Chương I. TÍCH PHÂN

7. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

π 4(cid:90)

Đáp số: ln

(cid:112) 3+ 2(cid:112) 2+1

3(cid:112)

π 2(cid:90)

(cid:112) 3

(cid:180) (cid:179) (cid:112) d x. cos x − sin x (cid:112) 2 + sin 2x

Đáp số:

9 24

π 3

π (cid:90)

cot x. d x. sin3 − sin x sin3 x

Đáp số: 4π 35

(x − cos4 x. sin3 x) d x.

π 2(cid:90)

Đáp số: 0

π 2(cid:90)

(cid:112) (cid:179)(cid:112) (cid:180) cos x − sin x d x.

Đáp số: sin 1

π 2(cid:90)

cos x. cos(sin x) d x.

d x. sin x + 2 cos x − 3 sin x − 2 cos x + 3

π 2(cid:90)

10.

Đáp số: 1 +

(cid:112) 2 2 ln(

2 Hd:sinxcosx=1

(cid:112) d x. 2 − 1). sin x cos x sin x + cos x

π 2(cid:90)

11.

(cid:163)(sinx+cosx)2−1(cid:164)

0 Hướng dẫn:

d x. sin2 sin2 x + 2 cos2 x

sin2x+2cos2x sin2x

1−cos2x+2(1+cos2x) 1−cos2x

π 4(cid:90)

12.

π 4 Hướng dẫn:

Đặtt=

1+t4 tanxđưavềdạng(cid:82)dx

1 (cid:112) d x. tan x

π 4(cid:90)

13.

(cid:112)

Đáp số: 1

4 ln 3 + 1 3 .

π 3

π 4(cid:90)

d x. 1 sin3 x

14.

Đáp số: ln

3 2

(cid:180) d x. (cid:179) (cid:112) (cid:112) 2+ (cid:112) 1+ cos x − sin x (cid:112) 2 + sin 2x

2+sin2x=1+(sinx+cosx)2.Đặtt=sinx+cosx.

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

π 4(cid:90)

15.

Đáp số: 1 4 .

vàápdụngkhaitriểntíchthànhtổng.

4(3sin2x−sin6x)·1+cos6x

sin3 2x cos2 3x d x

8 Tích phân hàm vô tỉ

Một số dạng tích phân vô tỉ đã được giải quyết ở các phần trước:

1. Biểu thức chứa căn (xem mục 4.1 trang 8 ).

2. Biểu thức chứa căn bậc khác nhau (xem mục 4.2 trang 11).

3. Đổi biến sang lượng giác (xem mục 5 trang 14).

8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai

(cid:51) Dạng 1

Dạng I =

(cid:90) (cid:112) d x. Ta phân tích biểu thức trong căn thành tổng hoặc hiệu các 1 ax2 + bx + c

bình phương. Sau đó đưa về các dạng tích phân đã biết, ta có thể áp dụng đổi biến sang lượng giác (xem mục 5 trang 14) hoặc dựa vào chú ý sau: Chú ý:

1. Ta chứng minh được công thức :

(cid:90) (cid:112) d x = ln |x + (cid:112) x2 ± a2| +C . 1 x2 ± a2

2. Riêng dạng

(cid:90) (cid:112) d x ta còn có thể đổi biến

1 (x + a)(x + b) (cid:112) (cid:112)

Tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì

x + b nếu x + a > 0 và x + b > 0. (cid:112) (cid:112) • t = • t = x + a + −x − a + −x − b nếu x + a < 0 và x + b < 0.

4 (cid:90)

f (x) = a(x − x1)(x − x2).

(cid:112) d x

Ví dụ 8.1. Tính I =

1 x2 − 2x

Chương I. TÍCH PHÂN

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Giải

4 (cid:90)

Ta có: I =

3 x +

Đặt t =

(cid:112) d x 1 x(x − 2) (cid:112) (cid:182) (cid:112) + (cid:112) d x (cid:181) 1 (cid:112) x 1 x − 2 (cid:112)

Đổi cận: x = 3 ⇒ t =

(cid:112)

2− (cid:90)

3+1 (cid:112) 2

2−

Khi đó: I = (cid:112)

3+1

−1 (cid:90)

= (cid:112) d x ⇒ ⇒ d t = d t t x − 2 ⇒ d t = (cid:195) (cid:112) (cid:33) x − 2 + x (cid:112) x(x − 2) (cid:112) 3 + 1 ; x = 4 ⇒ t = 2 − d x x(x − 2) (cid:112) 2 (cid:33) (cid:195) (cid:112) 3 + 1 (cid:112) d t = ln |t || . = ln 1 t 2 − 2

(cid:112) d x

Ví dụ 8.2. Tính I =

−4

1 x2 − 2x

Giải

−1 (cid:90)

Ta có: I =

(cid:112) d x

−4 −x +

Đặt t =

Đổi cận: x = −4 ⇒ t =

(cid:112) 6+2 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:112) d t = ln |t ||1+ 3(cid:112) 6+2

(cid:112)

1 (cid:90)

1 x(x − 2) (cid:112) (cid:182) (cid:112) + (cid:181) 1 (cid:112) (cid:112) d x −x 1 −x + 2 (cid:112) (cid:195) (cid:112) −x + 2 ⇒ d t = (cid:33) −x = −x + 2 + (cid:112) (cid:112) d x ⇒ ⇒ d t = d t t x(x − 2) (cid:112) d x x(x − 2) (cid:112) 3 (cid:112) 6 + 2 ; x = −1 ⇒ t = 1 + (cid:33) (cid:195) 1 + (cid:112) = ln . 1 t 3 6 + 2

(cid:112) d x

Ví dụ 8.3. Tính I =

1 x2 + 1

Giải

Ta có:

(cid:90) (cid:112) d x = ln |x + (cid:112) x2 ± a2| +C . • Chứng minh 1 x2 ± a2 (cid:112) (cid:180)(cid:48) (cid:179) 1 + (cid:112) x2 + a2 x + (cid:180)(cid:48) = = = (cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:179) ln x2 + a2 (cid:175) (cid:175)x + (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) x2 + a2 x + x x2 + a2 x2 + a2 1 x2 + a2 x + • Áp dụng kết quả trên ta được:

(cid:179) (cid:175) (cid:175) x2 + 1 I = ln = ln 2. (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)x + (cid:112) (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175)

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:28) Bài toán tương tự

5 (cid:90)

(b)

5 (cid:90) (a)

2 (cid:112)

7+3 4(cid:90)

7 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x x2 − 6x + 13 d x 1 −x2 + 4x + 5

(c)

(d)

1 (cid:90)

3 4 2 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x d x 1 −2x2 + 3x + 2 1 3x2 − 18x + 15

(f)

(e)

(cid:112) (cid:112) d x d x 1 −2x2 + 6x − 4 1 x2 + 2x

3 2 1 (cid:90) (g)

1 (cid:90) (h)

(cid:51) Dạng 2

(cid:112) (cid:112) d x d x x 1 + e x + e2x x −2x4 − 3x2 + 1

Tính tích phân có dạng I =

(cid:90) (cid:112) d x ta phân tích Ax + B ax2 + bx + c

3 (cid:90)

Ax + B = C (cid:161)ax2 + bx + c(cid:162)(cid:48) + D

(cid:112) d x

Ví dụ 8.4. Tính I =

x + 4 x2 + 2x − 3

Giải

Ta có: x + 4 = C (cid:161)x2 + 2x − 3(cid:162)(cid:48) + D = C (2x + 2) + D = 2C x + 2C + D Đồng nhất hệ số

3 (cid:90)

(cid:40) (cid:40) ⇔ C = 1 2 D = 3 = 1 2C 2C + D = 4

Khi đó: I =

(cid:112) (cid:112) d x + 3 d x = I1 + I2 1 2 2x + 2 x2 + 2x − 3 1 x2 + 2x − 3

3 (cid:90)

2 2x + 2 x2 + 2x − 3

2 x + 1 x2 + 2x − 3

2 3 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:112) d x = d x = (cid:112) = 2 x2 + 2x − 3 3 − 5. • I1 = (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 2

2 3 (cid:90)

(cid:112) d x (đây là tích phân Dạng 1) •I2 = 3 1 x2 + 2x − 3

(cid:179) (cid:175) (cid:175) = 3 d x = 3 ln x2 + 2x − 3 (cid:175)x + 1 + (cid:112) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:112) 1 (x + 1)2 − 4

Chương I. TÍCH PHÂN

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Vậy I = 2

(cid:28) Bài toán tương tự

(cid:112)

0 (cid:90)

−2+ (cid:90)

(cid:112) (cid:33) (cid:195) 3 (cid:112) = 3 ln 5 (cid:112) (cid:195) (cid:33) (cid:112) 4 + 2 3 + 2 (cid:112) 3 (cid:112) 3 − 5 + 3 ln 5 4 + 2 3 + 2

(a)

(b)

−1

−2 (cid:112) 2+ 2(cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x d x x − 1 −x2 − 2x + 3 5x + 3 x2 + 4x + 10

2 (cid:90) (c)

(d)

(cid:112)

5−2

1 e (cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x d x x − 1 −x2 + 2x + 3 2x − 1 −x2 + 3x − 1

(e)

1 e2

(cid:51) Dạng 3

ln x d x (cid:112) x 1 − 4 ln x − ln2 x

Tính tích phân dạng I =

(cid:90) (cid:112) d x ta đổi biến 1 ax2 + bx + c (Ax + B )

sẽ đưa được về Dạng 1.

1 (cid:90)

Ax + B = 1 t

(cid:112) d x

Ví dụ 8.5. Tính I =

1 −x2 + 2x + 3 (x + 1)

Giải

Đặt x + 1 =

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t =

⇒ d x = − d t t 2 1 t

1 2(cid:90)

1 2

Khi đó: I = −

1 · (cid:115) 1 t 2 d x (cid:182)2 (cid:182) · − − 1 + 2 − 1 + 3 (cid:181) 1 t (cid:181) 1 t

1 2(cid:90)

1 t 1 2(cid:90) = − · (cid:112) d x 1 (cid:112) 1 t 2 d x = 1 4t − 1 · ·

1 1 2

4t − 1 (cid:112) = = 3 − . 1 1 |t | t (cid:112) 4t − 1(cid:162)(cid:175) (cid:161) (cid:175) 1 2 1 2 1 2

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

0 (cid:90)

(cid:112) d x

Ví dụ 8.6. Tính I =

−1

1 2x2 + 4x + 4 (x + 2)

Giải

Đặt x + 2 =

Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 0 ⇒ t =

⇒ d x = 1 t 2 1 t

1 2(cid:90)

1 2

Khi đó: I = −

1 (cid:90)

1 · (cid:115) 1 t 2 d x (cid:182)2 (cid:182) · 2 − 2 + 4 − 2 + 4 (cid:181) 1 t (cid:181) 1 t 1 t

1 2

(cid:112) = (cid:112) d x = (2t − 1)2 + 1 d x

1 2 1 2

1 2

(cid:28) Bài toán tương tự

0 (cid:90)

1 4t 2 − 4t + 2 (cid:112) (cid:112) (cid:179) = = ln ln 4t 2 − 4t + 2 2 (cid:175) (cid:175)1 + (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)2t − 1 + (cid:175)

(b)

2 (cid:90) (a)

− 1 2 10 (cid:90)

1 1 (cid:112) (cid:112) d x d x (x + 1) x2 + 1 x −x2 + 2x + 3

1 (cid:90) (c)

(d)

1 2(cid:90)

1 2 −2 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) d x d x 1 x2 − 4x + 1 (3x − 6) 1 x2 + 1 x

(f)

(e)

−1

− 9 4

(cid:51) Dạng 4

(cid:112) (cid:112) d x d x 1 x2 + 3x + 2 (x + 1) 1 x2 − x x

Tích phân có dạng I =

(cid:90) Ax + B (cid:112) d x ta biến đổi (αx + β) ax2 + bx + c

sẽ đưa được về tích phân có Dạng 1 và Dạng 3.

0 (cid:90)

Ax + B = C (αx + β) + D

2x − 1 (cid:112) d x

Ví dụ 8.7. Tính I =

−2

(x + 1) x2 + 3x + 3

Giải

Chương I. TÍCH PHÂN

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Ta có: 2x − 1 = 2(x − 1) − 3 0 (cid:90)

Khi đó: I =

0 (cid:90)

2(x − 1) − 3 (cid:112) d x x2 + 3x + 3

−2

−2 = I1 + I2.

(x + 1) −2 0 (cid:90) (cid:112) (cid:112) = 2 d x − 3 d x 1 x2 + 3x + 3 1 x2 + 3x + 3 (x − 1)

Các tích phân I1, I2 đã biết cách giải. (cid:195)

Ta tính được: I = −2 ln

(cid:51) Dạng 5

Dạng tổng quát của Dạng 2, tích phân dạng

(cid:112) (cid:112) (cid:195) (cid:33) (cid:33) + + + + 3 ln . 3 4 3 2 1 4 3 4 3 2

(cid:90) (cid:112) I = d x trong đó Pn(x) là đa thức bậc n Pn(x) ax2 + bx + c

ta làm như sau • Phân tích: I = (cid:112)

(cid:90) (cid:90) (cid:112) (cid:112) ax2 + bx + c+α d x = Qn−1(x) d x với Qn−1(x) là đa thức 1 ax2 + bx + c

1. Đạo hàm 2 vế bước phân tích trên.

2. Cân bằng hệ số.

−2 (cid:90)

Pn(x) ax2 + bx + c bậc n − 1 và α là số thức. • Các hệ số của đa thức Qn−1 và α được xác định bằng cách:

(cid:112) d x

Ví dụ 8.8. Tính I =

−1

x2 + 4x x2 + 2x + 2

Giải

−2 (cid:90)

−1

(cid:112) (cid:112) (cid:112) d x = (ax + b) x2 + 2x + 2 + α d x I = • Phân tích: −2 (cid:90) x2 + 4x x2 + 2x + 2 1 x2 + 2x + 2

• Xác định các hệ số: Lấy đạo hàm hai vế và thu gọn ta được:

x2 + 4x ≡ 2ax2 + (2s + s + b)x + 2a + b − α

⇔

Đồng nhất hệ số hai vế ta được:   

   = 1 2a 3a + b = 4 2a + b + α = 0 a = 1 2 b = 5 2 α = − 7 2

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

−2

−2 (cid:90)

Khi đó: I =

−1

−2 (cid:90)

−2

−1

−1 7 2 7 2

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

(cid:112) − (cid:112) (x + 5) x2 + 2x + 3 d x (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 2 7 2 1 x2 + 2x + 2 (cid:112) 2 3 − = 2 − d x (cid:112) 7 2 2 (cid:112) 1 (x + 1)2 + 1 (cid:112) 3 2 − = 2 − x2 + 2x + 2| (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) ln |x + 1 + (cid:112) 2 (cid:112) (cid:195) 2 2 3 − ln = 2 − (cid:33) . 2 2 − 2

Hd: a = 1

2 , b = − 3

2 , α = 1.

1 (cid:90)

(cid:112) d x. x2 + 1 x2 + 2x + 3

Hd: a = 2

3 , b = − 5

6 , c = − 17

12 , α = 81 24 .

(cid:112) d x. 2x3 + 1 x2 + x + 2

8.2 Phép thế Eurle

Trong trường hợp tổng quát khi tính tích phân dạng

ta dùng phép thế Eurle.

(cid:90) (cid:112) I = f (x, ax2 + bx + c) d x, a (cid:54)= 0

1. Nếu a > 0, đặt

2. Nếu c > 0, đặt

3. Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì ta đặt

(cid:112) (cid:112) (cid:112) ax2 + bx + c = t − (cid:112) ax hoặc t + (cid:112) ax2 + bx + c = xt + ax (cid:112) c c hoặc xt −

(cid:112) ax2 + bx + c = t (x − x1)

Chú ý: Những trường hợp đã xét trên (a > 0, c > 0) có thể đưa trường hợp này về trường

hợp kia bằng cách đặt x =

0 (cid:90)

1 z

(cid:112) d x

Ví dụ 8.9. Tính I =

−1

1 x2 + x + 1 x +

Giải

Chương I. TÍCH PHÂN

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Ở đây a = 1 > 0 nên ta dùng phép thế thứ nhất.

Đặt

1 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:112) ⇒ d x = x2 + x + 1 = t − x ⇒ x = t 2 − 1 1 + 2t 2t 2 + 2t + 2 (1 + 2t )2 d t

Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 2 ; x = 0 ⇒ t = 1 2t 2 + 2t + 2 t (1 + 2t )2 d t (dạng tích phân hàm hữu tỉ) B 1 + 2t

1 (cid:90)

2 2t 2 + 2t + 2 A Phân tích: (1 + 2t )2 t (1 + 2t )2 Ta tìm được A = −3, B = −3,C = 2. 1 1 (cid:90) (cid:90)

+ = + C t

Khi đó: I = −3

1 d t + 2 d t 1 1 + 2t 1 t

2 1 2

(cid:112)

6−1 5(cid:90)

(cid:183) = + + = ln ln (cid:184)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (1 + 2t )2 d t − 3 2 t 4 (1 + 2t )3 1 2 3 2(1 + 2t ) 1 2 125 432

1 (cid:112) d x

Ví dụ 8.10. Tính I =

(cid:112)

−

3−1 2

1 + 1 − 2x − x2

Giải

Do c = 1 > 0 nên theo phép thế thứ 2 ta đặt (cid:112)

1 − 2x − x2 = xt ⇒ x = 2 · t − 1 t 2 + 1 −t 2 + 2t + 1 (cid:161)t 2 + 1(cid:162)2 d t (cid:112) ⇒ d x = 2 · (cid:112) − ⇒ t = 2 ⇒ t = 0 ; x =

1 (cid:90)

Đổi cận: x = 2 (cid:90)

Khi đó: I =

−2

0 − 2 arctan 2.

(cid:182) − − d t = d t 6 − 1 5 (cid:181) 1 t − 1 1 t 2 t 2 + 1 3 − 1 −1 −t 2 + 2t + 1 t (t − 1)(t 2 + 1) π = −2 ln 2 + 4

1 (cid:90)

(cid:112)

(cid:112) d x

Ví dụ 8.11. Tính I =

x − x + x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2

Giải

Ta có: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) nên ta dùng phép thế thứ 3.

Đặt

Đổi cận: x = 0 ⇒ t =

(cid:112) (cid:90)

(cid:112) x2 + 3x + 2 = t (x + 1) ⇒ x = ⇒ d x = −2t (1 + t 2)3 d t (cid:112) t 2 − 2 1 − t 2 (cid:112) 6 2 ; x = 1 ⇒ t =

Khi đó: I = (cid:112)

2 t 2 + 2t (1 − t )(t − 2)(1 + t )3 d t

6 (cid:183)

(cid:112) (cid:90)

(cid:112)

(cid:184) + − + − d t 1 3(t + 1)3 5 18(t + 1)2 17 108(t + 1) 3 4(t − 1) 16 27(t − 2)

8. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:112) (cid:112) (cid:33) (cid:33) 2 3 − 33 = + + (cid:195) (cid:112) (cid:112) (cid:195) (cid:112) (cid:112) ln ln 1466 − 600 225 17 108 3 4 2 + 1 6 + 1 6 − 1 2 − 1 (cid:112) (cid:33) + (cid:195) − (cid:112) ln 16 27 2 + 2 6 − 2

8.3 Dạng đặc biệt

Tích phân có dạng

trong đó r, p, q là các số hữu tỉ.

1. Nếu q là số nguyên đặt x = t s với s là bội số chung nhỏ nhất của mẩu số các phân

số r và p.

2. Nếu

là số nguyên đặt a + bx p = t s với s là mẫu số của phân số p.

(cid:90) I = xr (cid:161)a + bx p (cid:162)q d x

3. Nếu

r + 1 p

−p = t s với s là mẫu số của phân số q.

256 (cid:90)

+ q là số nguyên đặt ax r + 1 p

(cid:112) d x

Ví dụ 8.12. Tính I =

1 (cid:112) x − 1) 2( 4

Giải

4 (cid:90)

Vì q = 3 nguyên nên ta đặt x = t 4, t > 0 ⇒ d x = 4t 3d t Đổi cận: x = 16 ⇒ t = 2 ; x = 256 ⇒ t = 4 4t 3

Khi đó: I =

(cid:112) (cid:90)

t + = (cid:184)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) t 2(t − 1)3 d t = 4 (t − 1)3 d t = −2 (cid:183) 2 t − 1 1 (t − 1)2 40 9

d x

Ví dụ 8.13. Tính I =

x5 (cid:112) (2 − x2) 2 − x2

Giải

− 3

Ta có:

2 , r = 5, p = 2, q = − 3 2

= x5(a − x2) x5 (cid:112) (2 − x2) 2 − x2

= 3 nguyên nên ta đặt 2 − x2 = t 2, t > 0 ⇒ xd x = −t d t r + 1 p (cid:112)

Khi đó: I = −

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 0 (cid:90) t 4 − 4t 2 + 4 t 2

= + 4t + d t = (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 2 ⇒ t = 0 (cid:181) t 3 − 3 4 t 2

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

(cid:28) Bài toán tương tự

3(cid:112)

2 (cid:90)

16 (cid:90)

(a)

(b)

1 1 (cid:90)

1 32 (cid:90)

x d x d x (cid:112) 1 + 4 (cid:112) x 1 (2 + x3)5 x2 3(cid:112)

(c)

(d)

0 8 (cid:90)

1 1 (cid:90)

d x d x (cid:112) 1 1 + x5 (cid:112) x 3 x (cid:112) 1 + 3 x2

(f)

(g)

(cid:112) (cid:112) d x d x x6 1 + x2 1 (cid:112) x3 · 3(cid:112) 1 + 4 x3

9 Tính tính phân bằng tính chất

9.1 Tích phân có cận đối nhau

a (cid:90)

Khi gặp tích phân có dạng I =

−a

a (cid:90)

0 (cid:90)

f (x) d x ta có thể dùng phương pháp sau:

1. Ta có: I =

−a

0 (cid:90)

f (x) d x + f (x) d x = I1 + I2

2. Xét I =

−a

0 (cid:90)

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −a ⇒ t = a ; x = 0 ⇒ t = 0 a (cid:90)

f (x) d x

Sau đó ta tùy từng hàm f (t ) mà có hướng giải cụ thể.

1 (cid:90)

f (−t ) d t = f (−t ) d t I1 = −

x2014 sin x d x

Ví dụ 9.1. Tính I =

−1

Giải

0 (cid:90)

1 (cid:90)

Ta có: I =

−1

−1 = I1 + I2 0 (cid:90)

x2014 sin x d x = x2014 sin x d x = x2014 sin x d x

Xét I1 =

−1

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 0 ⇒ t = 0

x2014 sin x d x

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Chương I. TÍCH PHÂN

0 (cid:90)

Khi đó: I1 = −

1 1 (cid:90)

1 (cid:90)

(−t )2014 sin(−t ) d t = t 2014 sin t d t

= − t 2014 sin t d t = − x2014 sin x d x = −I2

Từ đó ta có: I = I1 − I1 = 0 Nhận xét: với bài toán trên đa số học sinh suy nghĩ theo hai hướng: Hướng 1: sử dụng phương pháp Tích phân từng phần vì có dạng (cid:82) f (x) sin xd x, nhưng trong trường hợp này cần thực hiện 2014 lần tích phân từng phần, điều này là không thực tế.

Hướng 2: tìm công thức tổng quát của bài toán tích phân có dạng

1 (cid:82) −1

rút ra kết quả của

xn sin xd x, từ đó

1 (cid:82) −1

nhưng chưa hẳn là phương pháp ngắn gọn.

Qua đó cho thấy tầm quan trọng của việc nhận xét tính chất cận tích phân và tính chất hàm số dưới dấu tích phân để định hướng phương pháp giải. Từ Ví dụ trên ta rút ra được tính chất sau

xn sin xd x. Đây là hướng suy nghĩ hay mang tính khái quát cao

Tính chất 9.2. Hàm số f (x) liên tục trên [−a, a]

a (cid:90)

1. Nếu f (x) là hàm số lẻ trên [−a, a] thì I =

−a

a (cid:90)

f (x) d x = 0

2. Nếu f (x) là hàm số chẵn trên [−a, a] thì I = 2

f (x) d x = 0

Chứng minh

a (cid:90)

0 (cid:90)

Ta có: I =

−a

0 (cid:90)

f (x) d x + f (x) d x = I1 + I2

Xét I =

−a

0 (cid:90)

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −a ⇒ t = a ; x = 0 ⇒ t = 0 a (cid:90)

f (x) d x

1. Nếu f (x) là hàm lẻ thì f (−x) = − f (x) ⇔ f (−t ) = − f (t )

a (cid:90)

f (−t ) d t = f (−t ) d t I1 = −

Do đó: I1 = −

Từ đó ta được: I = I1 + I2 = −I2 + I2 = 0.

f (t ) d t = − f (x) d x = −I2

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

2. Nếu f (x) là hàm chẵn thì f (−x) = f (x) ⇔ f (−t ) = f (t ) a (cid:90)

a (cid:90)

Do đó: I1 =

a (cid:90)

f (t ) d t = f (x) d x = I2

Từ đó ta được: I = I1 + I2 = I2 + I2 = 2

f (x) d x

Nhận xét: nếu áp dụng kết quả Tính chất 9.2 ta có ngay kết quả I = 0 , nhưng trong khuôn khổ chương trình toán phổ thông không có tính chất này, khi trình bày trong bài thi ta phải chứng minh lại như trong Ví dụ 9.1.

1 (cid:90)

d x

Ví dụ 9.3. Tính

−1

x4 + sin x x2 + 1

Giải

1 (cid:90)

Ta có: I =

−1

1 (cid:90)

d x + d x = I1 + I2 x4 x2 + 1 sin x x2 + 1

d x • Tính I1 =

Nhận xét: I1 là dạng tích phân hàm hữu tỉ ta giải được; hàm số trong I2 là hàm số lẻ , theo Tính chất 9.2 ta có I2 = 0. x4 x2 + 1

1 (cid:90)

−1 1 (cid:90)

Ta có: I1 =

−1

−1 = −

(cid:182) (cid:181) d x x2 − 1 + d x = (cid:161)x2 − 1(cid:162) d x + 1 x2 + 1 1 x2 + 1

1 (cid:90)

+ I12 4 3

Với I12 =

d x ta sử dụng phương pháp Đổi biến sang lượng giác Dạng 3 (mục 5.3 1 x2 + 1

−1 trang 19) Đặt x = tan t , t ∈

π π (cid:180) (cid:179) − , 2 2

Đổi cận: x = −1 ⇒ t = −

; x = 1 ⇒ t =

⇒ d x = d t cos2 t π π

π 4(cid:90)

4 4

Khi đó: I =

− π 4

− π 4 π

· cos2 t · d t d t = d t = 1 tan2 t + 1 1 cos2 t 1 cos2 t

Vậy: I1 =

1 (cid:90)

0 (cid:90)

1 (cid:90)

= 2 π − 4 4 3

−1

−1 0 (cid:90)

d x = d x + • Tính I2 = d x = I21 + I22 sin x x2 + 1 sin x x2 + 1 sin x x2 + 1

Xét I21 =

−1

d x sin x x2 + 1

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Chương I. TÍCH PHÂN

0 (cid:90)

Khi đó: I21 =

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 0 ⇒ t = 0 1 (cid:90) sin(−t ) (−t )2 + 1

1 (cid:90)

d t · (−1) = − d t sin t t 2 + 1

= − d x = −I22

π − 2

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

sin x x2 + 1 Do đó: I2 = I21 − I22 = 0 4 Vậy: I = I1 + I2 = 3 Nhận xét: hàm số ban đầu dưới dấu tích phân không chẵn không lẻ, khi ta tách I = I1+I2 thì hàm số lẻ xuất hiện và ta biết được kết quả của I2 = 0 nhưng vẫn phải chứng minh kết quả. Bài này có thể giải theo phương pháp Tích phân từng phân nhưng rắc rối hơn nhiều.

Đáp số: 0

−1

(cid:161)x2 + 2(cid:162) sin x d x.

1 2(cid:90)

Đáp số: 0

− 1 2

1 (cid:90)

(cid:182) cos x ln d x. (cid:181) 1 − x 1 + x

Đáp số: 0

−1

π 2(cid:90)

(cid:180) ln3 (cid:179) x + (cid:112) x2 + 1 d x.

Đáp số: 0

− π 2

(cid:180) (cid:179)(cid:112) cos x · ln x + x2 + 1 d x.

1 2(cid:90)

Đáp số: 0

− 1 2

(cid:182) cos x · ln d x. (cid:181) 1 − x 1 + x

Nhận xét: qua các ví dụ trên ta đã thấy hiệu quả của Tính chất 9.2 đối với hàm số lẻ, còn đối với hàm số chẵn ít được sử dụng hơn. Trong một số bài toán tích phân có cận đối nhau ta cũng áp dụng phương pháp như phần chứng minh Tính chất 9.2.

Ví dụ 9.4. Cho hàm số f (x) liên tục trên (cid:82) và (cid:112)

3π 2(cid:90)

f (x) + f (−x) = 2 − 2 cos x, ∀x ∈ (cid:82)

Tính I =

− 3π 2

f (x) d x

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Giải

3π 2(cid:90)

0 (cid:90)

Ta có: I =

− 3π 2

0 (cid:90)

f (x) d x + f (x) d x = I1 + I2

Xét I1 =

− 3π 2

; x = 0 ⇒ t = 0

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t ⇒ t = Đổi cận: x = −

f (x) d x

π 3 2(cid:90)

π 3 0(cid:90)

0 (cid:90)

3π 2 3π 2

Khi đó: I1 =

3π 2

3π 2(cid:90)

f (−t ) d t = f (−x) d x f (−t ) · (−1) d t =

Ta được: I =

f (−x) d x + f (x) d x = (cid:163) f (−x) + f (x)(cid:164) d x

0 3π 2(cid:90)

3π 2(cid:90)

(cid:112) = 2 − 2 cos x d x = 2| sin x| d x

3π 2(cid:90)



Tính chất sau cho ta một kết quả đẹp, thu gọn đáng kể hàm dưới dấu tích phân.

sin x d x − = 2 sin x d x = 6.  π (cid:90)    

Tính chất 9.5. Nếu f (x) là hàm chẵn và liên tục trên (cid:82) thì

α (cid:90)

−α

d x = I = f (x) d x với ∀α ∈ (cid:82)+ và a > 0 f (x) ax + 1

Chứng minh

α (cid:90)

0 (cid:90)

α (cid:90)

Ta có: I =

−α

−α 0 (cid:90)

d x = d x + d x = I1 + I2 f (x) ax + 1 f (x) ax + 1 f (x) ax + 1

Xét: I1 =

−α

α (cid:90)

0 (cid:90)

α (cid:90)

d x f (x) ax + 1

Khi đó: I1 = −

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −α ⇒ t = α ; x = 0 ⇒ t = 0 f (−t ) at f (t ) a−t + 1 at + 1

α α (cid:90)

0 α (cid:90)

d t = d t = d x ax f (x) ax + 1

Ta được: I =

0 α (cid:90)

d x + d x ax f (x) ax + 1

f (x) ax + 1 α (cid:90) = d x = f (x) d x (ax + 1) f (x) ax + 1

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Chương I. TÍCH PHÂN

1 (cid:90)

d x

Ví dụ 9.6. Tính I =

−1

cos x e x + 1

Giải

0 (cid:90)

1 (cid:90)

Ta có: I =

−1

−1 0 (cid:90)

d x = d x + d x = I1 + I2 cos x e x + 1 cos x e x + 1 cos x e x + 1

Xét I1 =

−1

1 (cid:90)

0 (cid:90)

1 (cid:90)

d x cos x e x + 1

Khi đó: I1 = −

Đặt x = −t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 0 ⇒ t = 0 e t cos t e t + 1

0 1 (cid:90)

1 (cid:90)

1 1 (cid:90)

d t = d t = d x cos(−t ) e−t + 1 e x cos t e x + 1

Ta được: I =

0 (e x + 1) cos x e x + 1

0 1 (cid:90)

d x + d x = d x e x cos t e x + 1 cos x e x + 1

1 (cid:82)

= cos x d x = sin 1

Nhận xét: dựa vào Tính chất 9.5 ta dự đoán kết quả I =

bài tích phân tưởng chừng rắc rối. Nhưng ta không được áp dụng trực tiếp kết quả này mà chỉ dùng để định hướng phương pháp giải.

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

Đáp số: 1 5

cos xd x, một kết quả đẹp trong

−1

π 2(cid:90)

x4 1 + 2x d x.

Đáp số: 0

− π 2

1 (cid:90)

Đáp số: π 4

d x. sin x · sin 2x · cos 5x e x + 1

−1

π 2(cid:90)

(cid:112) 1 − x2 1 + 2x d x.

Đáp số: π − 2

− π 2

π (cid:90)

· | sin x| d x. x2 1 + 2x

Đáp số: π 2

−π

d x. sin2 32 + 1

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

1 (cid:90)

Đáp số: π 4

−1

1 (e x + 1) (cid:161)x2 + 1(cid:162) d x.

9.2 Tích phân có cận là radian

b (cid:90)

Trường hợp tổng quát dạng I =

π 2(cid:90)

f (x) d x ta đổi biến x = a + b − t

d x

Ví dụ 9.7. Tính I =

sin6 x sin6 x + cos6 x

Giải

Đặt x =

; x =

π − t ⇒ d x = −d t π π ⇒ t = 0 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 2

0 (cid:90)

Khi đó: I =

π 2 π 2(cid:90)

(cid:180) − t · (−1) d t (cid:180) sin6 (cid:179) π 2 (cid:180) + cos6 − t − t sin6 (cid:179) π 2

π 2(cid:90)

(cid:179) π 2 π 2(cid:90) = d t = d x = I cos6 t cos6 t + sin6 t cos6 x cos6 x + sin6 x

Do đó: 2I = I + I =

π 2(cid:90)

d x + d x cos6 x cos6 x + sin6 x sin6 x sin6 x + cos6 x

0 ⇒ I =

π = d x = d x = 2 sin6 x + cos6 x sin6 x + cos6 x π

Nhận xét: Ví dụ trên còn có thể giải bằng phương pháp hàm phụ, Ví dụ trên minh họa cho tính chất:

Tính chất 9.8. Nếu f (x) là hàm số liên tục trên [0, 1] thì

π 2(cid:90)

I = f (sin x) d x = f (cos x) d x

Hướng dẫn chứng minh: đặt t =

π − t 2

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

Đáp số: π 4

d x. sinn x sinn x + cosn x

π 2(cid:90)

Đáp số: 0

(cid:182) ln d x. (cid:181) 1 + sin x 1 − sin x

π 2(cid:90)

Đáp số: π 2

Tính chất sau cho ta thu gọn hàm dưới dấu tích phân

(cid:181) (cid:182) − tan2(sin x) d x. 1 cos2(cos x)

Tính chất 9.9. Nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì

π (cid:90)

Hướng dẫn chứng minh: đặt t = π − t

π (cid:90)

π I = x f (x) d x = f (x) d x 2

x. sin x. cos2 x d x

Ví dụ 9.10. Tính I =

Giải

Đặt x = π − t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = π ; x = π ⇒ t = 0

0 (cid:90)

Khi đó: I =

π π (cid:90)

(π − t ). sin(π − t ). cos2(π − t ).(−t ) d t

π (cid:90)

= (π − t ). sin t . cos2 t d t

0 π (cid:90)

= π sin t . cos2 t d t − t . sin t cos2 t d t

0 π (cid:90)

π (cid:90)

= π sin x cos2 x d x − I

Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin xd x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = π ⇒ t = −1

π ⇒ 2I = π sin x cos2 x d x ⇒ I = sin x cos2 x d x 2

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

−1 (cid:90)

Khi đó: I = −

−1

π π π · = t 2 d t = (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 2 2 t 3 3 3

Nhận xét: Ví dụ trên có thể giải bằng phương pháp Tích phân từng phần nhưng bài giải dài dòng hơn. Ở đây ta có nhận xét

và theo Tính chất 9.9 ta thu gọn được bài toán.

(cid:28) Bài toán tương tự

π (cid:90)

sin x. cos2 x = sin x(1 − sin2 x) = f (sin x)

Đáp số: π ln 9 8

π (cid:90)

Đáp số: π

d x. x sin x 4 − cos2 x

6 arctan 2

Tương tự ta có Tính chất đối với hàm cosin

d x. x sin x 9 + 4 cos2 x

Tính chất 9.11. Nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì

2π−α (cid:90)

Hướng dẫn chứng minh: đặt x = 2π − t

2π (cid:90)

I = x f (cos x) d x = π f (cos x) d x

x cos3 x d x

Ví dụ 9.12. Tính I =

Giải

Đặt x = 2π − t ⇒ d x = −d t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2π ; x = 2π ⇒ t = 0

2π (cid:90)

0 (cid:90)

Khi đó: I =

2π

2π (cid:90)

(2π − t ) cos3(2π − t ).(−t ) d t = (2π − t ) cos3 t d t

0 2π (cid:90)

2π (cid:90)

= 2π cos3 t d t − t cos3 t d t

(do cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x) 2π

π = (cos 3t + 3 cos t ) d t − t cos3 x d x 2

π = sin 3t + 3 sin t − I (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)

(cid:181) 1 2 3 = 0 − I ⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Chương I. TÍCH PHÂN

Tính chất sau là dạng tổng quát của hai Tính chất ở trước

Tính chất 9.13. Nếu f (x) liên tục và f (a + b − x) = f (x) thì

b (cid:90)

Hướng dẫn chứng minh: đặt x = a + b − t Tương tự ta chứng minh được Tính chất sau:

I = x f (x) d x = f (x) d x a + b 2

Tính chất 9.14. Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì

b (cid:90)

Hướng dẫn chứng minh: đặt t = a + b − t

π 4(cid:90)

I = f (x) d x = f (a + b − x) d x

ln(1 + tan x) d x

Ví dụ 9.15. Tính I =

Giải

Đặt x =

; x =

π − x ⇒ d x = −d t π π ⇒ t = 0 4 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 4 4

0 (cid:90)

π 4(cid:90)

Khi đó: I = −

π 4

π 4(cid:90)

(cid:182) (cid:181) 1 + ln d t ln [1 + tan (1 + tan t )] d t = 1 − tan t 1 + tan t

π 4(cid:90)

= ln d t = [ln 2 − ln (1 + tan t )] d t 2 1 + tan t

π 4 0

− = ln 2 d t − ln(1 + tan t ) d t = ln 2| ln(1 + tan x) d x

= − I

0 π ln 2 4 π ln 2 4

⇔ I = ⇔ 2I = π ln 2 8

Tính chất 9.16. Nếu f (x) liên tục trên (cid:82) và tuần hoàn với chu kì (cid:84) thì

a+(cid:84) (cid:90)

(cid:84) (cid:90)

I = f (x) d x = f (x) d x

Chương I. TÍCH PHÂN

9. TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

a+(cid:84) (cid:90)

(cid:84) (cid:90)

Chứng minh tính chất (cid:84) a (cid:90) (cid:90)

Ta có: I =

a+(cid:84)

f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x + f (x) d x

(cid:84) (cid:90)

= I1 + I2 + I3

a+(cid:84) Đặt x = T + t ⇒ d x = d t Đổi cận: x = a + (cid:84) ⇒ t = a ; x = (cid:84) ⇒ t = 0

a (cid:90)

0 (cid:90)

f (x) d x • Xét I3 =

Khi đó: I3 =

Ta được: I = I1 + I2 + I3 = I1 + I2 − I1

f (t + (cid:84)) d t = − f (t ) d t = − f (x) d x = −I1

I = I2

2014π (cid:90)

(cid:112) 1 − cos 2x d x

Ví dụ 9.17. Tính I =

Giải

2014π (cid:90)

Ta có: I =

(cid:112) (cid:112) (cid:112) 1 − cos x d x = 2 sin2 x d x = 2 | sin x| d x

0 (cid:112)

4π (cid:90)

2014π (cid:90)



2012π

2π 0 Theo Tính chất 9.16 ta được: 2π 4π (cid:90) (cid:90)

2014π (cid:90)

= 2 | sin x| d x + | sin x| d x + · · · + | sin x| d x  2π (cid:90)  

2π

2012π

| sin x| d x = | sin x| d x = · · · = | sin x| d x

2π (cid:90)

Ta được: I = 1007

 (cid:112) (cid:112) | sin x| d x = 1007 sin x d x 2 2 sin x d x −   π (cid:90) 

(cid:112) = 4028 2

Nhận xét: việc xét dấu hàm sin x trên [0, 2014π] là khó khăn, Ví dụ trên cho ta thấy hiệu quả của Tính chất 9.16, . Do Tính chất này không có trong sách giáo khoa, và việc chứng minh Tính chất đối với hàm cụ thể là dài dòng nên trước khi làm bài các em học sinh cần chứng minh lại dạng tổng quát của nó như phần Chứng minh, sau đó áp dụng kết quả làm bài tập.

(cid:28) Bài tập tổng hợp

2 (cid:90)

Đáp số: − 3

2 ln 3 + 3 ln 2

π 2(cid:90)

d x. ln(1 + x) x2

Đáp số: π 2

− 1 cos x. ln(1 + cos x) d x.

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Chương I. TÍCH PHÂN

π (cid:90)

Đáp số: 2π 35

2 (cid:90)

x. cos4 x. sin3 x d x.

Đáp số: 0

−2

π 2(cid:90)

(cid:179) (cid:180) x + (cid:112) ln x2 + 1 d x.

Đáp số: 0

− π 2

3π 2(cid:90)

d x. sin x. sin 2x. sin 5x e x + 1

Đáp số: 0

π 2(cid:90)

sin x. sin 2x. sin 3x. cos 5x d x.

− π 2

1 (cid:90)

d x. x + cos x 4 − sin2 x

−1

π 4(cid:90)

d x. x2014 2007x + 1

− π 4

π 4(cid:90)

10.

d x sin6 x + cos6 x 6x + 1

π 2(cid:90)

log2008(1 + tan x) d x

Đáp số:

11.

1 |a|+|b|

(cid:112)

π 2(cid:90)

d x. (cid:112) sin x cos x a2 cos2 +b2 sin2

12.

6 3

Đáp số: 1(cid:112) 2

(cid:112) arcsin d x. cos x 2 + cos 2x

10 Phương pháp tính tích phân từng phần

Một số điều lưu ý khi tích tích phân từng phần

1. Hàm nào khó lấy nguyên hàm ta đặt là là u.

2. Trong trường hợp có hàm đa thức ta đặt u là hàm đa thức để giảm dần bậc của đa

thức.

3. Trong tích phân cần tính có chứa hàm logarit thì ta đặt u là hàm chứa logarit.

Chương I. TÍCH PHÂN

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

10.1 Dạng 1

Tính tích phân có dạng I =

trong các hàm sin x, cos x, e x, ax. Khi đó ta đặt

(cid:90) P (x). f (x) d x trong đó P (x) là đa thức bậc n và f (x) là một

(cid:40)

= P (x) u d v = f (x)

Ví dụ 10.1. Tính các tích phân sau:

π 2(cid:90)

1. I1 =

1 (cid:90)

x cos x d x

2. I2 =

1 (cid:90)

(x − 2)e2x d x

3. I3 =

(x + 1)2e2x d x

Giải

1. Tích phân từng phần dạng 1

Đặt

π 2(cid:90)

u = t d v = cos x d x ⇒ ; d u = d x v = sin x

Khi đó : I1 = x. sin x|

π 2 0

1 (cid:90)

π − sin x d x = − 1. 2

2. I2 =

(x − 1)e2x d x

Đặt

⇒ u = x − 1

;

1 (cid:90)

d v = e2x d x v = d u = d x e2x 2

Khi đó: I2 = (x − 1) ·

3. Đa thức bậc 2 ta tính tích phân từng phần hai lần.

− e2x d x = . (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) e2x 2 1 2 1 − 3e2 4

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Chương I. TÍCH PHÂN

Đặt

⇒

;

1 (cid:90)

e2x u = (x + 1)2 d v = e2x d x v = d u = 2(x + 1) d x 1 2

Khi đó: I3 =

1 (cid:90)

− (x + 1)e2x d x e2x(x + 1)2 (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 2

1 (cid:90)

− = 2e2 − (x + 1)e2x d x 1 2

Tích phân I2 =

Vậy: I =

(x + 1)e2x d x đã được tính ở trên.

5e2 − 1 4

Nhận xét: đa thức P (n) có bậc n ta tính đến n lần.

π 2(cid:90)

e2x cos 3x d x

Ví dụ 10.2. Tính I =

Giải

Đặt

⇒ u = e2x

;

π 2(cid:90)

π 2

π −

sin 3x v = d v = cos 3x d x d u = 2e2x d x 1 3

Khi đó: I =

π 2(cid:90)

− e J e2x sin 3x e2x sin 3x d x = − (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 3 2 3 2 3 1 3

e2x sin 3x d x • Xét J =

Đặt

⇒ u = e2x d u = 2e2x d x

;

π 2(cid:90)

π 2

cos 3x d v = sin 3x d x v = − 1 3

Khi đó: J = −

Từ đó ta có:

+ + e2x cos 3x e2x cos 3x d x = I (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 3 2 3 1 3 2 3

π −

π − 2 13

−3e − I = − e I ⇔ I = . 1 3 2 9 4 9

Nhận xét:

1) Trong tích phân J nếu ta đặt u = cos 3x (khác kiểu với cách đặt của tích phân I ) thì ta thấy xuất hiện I nhưng khi thay vào sẽ được điều hiển nhiên đúng, bài toán đi vào ngõ cụt.

Chương I. TÍCH PHÂN

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

2) Trong bài toán tích phân chứa e x. cos x (hoặc e x. sin x) ta tính tích phân từng phần hai lần. Lần đầu ta đặt kiểu nào cũng được nhưng lần 2 phải cùng kiểu với lần 1.

1 (cid:90)

e x+e x d x

Ví dụ 10.3. Tính I =

Giải

1 (cid:90)

Ta có: I =

0 • Đổi biến: Đặt t = e x ⇒ d t = e xd x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = e

e (cid:90)

e x.ee x d x

Khi đó: I =

1 1 • Tích phân từng phần

Đặt

t e t d t = xe x d x

e (cid:90)

u = t d v = e t d x ⇒ ; d u = d x v = e t

Khi đó: I = xe x|e 1

− e x d x = ee (e − 1).

Nhận xét: Ví dụ trên cho thấy các bài tập tích phân không chỉ là các dạng đơn lẻ mà là tổng hợp nhiều phương pháp, để giải quyết một bài toán tích phân ta cần nắm vững các dạng toán và biết cách kết hợp chúng.

(cid:28) Bài toán tương tự

π 2(cid:90)

Đáp số: 3π−4 6

π 4(cid:90)

. (x + sin2 x) cos x d x.

Đáp số: π 8

4 ln 2.

π 4(cid:90)

− 1 d x. x 1 + cos 2x

Đáp số: π 4

2 ln 2 − π 32 .

2 (cid:90)

Đáp số: e2 + 1, hd

− 1 x tan2 x d x.

π 2(cid:90)

x2e x (x + 2)2 d x. u=x2ex

Đáp số: π2 8

(2x − 1) cos2 x d x. − π 4 − 1 2 .

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Chương I. TÍCH PHÂN

π 2(cid:90)

Đáp số: π 4

(cid:112)

π 3(cid:90)

3)π

+ 1 (x + 1) sin 2x d x.

Đáp số: (9−4 36

2 ln 3

π 4

π 2(cid:90)

+ 1 d x. x sin2 x

Đáp số: 3−2e 13

e2x sin 3x d x.

10.2 Dạng 2

Tính tích phân có dạng I =

Khi đó ta đặt

(cid:90) P (x) f (x) d x trong đó f (x) là một trong các hàm ln x, loga x.

(cid:40)

3 (cid:90)

= f (x) u d v = P (x)

ln(x3 − x) d x

Ví dụ 10.4. Tính I =

Giải

Đặt

;

3 (cid:90)

⇒ d x u = ln(x − x2) d u = 2x − 1 x(x − 1) d v = d x v = (x − 1)

Khi đó: I = (x − 1) ln(x2 − x)

3 2

− d x = 3 ln 3 − 2. (cid:175) (cid:175) 2x − 1 x

Nhận xét: ta được chọn lựa v, thông thường với bài này ta chọn v = x nhưng ở đây v = x − 1 thì bài toán gọn hơn.

3 (cid:90)

Ví dụ 10.5. Tính I =

3 + ln x (x + 1)2 d x

Giải

Đặt

;

⇒ u = 3 + ln x d u =

1 x v = − d v = 1 (x + 1)2 d x d x 1 x + 1

Chương I. TÍCH PHÂN

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

3 (cid:90)

Khi đó: I =

(cid:181) − + d x (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 + ln x x + 1 1 x(x + 1)

1 3 (cid:90)

(cid:182) (cid:181) − = − + d x (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 + ln x x + 1 (cid:181) 1 x 1 x − 1

1 (cid:179) ln

π 2(cid:90)

+ (cid:181) − = = − ln 2 + ln 3. (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 + ln x x + 1 x x + 1 3 4 3 4

cos x ln(1 + cos x) d x

Ví dụ 10.6. Tính I =

Giải

Đặt

;

π 2(cid:90)

⇒ d x u = ln(1 + cos x) d u = − sin x 1 + cos x d v = cos x d x v = sin x

Khi đó: I = sin x ln(1 + cos x)|

π 2 0 (cid:125)

π 2(cid:90)

+ d x sin2 x 1 + cos x (cid:124) (cid:123)(cid:122) =0

e (cid:90)

π = d x = − 1. (1 − cos x) d x = 2 1 − cos2 x 1 + cos x

cos(ln x) d x

Ví dụ 10.7. Tính I =

Giải

Đặt

;

e (cid:90)

⇒ sin(ln x d x u = cos(ln x) 1 x d u = − v = d v = ) d x

x Khi đó: I = x cos(ln x)|e 1

1 (cid:124)

+ sin(ln x) d x

π − 1 + J

(cid:125) (cid:123)(cid:122) J = −e

Đặt

⇒ cos(ln x) d x u = sin(ln x) d u =

;

e (cid:90)

d v = d x 1 x v = x

Khi đó: J = x. sin(ln x)|e 1 (cid:124)

π − 1 − I ⇔ I = −

Do đó: I = −e

π + 1 2

− cos(ln x) d x = −I (cid:125) (cid:123)(cid:122) 0 e

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:28) Bài toán tương tự

3 (cid:90)

Đáp số: 3 ln 3 − 2

e (cid:90)

ln(x2 − x) d x.

Đáp số: 5e4−1 32

e (cid:90)

x3 ln2 x d x.

Đáp số: 5e3−2 27

e (cid:90)

x2 lnx d x.

Đáp số: 5x4−1 32

2 (cid:90)

x3 ln2 x d x.

Đáp số: 3 16

8 ln 2.

− 1 ln x x3 d x.

e (cid:90)

Đáp số: e2 2

e (cid:90)

(cid:182) − 1. (cid:181) 2x − ln x d x. 3 x

Đáp số: 3e2+5

3 (cid:90)

· ln x d x. x2 + 1 x

Đáp số: 18 ln 2 − 20 9

x2 ln(x + 1) d x.

π 4(cid:90)

Đáp số: 3

4 ln 3 + ln(

π 3

(cid:112) 2 − 1) sin x. ln(tan x) d x.

10.3 Phương pháp hằng số bất định

(cid:51) Dạng 1

Tính tích phân có dạng I =

Ta thực hiện theo các bước:

1. Ta có:

(cid:90) f (x)e x d x trong đó f (x) là đa thức bậc n, 1 ≤ n ∈ (cid:90).

trong đó g (x) là đa thức cùng bậc với f (x).

2. Lấy đạo hàm hai vế của (1) và áp dụng phương pháp trị số riêng hoặc đồng nhất

thức xác định các đa thức g (x).

I = g (x)e x +C (1)

Chương I. TÍCH PHÂN

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 (cid:90)

(2x3 + 5x2 − 2x + 4)e2x d x

Ví dụ 10.8. Tính I =

Giải

Giả sử

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:

(cid:90) (2x3 + 5x2 − 2x + 4)e2x d x = (ax3 + bx2 + cx + d )e2x +C (1) I1 =

Đồng nhất đẳng thức trên ta được

2x3 + 5x2 − 2x + 4)e2x = [2ax3 + (3a + 2b)x2 + (2b + 2c)x + 2d ]e2x

 

⇔

    a = 1 b = 1 c = −2 d = 3 = 2 2a 3a + 2b = 5 2b + 2c = −2 c + 2d = 4

1 0

= e2 − 3.

Do đó I1 = (x3 + x2 − 2x + 3)e2x +C Vậy: I = (x3 + x2 − 2x + 3)e2x(cid:175) (cid:175) Nhận xét: phương pháp trên hữu hiệu trong trường hợp đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3, trong bài toán trên nếu áp dụng cách thông thường ta phải lấy tích phân từng phần 3 lần.

(cid:28) Bài toán tương tự

1 (cid:90)

Đáp số: 120 − 44e.

(cid:51) Dạng 2

x5e x d x.

Tính tích phân có dạng I =

(cid:90) (cid:90) f (x) sin x d x hoặc I = f (x) cos x d x trong đó

Ta thực hiện theo các bước:

1. Ta có:

f (x) là đa thức bậc n, 1 ≤ n ∈ (cid:90).

trong đó g (x), h(x) là đa thức cùng bậc với f (x).

2. Lấy đạo hàm hai vế của (1) và áp dụng phương pháp trị số riêng hoặc đồng nhất

thức xác định các đa thức g (x), h(x).

I = g (x) sin x + h(x) cos x +C (1)

10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Chương I. TÍCH PHÂN

(cid:51) Dạng 3

Tính tích phân có dạng I =

theo các bước:

1. Ta có:

(cid:90) (cid:90) e x cos x d x hoặc I = e x sin x d x ta thực hiện

2. Lấy đạo hàm hai vế của (1) và áp dụng phương pháp trị số riêng hoặc đồng nhất

thức xác định A, B.

π 2(cid:90)

I = (A cos x + B sin x)e x +C (1)

e x. cos x d x

Ví dụ 10.9. Tính I =

Giải

Ta có:

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

(cid:90) e x. cos x d x = (A cos x + B sin x)e x +C (1) I1 =

Đồng nhất thức đẳng thức trên ta được

e x cos x = [(A + B ) cos x + (B − A) sin x]e x

(cid:40) (cid:40) ⇔ A + B = 1 B − A = 0 A = 1 2 B = 1 2

Khi đó: I1 =

π 2

(sin x + cos x)e x +C 1 2

π 2 −

Vậy: I =

π 2(cid:90)

= (sin x + cos x)e x e . (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 2 1 2 1 2

e x. sin2 x d x

Ví dụ 10.10. Tính I =

Giải

π 2(cid:90)

Ta có: I =

Mặt khác

(1 − cos 2x)e x d x 1 2

(cid:90) (1 − cos 2x)e x d x = (A + B cos 2x +C sin 2x)e x + D I1 = 1 2

Chương I. TÍCH PHÂN

11. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT

Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên ta được

Đồng nhất đẳng thức ta được

(1 − cos 2x)e x = [a + (2C + B ) cos 2x + (C − 2B ) sin 2x]e x 1 2

= 1 ⇔

   2A 2(2C + B ) = −1 2(C − 2B ) = 0  A = 1  2 B = − 1 10  C = − 1 5

Do đó: I1 =

π 2

(5 − cos 2x − 2 sin 2x)e x + D

π 2 −

Khi đó: I =

= (5 − cos 2x − 2 sin 2x)e x e . (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 3 5 2 5 1 10 1 10

11 Các bài toán đặc biệt

Có những bài toán tích phân có thể giải được bằng phương pháp tích phân từng phân. Đôi khi giải quyết một bài tích phân mà đổi biến mãi không được ta nghĩ đến phương pháp này.

1 (cid:90)

(cid:112) d x

Ví dụ 11.1. Tính I =

x3 x2 + 1

Giải

(cid:112) x2 + 1 ⇒ x2 = t 2 − 1 ⇒ xd x = t d t

Cách 1 Đổi biến số Đặt t =

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t =

(cid:112) (cid:90)

(cid:112) 2 (cid:112)

2 (t 2 − 1) d t =

Ta có: I =

− . 2 3 2 3

Cách 2 Tích phân từng phần

Đặt

;

⇒ d u = 2x d x (cid:112) u = x2 (cid:112) x2 + 1 d x d v = v = x x2 + 1

1 (cid:90)

Vậy I =

(cid:112) (cid:112) (cid:179) (cid:112) = − x2 2x x2 + 1 x2 + 1 d x − (cid:180)(cid:175) (cid:175) (cid:175) 2 3 2 3

(cid:112) (cid:90)

(cid:112)

d x

Ví dụ 11.2. Tính I =

x2 + 1 x2

11. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT

Chương I. TÍCH PHÂN

Giải

Cách 1 Đổi biến

Đặt x = tan t , t ∈

(cid:112) π π (cid:180) ⇒ (cid:179) − x2 + 1 = , 2 2 1 cos2 t

; x =

π 3(cid:90)

⇒ d x = (cid:112) π π 3 ⇒ t = d t cos2 t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 4 3

Khi đó: I =

π 4

Đổi biến số u = sin t ta được

(cid:112)

d x = d x 1 cos t sin2 t cos t cos2 sin2 t

3 2(cid:90)

(cid:112)

2 2 (cid:112)

(cid:181) (cid:182) 1 + d x I = (1 − u2)u2 d x = 1 1 − u2 1 u2

2 2 (cid:112)

(cid:112) (cid:112) = 2 − 3 + ln(2 + 3) − ln(1 + 2) 2 3

Cách 2 Tích phân từng phần

Đặt

(cid:112) ⇒ (cid:112) x2 + 1 d x u = d u =

;

(cid:112)

d v = v = − 1 x2 d x x x2 + 1 1 x

(cid:112) (cid:90)

Khi đó: I =

1 (cid:112)

(cid:112)

(cid:112) + (cid:181) − (cid:112) d x x2 + 1 (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 x

1 x2 + 1 (cid:112) (cid:112) (cid:181) − = + ln(x + (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:112) x2 + 1) (cid:112) x2 + 1 (cid:112) (cid:112) = 1 x 2 − (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 1 3 + ln(2 + 3) − ln(1 + 2) 2 3

Nhận xét: bài này dùng phương pháp tích phân từng phần là hợp lí.

(cid:28) Bài tập

1 (cid:90)

Hd: t = x4

1 (cid:90)

d x. x3 x8 + 1

Hd: t = 2x

π 2(cid:90)

d x. 2x 4x + 1

Hd: t = sin x

d x. cos x 13 − 10 sin x − cos 2x

II

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1 Tính diện tích hình phẳng

1.1 Công thức tính

Một hình phẳng giới hạn bởi (C1) : y = f (x), (C2) : y = g (x), và x = a, x = b, khi đó diện tích hình phẳng tính bởi công thức:

b (cid:90)

S = (cid:175) (cid:175) (cid:175) f (x) − g (x) (cid:175) d x

Một số lưu ý

1) Trong trường hợp đề bài không cho sẵn cận a, b ta tìm hoành độ giao điểm (C1) và

(C2) là nghiệm phương trình f (x) − g (x) = 0.

2) Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta có 3 cách

(a) Dựa vào đồ thị: nếu nhìn vào đồ thị ta thấy (C1) nằm trên (C2) thì f (x)−g (x) ≥ 0

khi đó (cid:175)

(b) Lập bảng xét dấu của f (x)−g (x) (xem lại Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt

đối)

(c) Nếu phương trình f (x) − g (x) = 0 chỉ có hai nghiệm là x = a, x = b và vì hàm số h(x) = f (x) − g (x) liên tục nên f (x) − g (x) không đổi dấu trên [a, b] khi đó ta được đem dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân:

b (cid:90)

(cid:175) (cid:175) = f (x) − g (x). (cid:175) f (x) − g (x)

(cid:163) f (x) − g (x)(cid:164) d x S = (cid:175) (cid:175) (cid:175) d x = (cid:175) f (x) − g (x) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)

1.2 Các ví dụ

−3x − 1 x − 1

Ví dụ 1.1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong (C ) : f (x) = và hai trục tọa độ.

Giải

Ta tìm cận của tích phân là hoành độ giao điểm của (C ) với các trục tọa độ. Hoành

độ giao điểm của (C ) và trục hoành là x = −

, với trục tung là x = 0

0 (cid:90)

Khi đó: S =

− 1 3

1 3 (cid:182) (cid:181) . −3 − d x = −3 − d x = −1 + ln (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 4 x − 1 4 3 4 x − 1

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

−1

− 1 3

Ví dụ 1.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1) : f (x) = (e + 1)x và (C2) : g (x) = (1 + e x)x

Giải

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình

Do (C1) cắt (C2) tại hai điểm phân biệt nên ta được

1 (cid:90)

(e + 1)x = (1 + e x)x ⇔ x = 0 ∨ x = 1

1 (cid:90)

(ex − xe x) d x = |I | S = (cid:175)ex − xe x(cid:175) (cid:175) (cid:175) d x = (cid:175) (cid:175) d x = (cid:175) (cid:175)(e + 1)x + (1 + e x)x (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)

Ta có: I =

(ex − xe x) d x = ex d x − xe x d x

0 (cid:181) e.

= = − 1. − (xe x − e x)|1 0 e 2

Vậy: S =

−2

−1

− 1. x2 2 (cid:175) − 1 (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) 0 e = 2 e 2

Ví dụ 1.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C ) : y = |x2 − 4x + 3| và d : y = 3

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d

(cid:183) x2 − 4x + 3 = 3 ⇔ (cid:175) (cid:175)x2 − 4x + 3 (cid:175) (cid:175) = 3 ⇔ x2 − 4x + 3 = −3 (cid:183) x = 0 x = 4

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

4 (cid:90)

Ta có S =

(cid:161)|x2 − 4x + 3| − 3(cid:162)(cid:175) (cid:161)3 − |x2 − 4x + 3|(cid:162) d x (cid:175) (cid:175) (cid:175) d x = (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175)

(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) Xét dấu f (x) = x2 − 4x + 3 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của |x2 − 4x + 3| Cho x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 Bảng xét dấu:

−∞ +∞ x 3 1

Khi đó:

−2

f (x) + 0 − 0 +

Ví dụ 1.4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) : y 2 = 4x và d : y = 2x − 4

Giải

Ta có: y 2 = 4x ⇔ x =

Tung độ giao điểm (P ) và d là nghiệm phương trình

y 2 4 y = 2x − 4 ⇔ x = y + 4 2

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi

= ⇔ y = −2 ∨ y = 4 y 2 4 y + 4 2

4 (cid:90)

−2

(cid:182) − − d y = d y S = = 9. (cid:182)(cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:181) y + 4 2 y 2 4 (cid:181) y + 4 2 y 2 4 (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) (cid:175) −2

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2. THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

−2

−4

2 Thể tích vật thể tròn xoay

2.1 Hình phẳng quay quanh Ox

(cid:51) Công thức

Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C1) : y = f (x), (C2) : y = g (x), x = a, x = b khi quay (H ) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức

b (cid:90)

Đặc biệt khi (C2) là trục hoành thì công thức trên trở thành

b (cid:90)

V = π (cid:175) (cid:175) (cid:175) f 2(x) − g 2(x) (cid:175) d x

(cid:51) Các ví dụ

V = π f 2(x) d x

Ví dụ 2.1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền (D) giới hạn bởi (C ) : y = ln x, y = 0, x = 2 quanh trục Ox.

2. THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Giải

Hoành độ giao điểm của (C ) và trục hoành y = 0 là nghiệm phương trình

2 (cid:90)

ln x = 0 ⇔ x = 1

Khi đó: V = π

Sau khi tính tích phân từng phần 2 lần ta thu được kết quả

ln2 x d x

V = 2 ln2 2 + 4 ln 2 + 2

III

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2014

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3. (2002-A). Đáp số:

109 6

(cid:115)

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =

. (2002-B).

Đáp số: 2π + 4 3

x2 (cid:112) 4 − , y = x2 4 4 2

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =

Đáp số: −1 + 4 ln 4 3

π 2(cid:90)

6(cid:112)

,Ox,O y. (2002-D). −3x − 1 x − 1

4. Tính

Đáp số: 12 91

0 (cid:90)

1 − cos5 x sin x d x (Dự bị 2002-A).

5. Tính

Đáp số: 3 4e2

−1

(cid:180) (cid:112) (cid:179) e2x + 3 x x + 1 d x (Dự bị 2002-A). − 4 7 .

ln 3 (cid:90)

6. Tính I =

Đáp số:

7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y =

(cid:112) 2 − 1 d x (Dự bị 2002-B). (cid:112) e x (e x + 1)3

2002-D).

1 3

1 (cid:90)

8. Tính I =

Đáp số: 1

2 (1 − ln 2).

x3 − 2x2 + 3x và trục Ox (Dự bị Đáp số: 9 4

(cid:112) 2 (cid:90)

x3 1 + x2 d x (Dự bị 2002-D).

Đáp số: 1

9. Tính I =

4 ln 5

(cid:112)

π 4(cid:90)

10. Tính I =

(cid:112) d x (2003-A). 1 x2 + 4 x

Đáp số: 1

2 ln 2

2 (cid:90)

11. Tính I =

d x (2003-B). 1 − 2 sin2 x 1 + sin 2x

Đáp số: 1

π 4(cid:90)

|x2 − x| d x (2003-D).

12. Tính I =

Đáp số: π 8

4 ln 2.

1 (cid:90)

− 1 d x (Dự bị 2003-A). x 1 + cos 2x

13. Tính I =

Đáp số: 2 15 .

x3(cid:112) 1 − x2 d x (Dự bị 2003-A).

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

14. Tính I = t pln 2ln 5

(Dự bị 2003-B).

Đáp số: 20 3

1 (cid:90)

(cid:48)

(cid:112) e2x e x − 1

15. Cho f (x) =

Đáp số:

B). a = 8, b = 2.

1 (cid:90)

+ bx.e x. Tìm a, b biết f (0) = −22 và I = f (x) d x = 5 (Dự bị 2003- a (x + 1)3

16. Tính I =

Đáp số: 1 2

e (cid:90)

17. Tính I =

x3e x2 d x (Dự bị 2003-D).

Đáp số: e2 4

2 (cid:90)

ln x d x (Dự bị 2003-D). + 3 4 x2 + 1 x

18. Tính I =

Đáp số: 11 3

− 4 ln 2. d x (2004-A). x (cid:112) x − 1 1 +

e (cid:90)

19. Tính I =

(cid:112)

Đáp số: 116 135

3 (cid:90)

20. Tính I =

d x · ln x (2004-B). 1 + 3 ln x x

Đáp số: −2 + 3 ln 3.

ln(x2 − x) d x (2004-D).

bởi Ox và (C ) : y =

21. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (D) giới hạn Đáp số: π3 4

π 2(cid:90)

(cid:112) x. sin x(0 ≤ x ≤ π) (Dự bị 2004-A).

22. Tính I =

Đáp số:

(cid:112) e ecos x. sin 2x d x (Dự bị 2004-B).

π2 (cid:90)

23. tính I =

Đáp số: 2π2 − 8.

(cid:112) (cid:112) x. sin x d x (Dự bị 2004-D).

ln 8 (cid:90)

24. Tính I =

Đáp số: 1076 15

ln 3

π 2(cid:90)

25. Tính I =

(cid:112) e2x e x + 1 d x (Dự bị 2004-D).

Đáp số: 34 27

π 2(cid:90)

26. Tính I =

d x (2005-A). sin 2x + sin x (cid:112) 1 + 3 cos x

Đáp số: 2 ln 2 − 1.

d x (2005-B). sin 2x cos x 1 + cos x

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

π 2(cid:90)

27. Tính I =

Đáp số: e + π 4

π 3(cid:90)

28. Tính I =

− 1. (esin x + cos x) cos x d x (2005-D).

Đáp số: ln 2 − 3 8

7 (cid:90)

sin2 x. tan x d x (Dự bị 2005-A)

29. Tính I =

Đáp số: 231 10

e (cid:90)

30. Tính I =

d x (Dự bị 2005-A). x + 2 (cid:112) x + 1 3

Đáp số: 2

9 e3 + 1

x2 ln x d x (Dự bị 2005-B).

π 4(cid:90)

1(cid:112) 2 − 1

31. Tính I =

Đáp số: ln

e3 (cid:90)

(cid:112) 2 + e (tan x + esin x cos x) d x (Dự bị 2005-B).

32. Tính I =

Đáp số: 76 15 .

π 2(cid:90)

(cid:112) d x (Dự bị 2005-D). ln2 x ln x + 1 x

33. Tính I =

Đáp số: π2 8

π 2(cid:90)

34. Tính I =

(2x − 1) cos2 x d x (Dự bị 2005-D). − π 4 − 1 2 .

Đáp số: 2 3

ln 5 (cid:90)

d x (2006-A). (cid:112) sin 2x cos2 x + 4 sin2 x

35. Tính I =

Đáp số: ln 3 2

ln 3

1 (cid:90)

36. Tính I =

d x (2006-B). 1 e x + 2e−x − 3

Đáp số: 5−3e2

6 (cid:90)

(x − 2)e2x d x (2006-D).

37. Tính I =

Đáp số: ln 3 2

10 (cid:90)

1 (cid:112) d x (Dự bị 2006-A). − 1 2 2x + 1 4x − 1

38. Tính I =

Đáp số: 2 ln 2 + 1

(cid:112)

(cid:112) e (cid:90)

39. Tính I =

1 (cid:112) d x (Dự bị 2006-B). x − 2 x − 1

Đáp số: 10

2−11 3

d x (Dự bị 2006-B). 3 − 2 ln x (cid:112) 1 + ln x x

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

π 2(cid:90)

40. Tính I =

Đáp số: π 4

2 (cid:90)

41. Tính I =

+ 1 (x + 1) sin 2x d x (Dự bị 2006-D).

Đáp số: −2 ln 2 + 5 4 .

42. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x, y = (1 + e x)x (2007-A). Đáp số:

(x − 2) ln x d x (dự bị 2006-D).

e 2

tròn xoay tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục Ox (2007-B).

Đáp số:

43. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích khối π(5e3−2) 32

e (cid:90)

− 1

44. Tính I =

Đáp số: 5e4−1 32

x3 ln2 x d x (2007-D).

4 (cid:90)

(cid:112)

45. Tính I =

Đáp số: 2 + ln 2.

quay (H ) quanh Ox (Dự bị 2007-A).

46. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi 4y = x2, y = x. Tính thể tích khối tròn xoay khi Đáp số: 128π 15

2x + 1 (cid:112) d x (Dự bị 2007-A). 1 + 2x + 1

47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =

2 ln 2.

48. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2, y =

π 2

, y = 0. (Dự bị 2007-B). Đáp số: x(1 − x) x2 + 1 + 1 −1 + π 4 (cid:112) 2 − x2 (Dự bị 20074-B). Đáp số:

1 (cid:90)

+ 1 3 .

Đáp số: 1 + ln 2 − 3

49. Tính I =

2 ln 3.

π 2(cid:90)

d x (Dự bị 2007-D). x(x − 1) x2 − 4

50. Tính I =

Đáp số: π2 4

π 6(cid:90)

− 2. x2 cos x d x (Dự bị 2007-D).

51. Tính I =

Đáp số: 1

2 ln

(cid:112) 3 27 .

(cid:180) − 10 d x (2008-A). (cid:179) (cid:112) 3+1(cid:112) 3−1 tan4 x cos 2x

(cid:112)

π 4(cid:90)

52. Tính I =

Đáp số: 4−3 4

2 (cid:90)

53. Tính I =

Đáp số: 3−2 ln 2

π (cid:179) (cid:180) sin x − 4 d x (2008-B). sin 2x + 2(1 + sin x + cos x)

ln x x3 d x (2008-D).

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

3 (cid:90)

54. Tính I =

Đáp số: 12 5 .

− 1 2

π 2(cid:90)

d x (Dự bị 2008-A). (cid:112) 3 x 2x + 2

55. Tính I =

Đáp số: − 1 2

2 (cid:90)

+ ln 2. d x (Dự bị 2008-A). sin 2x 3 + 4 sin x − cos 2x

56. Tính I =

Đáp số: 11 6

(cid:112)

1 (cid:90)

(cid:112) d x (Dự bị 2008-B). x + 1 4x + 1

57. Tính I =

Đáp số: 16−9 3

(cid:112) d x (Dự bị 2008-B). x3 4 − x2

1 (cid:90)

Đáp số: 1

58. Tính I =

4 e2 − 7

59. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x2 + 4x, y = x (Cao đẳng 2008). Đáp

số: 9 2 .

π 2(cid:90)

60. Tính I =

(cid:112) (cid:182) (cid:181) + (cid:112) xe2x − 3. d x (Dự bị 2008-D). x 4 − x2

Đáp số: 8 15

3 (cid:90)

(cos3 x − 1) cos2 x d x (2009-A). − π 4 .

61. Tính i =

Đáp số: 1 4

3 (cid:90)

(cid:162) (cid:161)3 + ln 27 16 3 + ln x (x + 1)2 d x (2009-B).

Đáp số: ln(e2 + e + 1) − 2

62. Tính I =

1 (cid:90)

d x (2009-D). 1 e x − 1

−2x + x(cid:162) e x d x (Cao đẳng 2009).

63. Tính I =

Đáp số: 2 − 1 e

1 (cid:90)

(cid:161)e

64. Tính I =

Đáp số: 1 3

2 ln 1+2e

e (cid:90)

+ 1 d x (2010-A). x2 + e x + 2x2e x 1 + 2e x

65. Tính I =

Đáp số: − 1 3

ln x + ln 3 2 x(2 + ln)2 d x (2010-B).

e (cid:90)

66. Tính I =

Đáp số: e2 2

1 (cid:90)

67. Tính I =

(cid:182) − 1 (cid:181) 2x − ln x d x (2010-D). 3 x

Đáp số: 2 − 3 ln 2

d x (Cao đẳng 2010). 2x − 1 x + 1

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 2002-2014

1 (cid:90)

68. Tính I =

Đáp số: 8 ln 2 − 5 ln 3

d x (Dự bị 2010-B). 2x − 1 x5 − 5x + 6

(cid:112)

2 (cid:90)

69. Tính I =

Đáp số: 7 12

3 4

e (cid:90)

70. Tính I =

(cid:112) 2 − − d x (Dự bị 2010-B). 4 − x62 x4

Đáp số: 1 − 3 ln 2

(cid:112)

π 4(cid:90)

d x (Dự bị 2010-D). ln x − 2 x ln x + x

71. Tính I =

Đáp số: π 4

2 2

(cid:180) (cid:179) π + + ln d x (2011-A). x sin x + (x + 1) cos x x sin x + cos x

4 (cid:90)

72. Tính I =

Đáp số:

4 (cid:90)

(cid:112) (cid:112) + ln(2 − 3) d x (2011-B). 3 + 2π 3 1 + x sin x cos2 x

73. Tính I =

Đáp số: 34 3

2 (cid:90)

74. Tính I =

(cid:112) d x (2011-D). + 10 ln 3 5 4x − 1 2x + 1 + 2

Đáp số: ln 3

3 (cid:90)

d x (Cao đẳng 2011). 2x + 1 x(x + 1)

75. Tính I =

Đáp số: 2 3

3 ln 2 + ln 3

1 (cid:90)

76. Tính I =

− 2 d x (2012-A). 1 + ln(x + 1) x2

Đáp số: ln 3 − 3

2 ln 2

π 4(cid:90)

77. Tính I =

d x (2012-B). x3 x4 + 2x2 + 2

Đáp số: π2 32

1 (cid:90)

x(1 + sin 2x) d x (2012-D). + 1 4

78. Tính i =

Đáp số: 8 3

2 (cid:90)

79. Tính I =

(cid:112) d x (Cao đẳng 2012). x x + 1

Đáp số: 5

2 ln 2 − 3

(cid:112)

1 (cid:90)

· ln x d x (2013-A). x2 − 1 x2

80. Tính I =

Đáp số: 2

2−1 3

(cid:112) x 2 − x2 d x (2013-B).

81. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 − 3x + 3 và đường thẳng Đáp số: 1 6 .

y = 2x + 1 (2014-A).

2. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

2 (cid:90)

82. Tính tích phân I =

Đáp số: 1+ln 3.

π 4(cid:90)

83. Tính tích phân I =

d x (2014-B). x2 + 3x + 1 x2 + x

Đáp số: 3 4 .

2 (cid:90)

(x + 1) sin 2x d x (2014-D).

84. Tính tích phân I =

Đáp số: 3 2

+ ln2 x. d x (2014-Cao đẳng). x2 + 2 ln x x

2 Bài tập tổng hợp

π 2(cid:90)

2 ).

Đáp số: π (cid:112) 3

, (t = tan x d x. 1 cos x + 2

1 (cid:90)

(cid:112) (cid:179) e+

(cid:112)

Đáp số: ln

1+e2 (cid:112) 2

π 4(cid:90)

(cid:112) d x . e x e x + e−x

Đáp số: − 1

2 ln 4 5 .

0 (cid:90)

Đáp số: ln 4 3 .

d x . sin 4x 4 + cos2 2x

− ln 3

π 2

e (cid:90)

1 − e x 1 + e x d x.

2 + 1

Đáp số: 1 2

(cid:179) (cid:180) e . sin(ln x) d x.

(cid:112) (cid:90)

(cid:112)

d x. 1 + x2 x2

1 (cid:90)

Đáp số: − 1 (cid:112) 2

(cid:112) ln(2 − 3) + π 6 . 1 x6 d x.

π2 4(cid:90)

Đáp số: 2π 3

3 (cid:90)

(cid:112) cos3( x) d x. − 14 9 .

Đáp số: 20π 3

− 18. d x. x4 − 1 x2 − 9

Chương III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

2. BÀI TẬP TỔNG HỢP

π (cid:90)

10.

Đáp số: 2

2 (cid:90)

11.

(cid:112) (cid:112) 2 − 2. 1 − sin 2x d x.

Đáp số: 1

2 ln 2 − 2

7 ln 129 2 .

2 (cid:90)

d x. 1 − x7 x(1 + x7)

12.

Đáp số: ln 4

9 . ln 13 25 .

9x − 4x d x.

Tài liệu Ôn thi đại học Tích phân ứng dụng

Tài liệu "Ôn thi đại học Tích phân ứng dụng" cung cấp cho người đọc các kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng của tích phân, các bài tập tích phân ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Giải tích số

Tài liệu Giải tích số

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP

ÔN THI ĐẠI HỌC

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LỜI MỞ ĐẦU

LỜI MỞ ĐẦU

iii

MỤC LỤC

iv

I TÍCH PHÂN

1 2 2 2 3 5 8 8 11 12 13 13 14 15 17 19 21 22 23 23 23 25 27 27 28 29 37 41 44

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

75 76 76 76 79 79

III BÀI TẬP TỔNG HỢP

81 82 88

I

1 Các công thức

1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng

1.2 Tích phân xác định

Định nghĩa

Tính chất

2 Phương pháp phân tích

Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:

Giải

(a) Ta có: I1 =

(b) Ta có: I2 =

(c) Ta có: I3 =

(d) Ta có: I4 =

(e) Ta có: I5 = 3

Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:

Giải

(a) Ta có: I1 =

(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu.

3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max

Ví dụ 3.1. Tính I =

Giải

Ví dụ 3.2. Tính I =

Giải

Ví dụ 3.3. Tính I =

Giải

Ví dụ 3.4. Tính I =

Giải

4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

4.1 Dạng căn thức

Ví dụ 4.1. Tính

Giải

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t. Bài này ta còn có thể giải theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20. (cid:112) (cid:90)

Ví dụ 4.2. Tính I =

Giải

Nhận xét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân xd x là x3d x = x2.xd x và ta thấy cần chuyển x2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.

Ví dụ 4.3. Tính

Giải

Ví dụ 4.4. Tính I =

Giải

4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau

Ví dụ 4.5. Tính I =

Giải

4.3 Dạng phân thức 1

Ví dụ 4.6. Tính I =

Giải

Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức t = cách đổi biến t = 1 +

Ví dụ 4.7. Tính I =

Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2 ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân.

4.4 Dạng biểu thức lũy thừa

Ví dụ 4.8. Tính I −

Giải

Nhận xét: do (x4)

4.5 Biểu thức có logarit

Ví dụ 4.9. Tính các tích phân sau:

Giải

(a) Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t =

(b) Đặt t = 3(cid:112)

5 Đổi biến sang lượng giác

ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến

Điều kiện t ∈ (cid:163)− π (cid:164) 2 , t ∈ [0, π] t ∈ (cid:163)− π π 2 , 2 t ∈ [0, π] \ { t ∈ (cid:161)− π (cid:162) 2 , t ∈ (0, π) t ∈ (cid:163)0, t ∈ (cid:163)0,